专题1 二次函数表达式的求解策略-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(沪科版)

专题一二次函数表达式的求解策略（答案P4) 类型1利用一般式求二次函数的表达式 类型2利用顶点式求二次函数的表达式 1.已知抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的形状和 5.二次函数的图象如图所示，根据图象可知，抛 开口方向与y=2x2相同，并且经过点(1,1)和 物线的表达式可能是( ) (一1,2)，则a= ,b= A.y=x2-x-2 C= B.y= -1721 2.已知二次函数y=x2一bx十c中，函数y与自 2-2x+2 变量x的部分对应值如表格所示： C.y- 21 2x-2x+1 -2 0 2 D.y=-x2+x+2 17 5 6.某抛物线的对称轴为直线x=3,最高点的纵 (1)该二次函数的表达式为 坐标为-5，且与y= 2x2的图象开口大小相 (2)若A(n-1,y1),B(n,y)两点都在该函数 的图象上，当n<2时，y y2(选填 同.则这条抛物线的函数表达式为( “>”“<”或“=”). A.y=- 2(x+3)2+5 3.抛物线y=ax2十bx+c(a≠0)与直线y= x十1相交于A(一1,0)，B(4,m)两点，且抛物 B.y=- 2(x-3)2-5 线经过点C(5,0).求抛物线的函数表达式 1 C.y=2x+3)2+5 1 D.y=2x-3)2-5 7.对称轴为直线x=2,最小值为一1，且与y轴 的交点坐标为(0,3)的抛物线的表达式 为 8.(2023·池州期中)已知抛物线y=ax2十 4.如图所示，已知二次函数y=x2十bx十c的图 2ax+3a2-4(a≠0). 象经过点A(1,-2)和B(0,一5). (1)若a=1,此时抛物线的对称轴 (1)求该二次函数的表达式 为 (2)当y≤一2时，请根据图象直接写出x的取 (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的 值范围. 函数表达式 (3)设点M(m,y1),N(2,yz)在该抛物线上， 若y1>y2,求m的取值范围. t15 优学卷误的湿 类型3利用交点式求二次函数的表达式 类型5利用轴对称变换求二次函数的表达式 9.如图所示，抛物线的函数表达式是() 14.若将抛物线y=一x2十2x一2先向右平移一 A.y=x2-x+2 B.y=x2+x+2 个单位长度，再沿x轴翻折到第一象限，然后 C.y=-x2-x+2 D.y=-x2+x+2 向右平移一个单位长度，再沿y轴翻折到第 二象限，…，以此类推，如果把向右平移一个 单位长度，再沿一条坐标轴翻折一次记作 1次变换，那么抛物线y=一x2一2x一2经过 第50次变换后，所得抛物线的函数表达式 为() 第9题图 第10题图 A.y=(x+3)2+1 10.二次函数的图象如图所示，则它的表达式 B.y=(x-2)2+1 是 C.y=-(x+2)2-1 11.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标分别为 D.y=-(x+3)2+1 一1,3，与y轴交点的纵坐标是一3，求抛物 15.作抛物线y=一5.x2+2关于x轴的对称图 线的函数表达式 形，得到一条新抛物线，其函数表达式 为 16.(2023·宿州月考)已知抛物线y=x2+bx十 c与y轴交于点C(0,3),顶点为T,与直线 y=x一1交于A,B两点，其中点A的坐标 为(1,0) (1)求抛物线和直线的函数表达式. 类型4目利用平移变换求二次函数的表达式 (2)直接写出抛物线y=x2十bx十c关于直线 12.将抛物线y=(x十1)2-4向右平移a个单位 x=一1对称的抛物线的表达式， 长度，再向上平移b个单位长度得到抛物线 (3)求△ABT的面积. y=(x-3)2十1，则a= b= 13.把抛物线y=ax2+bx十c先向右平移3个单 位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物 线是y=x2-3x+5,求a十b十c的值， 一九年级上用数学 16二次函数的表达式为y=x2-2x-3. 