暑假预习专题12 分式不等式与基本不等式（7知识+14题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题12 分式不等式与基本不等式 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 三角不等式 知识回顾 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 推论 2：如果 、、 是实数，那么 ，当且仅当 时，等号成立． 题型一、分式不等式 例1（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 1-1（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 1-2（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 1-3已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 1-4（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和； (2)求阴影部分表示的集合. 题型二、基本不等式的内容及辨析 例2（23-24高一上·江苏·课前预习）基本不等式的变形 （1） （当且仅当时等号成立）； （2）（当且仅当 时等号成立）. 2-1（2023·上海奉贤·一模）若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是 . 2-2几个重要不等式 （1） （）； （2） （）； （3） （）； （4） 或 （）； （5） 题型三、由基本不等式比较大小 例3（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 3-1（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 32（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 题型四、由基本不等式证明不等关系 例4（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 4-1（22-23高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 4-2（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知，，是正实数，证明： 题型五、基本不等式求积的最大值 例5（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 5-1（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 5-2（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 5-3若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 5-4设实数x、y满足，则的最大值是 ． 题型六、基本不等式求和的最小值 例6（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 6-1（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 6-2（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 6-3（1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 题型七、二次与二次（或一次）的商式的最值 例7（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 7-1若正数，满足，则的最大值为 . 7-2函数的值域是 ． 7-3（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 28．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 7-4（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）设． (1)若全称量词命题“，”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于的不等式． 题型八、基本不等式“1”的妙用求最值 例8（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8-1已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 8-2（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 8-4（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 8-5（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 题型九、条件等式求最值 例9（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 9-1（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 9-2（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 9-3（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 9-4（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 题型十、基本不等式的恒成立问题 例10（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10-1当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10-2（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 10-3已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 10-4（24-25高三上·天津·阶段练习）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 10-5求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 题型十一、对勾函数求最值 例11函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11-1已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为 ． 11-2设，则的最大值为 . 11-3（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少? （3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 题型十二、分类讨论解绝对值不等式 例12（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 12-1（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 12-2（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 12-3（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2） 设，证明：若是奇数，则是奇数. 12-4（24-25高一上·上海·期中）已知函数满足 (1)当时，求不等式的解集； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 题型十三、基本（均值）不等式的应用 例13（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 13-1（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 13-2（24-25高一上·上海·阶段练习）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式； (2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 13-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 13-4（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 题型十四、绝对值三角不等式 例14（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 14-1（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 14-2（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 14-3（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 14-4（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意的实数，的最小值为 ． 14-5（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 14-6（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 2．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 4．（24-25高一上·上海·期中）将在区间上的最大值记为，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 8．（24-25高一上·上海·开学考试）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 (1)请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 10．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面上有两个点，，我们知道两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离.现在关于，两点给出一种新的距离的定义，记，我们称这种距离为曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离等于4，求满足条件的x的取值范围； (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于4，那么a的取值范围是多少？ (3)若点在幂函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 试卷第1页，共3页 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题12 分式不等式与基本不等式 分式不等式与基本不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于 的表达式且 0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 例如， 都是绝对值不等式． 代数意义：|x|= 几何意义：|x|表示数轴上表示数 的点到原点的距离． 含绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式 与 的解集 一般地，当 时，有 ，因此，不等式 的解集是 ； 或 ，因此，不等式 的解集是 ． 2． 和 型不等式的解法 （1）若 ，则 等价于 等价于 或 ，然后根据 、 的值求解即可． （2）若 ，则 的解集为 的解集为 ． 