专题3 二次函数的综合应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(沪科版)

专题三二次函数的综合应用（答案9） 类型1建立平面直角坐标系解决实际问题 类型2目二次函数与“新定义” 1.应用意识如图所示，在某中学老师趣味运动 3.阅读理解)对于一个函数：当自变量x取a 跳大绳游戏中，绳甩到最高处时的形状是抛物 时，其函数值y也等于a,我们称a为这个函 线型，摇绳的甲、乙两名老师拿绳的手的间距 数的不动点，若二次函数y=x2十2x十c(c为 为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米， 常数)有两个不相等且都小于1的不动点，则c 绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直 的取值范围是 距离为1.8米.跳起来最高可达1.7米的王老 4.(2024·合肥蜀山区期中)阅读材料：设二次函 师站在距点O水平距离为m米处，若他能够 数y1,y2的图象的顶点坐标分别为(h,k), 正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶）， (m,n),若h十m=1,kn=1,且图象的开口方 则m的取值范围是 向相反，则称y1是y2的“问真二次函数” (1)请写出二次函数y=x”一4x+3的一个 “问真二次函数”： (2)已知关于x的二次函数y1=2(x-a)2-1 2.某大桥是自锚式砼箱梁悬索桥，其单侧两砼塔 间距被29根竖直钢管平分，每两根钢管相距 和二次函数y=--ar-4,若函数 6米，最中间一根钢管长2米，与其紧邻两根钢 恰是y2的“问真二次函数”，求a的值 管长2.18米，两砼塔之间的主缆近似成抛物 线形，砼塔顶端装饰物高13米，示意图如图 所示 (1)在图中建立适当的平面直角坐标系，求出 该抛物线的函数解析式， (2)求砼塔（含装饰物）相对于桥面的高度。 装饰物 33 优学卷误的湿 类型3二次函数与一次函数之间的综合 7.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= 5.已知直线1：y=kx十b经过点(0,7)和点(1,6). ax2+bx一5交y轴于点A,交x轴于点B (1)求直线1的表达式， (-5,0)和点C(1,0),过点A作AD∥x轴交 (2)若点P(m,n)在直线l上，以点P为顶点 抛物线于点D 的抛物线G过点(0，一3)且开口向下 (1)求此抛物线对应的函数表达式. ①求m的取值范围. (2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的 ②设抛物线G与直线1的另一个交点为Q.当 对称点在直线AD上，求△EAD的面积， 点Q向左平移1个单位长度得到点Q'也在G (3)若点P是直线AB下方抛物线上的一动 点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积 上时，求G在<x<智+1的图象的最高 最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大 点的坐标 面积. 类型4细二次函数与几何的综合 6.几何直观边长为1的正方形OA1B1C1的顶 点A,在x轴的正半轴上，如图所示将正方形 OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形 OABC,使点B恰好落在函数y=ax2(a<0) 的图象上，则a的值为 一九年级上用数学 34答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润 设抛物线的函数解析式为y=ax十h, 为125万元. 把A(0,2),B(6,2.18)代入，得 3.D 1 4.解：(1)在y=-0.4x十2.8中，令x=0,得y=2.8, 2=h, .点P的坐标为(0,2.8). 2.18二36a+,解得8二200'故抛物线的函数解 h=2, 把(0,2.8)代人y=a(x-1)2+3.2,得a+3.2 2.8,解得a=-0.4,∴.a的值是-0.4， 析式为)=202+2. (2)OA=3m,CA=2m,.OC=5m,.C(5,0). (2),每两根钢管相距6米，共有29根钢管， 在y=-0.4x十2.8中，令y=0得x=7, 1 在y=-0.4(x-1)2+3.2中，令y=0得x= :当x=6×15=90时，y=200 ×902+2=42.5, -2√2+1（舍去）或x=22+1≈3.83. 42.5+13=55.5(米). ,|7-5|>3.83-5引，∴.选择吊球方式，球的落地 答：砼塔（含装饰物）相对于桥面的高度为55.5米. 点到C点的距离更近， 5.45 3-2<号 -x2+52x+620(1≤x≤30)， 6.解：(1)= 4.解：(1)y=一(x+1)2-1(答案不唯一) 1-40x+2480(31x≤60)」 (2)当1≤x≤30时， (②)二次函数=号（红-a):-1的顶点坐标 w=-x2+52x+620=-(x-26)2+1296, 为(a,-1), -1<0,∴.当x=26时，w有最大值，最大值为 1296元. 二次函数y:=一 x2-ar-4的顶点坐标 3 当31≤x≤60时，w=一40x+2480, ,一40<0，.当x=31时，w有最大值，最大值为 -40×31+2480=1240元. 为（台号-小 ,1296>1240, :函数y,恰是y2的“问真二次函数”， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售 利润是1296元. ∴a-子a=1,解得a=3 2 7.