将y=一5代人抛物线的表达式，得xD=4, (2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 故点D坐标为(4，一5). .此二次函数图象的顶点坐标为(1，一4)， 3.A4.B 直线0D的函数表达式为y=一。 5.解：由抛物线顶点坐标为(1，一3)，设其函数表达式 又，抛物线的顶点坐标为(2，一9)， 为y=a(x-1)2-3. 过点(2，一9)作y轴的平行线，与CD和OD分别 将(0，-2)代人y=a(x-1)2-3,得 交于点M,N,如图所示， a一3=-2，解得a=1, 则点M的坐标为(2，一5) 则抛物线的函数表达式为y=(x一1)-3. 6.B 将=2代入y=-,得y=-×2= 2则 7.解：，二次函数的图象过点(1,0)，(5,0)，∴.设这个 二次函数的表达式为y=a(x一1)(x-5), 点N坐标为，-） 即y=ax2-6a.x+5a. 由题意，得20a2-36a "a≠0，a= 9 9 又：-5-(-9)=4，-5-（-9)=13 2 4a 8 y 9 -8x-10(x-5), m的取值范围是4长m<品 即y=一8x2十x45 4x一 8 8.B9.C 10.y=-3(x-2)2-111.1 2y=-号+台+2 13.解：(1)由题意，得抛物线与x轴的另一个交点为 (1,0).设y=a(x-1)(x+3),把(0,3)代人，得 15.解：(1)将(1,3)代人y=ax2+(a+1)x十a一4，得 3=-3a, 3=a+a+1+a-4,∴.a=2, .a=一1，∴.抛物线的函数表达式为 .这个二次函数的表达式为y=2x十3x-2. y=-(x-1)(x+3),即y=-x-2x十3. (2)y1=y2,这两个点关于x轴对称， (2)设直线AB的函数表达式为y=kx十b(k≠0)， 将(-30)，(0,3)代入，得3十6=0，解得k=1, 治 2a21 .直线AB的函数表达式为y=x十3. 7+=2出 =1,.a= 1 3 如图所示，作PQ⊥x轴于点Q,交直线AB于 (3)①，点(-1，t)在二次函数图象上， 点M. ∴.t=a-a-1+a-4=a-5. ②：当x≥一1时y随x的增大而增大， 当a>0时，有-2%≤-1.∴.0<a≤1， .-5<t≤-4： 当a<0时，不符合题意舍去.∴.一5<t≤一4. 专题一二次函数表达式的求解策略 设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0),则M(x,x+3), 1 1.2 ∴.PM=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x, 一2 s-(2-)x8-(+2》+号 2.(1)y=x2-4x+5(2)> 3.解：：点B(4,m)在直线y=x十1上， m=4+1=5,.B(4,5). 当x=- 时，S大=8' 27 2 把A,B,C三点坐标分别代入抛物线的函数表达 式，得 y=-(-》”-2x(-2)+3-5 a一b十c=0, a=-1, 16a+4b+c=5,解得b=4, :△PAB的面积的最大值为智，此时点P坐标为 25a+5b+c=0, c=5. ∴.抛物线的函数表达式为y=一x2十4x十5. (-2) 4.解：(1)：二次函数y=x2十bx十c的图象经过点 A(1,-2)和B(0,-5). 14.解：(1)，抛物线的对称轴是直线x=2, ÷-2=2,解得6=4 ÷6:2.舞得化2 lc=-5, .二次函数的表达式为y=x2+2x一5. 又，抛物线与y轴交于点C(0,一5)， (2)x的取值范围是-3≤x≤1. .c=-5. 5.D6.B7.y=(x-2)8-1 .抛物线的表达式为y=x2一4x一5. 8.解：(1)直线x=-1 (2)CD∥x轴，yp=yc=-5. (2)y=ax2+2ax+3a2-4=a(x+1)2+3a2- a-4. CD的长为4. 抛物线顶点在x轴上，即当x=一1时，y=0, 11.2 7 16.4 18y=-2-2 3a3-a-4=0,解得a=-1或a=3 19.解：，二次函数的对称轴是直线x=2,∴此图象顶 ∴.