类型 数轴表示 解集 或 或 3． 和 型不等式的解法 法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想 平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 三角不等式 知识回顾 当 、 两数至少有一个为 0 时，可得 ．当 、 两数所表示的点在原点的同侧时，可得 ． 当 、 两数所表示的点在原点的两侧时，可得 ． 定理（三角不等式）两个实数和的绝对值小于等于它们绝对值的和，即对于任意给定的实数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立. 推论 2：如果 、、 是实数，那么 ，当且仅当 时，等号成立． 题型一、分式不等式 例1（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解. 【详解】不等式等价于，即， 解得，即原不等式的解集为. 故答案为：. 1-1（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将1移到不等号左边，通分化简即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 1-2（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 1-3已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 1-4（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和； (2)求阴影部分表示的集合. 【答案】(1),; (2) 【分析】（1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集； （2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合. 【详解】（1）由或，解得 所以集合， 由， 所以集合， （2） 由图中阴影部分可知所求集合为， 因为，所以， 则==， 故阴影部分表示的集合是. 题型二、基本不等式的内容及辨析 例2（23-24高一上·江苏·课前预习）基本不等式的变形 （1） （当且仅当时等号成立）； （2）（当且仅当 时等号成立）. 【答案】 【解析】略 2-1（2023·上海奉贤·一模）若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是 . 【答案】1 【分析】根据基本不等式和几何平均数、算数平均数的概念判断即可. 【详解】根据基本不等式可得，所以与的算数平均数的最小值为1. 故答案为：1. 2-2几个重要不等式 （1） （）； （2） （）； （3） （）； （4） 或 （）； （5） 【答案】 2 【详解】略 题型三、由基本不等式比较大小 例3（20-21高一·江苏·课后作业）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（    ） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a，b∈R+，且a≠b， ∴a+b＞2，∴＜， 而＝＞0， ∴＜， 故选：B 3-1（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【分析】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 32（23-24高一上·陕西西安·期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C 题型四、由基本不等式证明不等关系 例4（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 4-1（22-23高一·全国·课堂例题）设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行证明即可. 【详解】（1）因为，均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． （2）因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 4-2（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知，，是正实数，证明： 【答案】证明见解析 【分析】由均值不等式即可证明. 【详解】证明：由均值不等式可知： , 则, 所以 所以 当且仅当时取等， 又可利用均值不等式构造： 当且仅当，即时取等，即，，时取等. 所以 . 题型五、基本不等式求积的最大值 例5（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 5-1（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 5-2（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 5-3若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 【答案】25 【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设两条直角边的边长分别为，则， 故即，当且仅当时等号成立， 故直角三角形面积的最大值为， 故答案为： 5-4设实数x、y满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】对的符号进行分类讨论，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】若异号，则， 若，则， 若，则， 若同为正数，则，当且仅当时等号成立. 若同为负数，则， ，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为. 故答案为： 题型六、基本不等式求和的最小值 例6（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 6-1（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 6-2（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 6-3（1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解； （2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2）因为，，， 所以， ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为． 题型七、二次与二次（或一次）的商式的最值 例7（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，且，则的最小值是 【答案】1 【分析】利用绝对值三角不等式得，讨论、并结合基本不等式求最小值. 【详解】由. 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为3； 当时，，当且仅当等号成立 ，即此时的最小值为1； 综上：的最小值是1. 故答案为：1 7-1若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 7-2函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 7-3（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 28．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 7-4（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）设． (1)若全称量词命题“，”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将代数式化为，利用基本不等式可求得该代数式的最小值； （3）将所求不等式变形为，对实数的取值范围进行分类讨论，利用一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数， 因为全称量词命题“，”是真命题， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，的最小值为. （3）由可得，即， 当时，原不等式即为，解得； 当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，原不等式即为，即，解得； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型八、基本不等式“1”的妙用求最值 例8（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号， 故选：D 8-1已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 【答案】B 【分析】利用常数代换法求解可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B 8-2（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 8-4（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 8-5（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②时，取最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 题型九、条件等式求最值 例9（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 9-1（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以由，当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 9-2（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 【答案】 【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值，然后根据题中最小值列方程求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 又的最小值为4， ，得 故答案为：. 9-3（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 9-4（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为． 题型十、基本不等式的恒成立问题 例10（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：A. 10-1当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 10-2（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将恒成立转化为最值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】对于任意，恒成立，则 而，当且仅当时取等号，所以. 故选：D. 10-3已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 10-4（24-25高三上·天津·阶段练习）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的最大值，由，运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值， 由 ，（当且仅当取得等号）， 则， 当，即时，， 故的最大值为． 即有． