1.3几何证明举例（题型专练）数学青岛版2024八年级上册

1.3 几何证明举例 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 题型三 平行线的性质与判定的应用 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 3．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 5．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 1．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 5．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 6．如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 题型三 平行线的性质与判定的应用 1．如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 3．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数． 4．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 5．如图，，平分与相交于F，．求证：． 6．如图，，是中点，平分，求证：． 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性 1．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于 B．直角三角形有一个锐角大于 C．直角三角形的每个锐角都大于 D．直角三角形有一个锐角小于 3．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 4．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 5．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以． 6．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 1．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 3．如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 4．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． 1．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 2．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 3．如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 几何证明举例 （4大题型基础达标练+能力提升练+拓展培优练） 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 题型三 平行线的性质与判定的应用 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性 题型一 直角三角形性质定理与判定定理的应用 1．在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴． 故选：B ． 2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 3．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，三角形内角和定理等知识点，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 根据直角三角形的判定和三角形内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①不能确定为直角三角形，故①不符合题意； ②∵，， ∴，，， ∴为直角三角形，故②符合题意； ③设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④设， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴不是直角三角形，故④符合题意； 综上，正确的有②③共2个． 故选D． 4．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 5．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型二 三角形内角和定理及其推论的应用 1．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 2．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解． 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 3．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 4．如图，已知，，点，分别在，上，交于点，交的延长线于点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，涉及到对顶角性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．先根据三角形内角和定理以及对顶角的定义求出，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ． 5．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式以及已知条件求得，再根据三角形中线的定义即可解答； （2）根据三角形的高、三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，即；再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和的定理即可解答． 【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为20， ， ． 是边上的中点， ． （2）解：是边上的高，， ． ，且， ， 平分， ． ． 题型三 平行线的性质与判定的应用 1．如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对顶角定义得到，再由平行线的性质得到，然后由角平分线定义、对顶角相等得到，最后由直角三角形两锐角互余确定，再数形结合表示出求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， , 直线平分， , 则， ， , , 故选：B． 【点睛】本题考查求角度，涉及平行线的性质、角平分线定义、直角三角形两锐角互余、对顶角相等等知识，数形结合，准确表示出所求角度是解决问题的关键． 2．将一幅三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则 ； ⑤ ． 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据得到，可得，据此可判断①；先证明，进而得到，则，再证明，即可判断②；根据题意得到，则，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，，即可判断⑤． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时有， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 若，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 若，则， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 3．如图，直线分别与直线相交于点平分，交直线于点G．若，射线，交于点P，求的度数． 【答案】/121度 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握准确计算是解题的关键． 根据，得，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 4．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 5．如图，，平分与相交于F，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．根据平分得，根据，，推出，即可求证； 【详解】证明：∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的意义，直角三角形的判定，平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 题型四 利用反证法证明一个命题的正确性 1．用反证法证明命题：“如果，那么”．如图，若假设b与c相交于点P，则需要推出的矛盾为（   ） A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，平行线的性质与判定，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．利用反证法若假设b与c相交于点P，可得过直线外一点，有两条直线和与直线平行，与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾，即可得到答案． 【详解】解：命题：“如果，那么”． 若假设b与c相交于点P， ，即过直线外一点，有两条直线和与直线平行， 则与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾， 故选：C． 2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于 B．直角三角形有一个锐角大于 C．直角三角形的每个锐角都大于 D．直角三角形有一个锐角小于 【答案】A 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于． 故选：A． 3．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 4．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明． 【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数， 设（n为整数），则． 因为为偶数， 所以为奇数，与为偶数矛盾， 所以假设不成立，故m为偶数． 5．用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设______，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“_______”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ∵，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立．所以． 6．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 1．如图所示，将长方形纸片沿折痕折叠，点、的对应点分别为、，线段交线段于点，若，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【答案】68 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 3．如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线性质． 由，，而、分别平分和，得到，，于是有，同理可得，即，因此找出规律． 【详解】解：∵、分别平分和， ∴，， 而，， ∴， ∴， 同理可得， 即， ∴， ∴，即． ∴ 故答案为：． 4．（1）如图1的图形是同学们所熟悉的“8字形”，则____；图2中有_____个“8字形”； （2）如图3，的平分线相交于点P，连接，若平分，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，的平分线相交于点的平分线相交于点，是的，直接写出的度数． 【答案】（1）；6；（2），理由见解析，（3）， 【分析】此题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论； （3）根据（1）中的结论和角之间的关系得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）∵， 而， ∴ 图2中以E为交点的“8字形”有1个，以F为交点的“8字形”有1个，以O为交点的“8字形”有4个，共6个； 故答案为：；6； （2）， 理由：∵分别平分和， ， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴； （3）如图； 由（1）的“8字形”得： ， ∵， ∴， ∴， ∵是的， ∴， 解得， 即． 1．如图1，在中，，D是上一点，且；    (1)求证：； (2)如图2，若平分，交于点F，交于E．求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数；（用含的代数式表示） (4)如图3，若E为上一点，交于点F，，，，的面积分别为，且，则 ．（仅填结果） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得，然后求出，从而得到，再根据垂直的定义证明即可 （2）根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余可得从而得到，再根据对顶角相等可得然后等量代换即可得证 （3）根据角平分线定义表示出，从而表示出，利用邻补角即可求出结果； （4）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ； （4），， ， ，， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，角平分线的定义，三角形外角性质，对顶角相等，邻补角的求解，利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出和是解题的关键． 2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，在射线上找一点A，过点A作于点A，交于点B，以A为端点作射线AD、交线段于点 C规定 (1)_____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (2)若 则____（填“是”或“不是”） 灵动三角形； (3)当为“灵动三角形”时，求的度数（不满足题意的情况解答时不用讨论）． 【答案】(1)是 (2)是 (3)或或 【分析】（1）根据，得到，结合定义判定是灵动三角形； （2）根据，得到，结合结合定义判定是 灵动三角形； （3）根据，得到，分类计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，互余性质，分类思想，正确理解新定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵ 且， ∴是灵动三角形， 故答案为：是． （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∵是灵动三角形，， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 2．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】 （1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】 （3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、等角的余角相等，作平行线求解是解答的关键． （1）过E作，则，根据平行线的性质证明，即可作出判断； （2）过E作，则，根据平行线的性质证明，，进而可作出结论； （3）先根据角平分线定义得到，，再根据（1）和（2）中结论可作出判断； （4）过C作，根据平行线的性质和等角的余角相等得到，则有，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3， ∵分别是的角平分线， ∴， 由（1）得， 由（2）得， ∴， 则， 故答案为：； （4），理由： 如图4，过C作，则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 3．如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若，求的度数； （2）若，则 ． 【猜想证明】 （3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变化，理由见解析，结论 （4），理由见解析 【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键． （1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到； （4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， （3）不变化，理由如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即 （4），理由如下： 如图，延长交于点A， 则 ∴， 由（3）可得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$