解：(1)，抛物线C1:y=a(x一3)2十2， .C1的最高点坐标为(3,2). 3-4=-1,-1×(-1)=1,符合题意，a=3. :点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上， 5.解：(1)将(0,7)和(1,6)代入y=kx+b, 1 ∴.1=a(6-3)2+2,∴.a= 9, ÷6=,。解得二，-1， +b=6, b=7, y=-x十7 抛物线C:y三-。（(x-3)2+2, (2)①，点P(m,n)在直线l上，∴.n=-m十7. 当x=0时，y=c=1. 设抛物线的表达式为y=a(x一m)2十7一m, (2),嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A的 ,抛物线经过点(0，一3)，.am2+7一m=-3, 水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， 且m≠0， ∴.此时点A的坐标范围是(5,1)~(7,1) 1 .a=m10 当经过(5,1)时，1= ×25+号×5+1+1，解得 :抛物线开口向下，a<0,a-m-10<0, 5 ,.m<10且m≠0. 当经过7,1D时，1=-日×49+智×7+1+1， ②，抛物线的对称轴为直线x=m, 解得号号<<号 41 .Q点与Q'关于x=m对称， 1 :n为整数，∴.符合条件的n的整数值为4和5. “Q点的横坐标为m十 专题三二次函数的综合应用 联立方程组P=一x十7， 1.2<m<4 y=a(x-m)2+7-m, 2.解：(1)如图所示，以桥面所在的直线为x轴，最中间 整理得ax+(1-2ma)x十am2-m=0. 的钢管所在的直线为y轴建立平面直角坐标系. :P点和Q点是直线l与抛物线G的交点， 装饰物 m+m+=2m-a=-2 1 y=-2(x-m)2+7-m,∴.2m2+7-m=-3, 解得m=2或m=一2 5 当m=2时，y=-2(x-2)2+5, 此时抛物线的对称轴为直线x=2, 图象在<x<上的最高点坐标为(2,5》。 13 大，此时△ABP的面积是5 当m= 512,19 阶段检测二（21.3~21.4) 2时y=-2(x+2）+2 1.C2.B3.B4.D5.C6.C7.D8.C 此时抛物线的对称轴为直线工=一名，】 9.D10.C11.-112.x1=2,x2=4 13.(2√6-4)m14.(1)90°(2)4 图象在一2≤x≤-1上的最高点坐标为（一2,9） 15.解：(1)24 综上所述：G在智<x<智十1的图象的最高点的 (2)设每件商品降价x元时，商店每天的销售利润 为y元，由题意，得 坐标为（一2,9）或(2,5). y=(50-x)(20+2x)=-2x+80x+1000 6.、② =-2(x-20)2+1800. 3 50-x≥25，.0≤x≤25. 7.解：(1)抛物线y=ax2十bx一5交y轴于点A,交 -2<0, x轴于点B(一5,0)和点C(1,0), .当x=20时，y有最大值，最大值为1800， ÷6的80得6二 .当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利 润最大，最大值是1800元. .此抛物线对应的函数表达式是y=x2十4x一5. 16.解：(1)设AD边的长为x米，则AB边长为 (2),抛物线y=x+4x-5交y轴于点A, 点A的坐标为(0，一5). (40-2)米. ,AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x 轴的对称点在直线AD上， 根据题意，得S=(40-2)=-+0r, ∴.点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10， 日S与z之间的函数表达式为S=一22+403 当y=-5时，-5=x2+4x-5,解得x1=0,x2 一4，.点D的坐标为（一4，一5）， 2)由10知.S=-22+40x=- 2x-40)2+ AD=4,∴△EAD的面积是2=20 80.“-2<0a=30, (3)设点P的坐标为(p,p2十4p一5)，如图所示. .当x≤40时，S随x的增大而增大， .当x=30时，S有最大值，最大值为750， .墙长a=30米时，S的最大值为750平方米。 17.解：(1)1 (2):某“完美函数”图象的顶点在直线y=x一 2上， .设顶点为(x,x一2). ,该函数为“完美函数”，∴x十x一2=0，解得x= 1,.x-2=1-2=-1, .该函数的顶点为(1，一1). 设过点A(0,一5)，点B(-5,0)的直线AB的函数 设二次函数的表达式为y=a(x一1)2一1， 表达式为y=mx十n,则 令x=0,则y=a-1. /n=-5, -5m+n=0 0.解得m=-1, :该函数与y轴的交点到原点的距离为2， ln=-5. ∴.a-1|=2,解得a=-1或a=3, 即直线AB的函数表达式为y=一x一5， .y=-(x-1)2-1=-x2+2x-2或y=3(x- 当x=p时，y=一p一5. 1)2-1=3x2-6x+2. OB=5,∴.△ABP的面积是S= ∴.该“完美函数”的表达式为y=一x2十2x一2或 二-》-9+p-×5-[-(p+)+ y=3x2-6x+2. 18.解：(1)当y=0时，x2一2x一3=0，解得x1=-1, ]=-(+》+恩 xg=3,则A(一1,0)，B(3,0). ,点P是直线AB下方的抛物线上一动点， 如图所示，当直线y=2x十n经过点B(3,0)时， .-5<p<0,…当p=一2时，S取得最大值，此时 与图象M恰好有3个交点，此时，名十n=0,解得 S125 1，点P的坐标是(-，-》 3 n=- 29 即点P的坐标是（一号，-）时，△ABP的面积最 当直线y=2x十n与抛物线y=x2-2x一3有唯 10