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：，根据得. 10-5求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【分析】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 题型十一、对勾函数求最值 例11函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 11-1已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. 【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 因为当时，； 当时，； 所以，根据对勾函数性质，当时，， 所以，当时，， 因为关于的不等式在区间上总有解， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为 故答案为： 11-2设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 11-3（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少? （3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 【答案】（1）；（2）；（3）时，取得最大值 【分析】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可； （2）对已知函数进行分式分离，结合基本不等式求解最值即可； （3）利用基本不等式和为定值，乘积有最大值求解即可得答案. 【详解】（1）因为x，y是正实数，且，所以， 则， 当且仅当时，即时，的最小值为； （2）因为， 所以， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （3）因为，则， 当且仅当时，即时，取得最大值. 题型十二、分类讨论解绝对值不等式 例12（2024·上海杨浦·一模）已知，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解. 【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为. 所以实数的的取值范围为. 故答案为：. 12-1（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 【答案】或， 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 12-2（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 12-3（24-25高一上·上海·期中）（1）解关于的不等式组 （2）设，证明：若是奇数，则是奇数. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）解分式不等式和解绝对值不等式进行求解即可； （2）用反证法进行证明即可. 【详解】（1）由，解得， 当，即时，，解得， 当，即时，，解得， 则的解集为. （2）假设不是奇数，则是偶数， 设，则， 因为，则，所以是偶数，即是偶数， 这与已知是奇数矛盾， 故假设不成立， 因此证得若是奇数，则是奇数. 12-4（24-25高一上·上海·期中）已知函数满足 (1)当时，求不等式的解集； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）运用零点分区间法，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式可得所求解集； （2）由题意可得，由绝对值不等式的性质可得的最小值，解不等式可得所求范围． 【详解】（1）当时，， 等价为或或， 解得或或， 则不等式的解集为或； （2）恒成立等价为． 由， 当时，上式取得等号， 则，解得或． 所以实数a的取值范围为. 题型十三、基本（均值）不等式的应用 例13（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 13-1（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 13-2（24-25高一上·上海·阶段练习）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式； (2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 【答案】(1)； (2)当仓库A与厂房B距离6千米时，可使得总费用最小，最小值为43万元. 【分析】（1）由时，，求得，即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）由已知得当时，，代入可得，解得， 所以， 所以总费用； （2）由（1）得， 所以（万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当隔离病房与药物仓库距离为6千米时，可使得总费用最小为万元. 13-3（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，； (2)20 (3)每次购买量在吨范围内. 【分析】（1）由题意得到，； （2）表达出一年的总运费与总存储费用之和为，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故每次购买20吨； （3）由题意得，解得， 故每次购买量在吨范围内. 13-4（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 题型十四、绝对值三角不等式 例14（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 14-1（24-25高一上·上海长宁·期末）若对任意，都有，则实数的最大值为 【答案】 【分析】利用绝对值不等式的性质求出的最小值，再根据已知条件确定实数的最大值. 【详解】根据绝对值不等式. 对于，这里，，则. 当且仅当时等号成立，所以的最小值是. 因为对任意，都有恒成立. 这就意味着要不大于的最小值. 而最小值是，所以，那么实数的最大值就是. 故答案为：3. 14-2（24-25高一上·上海徐汇·期末）若关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有，即可求参数范围. 【详解】由，当且仅当时取等号， 所以. 故答案为： 14-3（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 14-4（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意的实数，的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式与绝对值三角不等式求解即可，另外要特别注意等号成立的条件. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 当且仅当，且，即或且时等号成立， 所以， 当且仅当或且时等号成立， 即的最小值为4. 故答案为：4. 14-5（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14-6（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法来求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 2．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】A：∵， ∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确． B：，得， ，所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确． C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：C． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 4．（24-25高一上·上海·期中）将在区间上的最大值记为，则的最小值为 . 【答案】/0.5 【分析】构造函数，由题意利用绝对值不等式性质即可得到在区间上的最小值. 【详解】设， 由题意知：， 可得 , 当且仅当同号或有两个为0时，取等号， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集，再根据题意列不等式组求解即可. 【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解， 所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或或. (2) 【分析】（1）解不等式分别求得集合，再由集合中的元素特征可得结果； （2）由可得，分类讨论集合是否为空集再由包含关系解得实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式可得或； 易知； 当时，可得； 由集合且可得或或. （2）由可得， 当时，可得； 当时，若，可得， 由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可； 综上可得，实数的取值范围为. 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立. 故的最小值为. 8．（24-25高一上·上海·开学考试）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 (1)请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 【答案】(1)，最短时间为 (2) 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，， 因此有， 即，当且仅当时取等号， 即当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为； （2）当时， 当时，满足题意， 当时， 在时恒成立， 由， 于是有， 而，于是有， 综上所述：，而， 所以车辆设计的最高速应小于. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；； (3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）因为且， 所以，且， 所以且. （2）由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 10．（24-25高一上·上海嘉定·期中）在直角坐标平面上有两个点，，我们知道两点之间的距离公式是，这样的距离称为欧几里得距离（简称欧氏距离）或直线距离.现在关于，两点给出一种新的距离的定义，记，我们称这种距离为曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离等于4，求满足条件的x的取值范围； (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于4，那么a的取值范围是多少？ (3)若点在幂函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，分类讨论解绝对值方程可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案． 【详解】（1）因为，，故， 由曼哈顿距离等于4，可得， 当时，，解得，不符合； 当时，恒成立，则； 当时，，解得，不符合； 综上，的取值范围是． （2）因为，，故， 由题意可得：恒成立， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， ，则或，解得或． 故的取值范围是或． （3）点在幂函数图象上且，点的坐标为， 故，， 当时，，函数在上单调递增， 故， 当时，， 令，由于，故，， ，，， 故，即此时最小值为1，此时时取到． 当时，，函数在上单调递减， 故，当且仅当时取等号， 综合以上可知，的最小值为1． 试卷第1页，共3页 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$