抛物线的函数表达式为y=一x2一2x一1或y= ++ 4 4 点的横坐标为2.“此点在直线y=2x十1上， 1 (3),抛物线的对称轴为直线x=一1， 六y=2×2+1=2,y=(m2-2)x2-4mx+n N(2,y2)关于直线x=一1的对称点为N'(一4， 一4m y2）. 的图象顶点坐标为（2,2).六2m2=2.解得 ①当a>0时，若y1>y2,则m<-4或m>2; m=-1或m=2. ②当a<0时，若y1>y2,则-4<m<2. 最高点在直线上，m2一2<0，.m=一1， 9.D10.y=-2x2+4x .y=-x2+4x十n,顶点为(2,2)，.2=-4十8十 11.解：设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一3). n.n=-2,则y=一x2十4x-2. 、又：抛物线与y轴交点的纵坐标是一。， 20.解：(1)由抛物线y=一x2十(m一1)x十m与y轴 交于点(0,3)，得m=3. 图象过点(0，-》-号-a0+1D0-3》。 ∴.抛物线的函数表达式为y=一x2+2x十3 图象如图所示. 解得a-2抛物线的函数表达式为y一2(x十 1D0x-3》.即y=7-x-2 3 12.45 13.解：将抛物线y=x2一3x+5先向左平移3个单位 长度，再向上平移2个单位长度后，可得抛物线 y=ax:+bx+c, ∴.y=(x+3)*-3(x+3)+5+2=ax2+bx+c, ....-小.-.. 解得a=1,b=3,c=7. ∴.a+b+c=11. (2)由-x2+2x十3=0，得x1=-1,x2=3. 14.A15.y=5x2-2 .抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(3,0). 16.解：(1)抛物线过A,C两点， ,y=-x2十2x十3=-(x-1)2十4， 一代人抛物线的函数表达式可得1十b十c=0, ,抛物线的顶点坐标为(1,4). lc=3, (3)当x>1时，y的值随x值的增大而减小. 解得伦二 21.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10). 当t=2时，BC=4,.C(2,一4). .抛物线的函数表达式为y=x2一4x十3. 将点C坐标代入表达式，得2a(2一10)=一4， ,直线y=kx一1过点A(1,0),∴.k一1=0， ∴.k=1,∴.直线的函数表达式为y=x一1. 解得a=子 (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛物线的函数表达式为y= .抛物线的顶点T为(2，一1)， - 22. ∴.顶点T(2,一1)关于直线x=一1的对应点的坐 (2)如图所示，连接AC,BD相交于点P,连接OC, 标为（一4，一1）， 取OC的中点Q,连接PQ, ∴.抛物线y=x2十bz十c关于直线x=一1对称的 t=2,.B(2,0),A(8,0). 抛物线的函数表达式为y=(x十4)2-1. BC=4,.C(2,-4),.Q(1,-2). x-4红+3，解得亿二或区=4， (3)由y=x-1, ,GH平分矩形ABCD的面积，∴.直线GH过对 ly=0,y=3, 角线的交点， ∴.B(4,3). 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形， :抛物线的顶点T(2,一1)， ..PQ=CH. .把x=2代人y=x-1,得y=1, :P是AC中点，P(5,-2), △ABT的面积S=号×(1+1DX4-1)=3 ∴.PQ=5一1=4，.抛物线平移的距离是4个单位 长度 阶段检测一(21.1~21.2) 1.C2.B3.B4.C5.C6.D7.C8.C9.D 10.D11.>12.(1,4)13.m-4 14.a1>a2>a3 15.4解析：：图象与x轴相交于A(一1,0)，B两点， 对称轴是直线x=1, .-1-b+c=0,b=2,b=2,c=3,.y= 22.解：(1)将(1,0)，(3,0)代入y=ax2+bx+3,得 -x2+2x+3, .当x=1时，y=4,顶点C的坐标为(1,4)， 侣中站80.解得仔4 9a+3b+3=0,1 5