第一章 空间向量与立体几何（复习讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（复习讲义） 基础目标 能复述空间向量定义、坐标表示及线性运算规则，会推导数量积公式与坐标运算方法，能应用共线定理判断直线平行，理解并应用空间向量基本定理分解向量。基础题常考向量坐标运算、共线共面判断，如计算向量坐标或用基底表示向量，也能复述方向向量与法向量概念，用向量描述线线、线面、面面平行垂直，阶段考常见用坐标验证位置关系。 进阶目标 会推导空间向量夹角、距离公式，理解并应用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角，如建系算法向量夹角求二面角，高考中档题常考此。能应用向量法证明立体几何定理，通过坐标运算求体积、表面积，如用法向量算点面距离再求体积，阶段考常见用向量法证位置关系或算几何量。 拓展目标 理解并应用向量法解决探索性问题，如设参数求动点坐标验证线面垂直是否存在，高考压轴题常考。能将建筑结构等实际情境抽象为向量问题，用坐标或基底法分析位置与度量关系。 1．证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若，则空间向量共面； ②寻找平面，证明这些空间向量与平面平行． (2)对空间四点可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①； ②对空间任一点，； ③对空间任一点，； 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． （3）代入求解． 3．求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：； ③依据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4．点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 5．点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 6．直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. 7．平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则； 题型一 空间向量及其运算 例1．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 变式1-1．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为分别是的中点， 所以， 则. 故选：B. 变式1-2．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 变式1-3．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 题型二 共面向量定理 例2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为底面是平行四边形， F是的中点，所以F也是中点. 在中，又E是中点，所以，. 又因为，所以， 所以由向量共面定理可知，向量、、共面. 变式2-1．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】∵四点共面，且任意三点不共线， ∴，则. 故选：D. 变式2-2．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则 . 【答案】/ 【详解】连接BD，由题可知. 又，所以，且P，A，C，F四点共面， 所以，解得. 故答案为： 变式2-3．如图，在正方体中，为棱的中点，点在线段上，且． (1)用，，表示，及； (2)求证：，，，四点共面． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【详解】（1）根据题意，， ， 由于，则， 则； （2）证明：由（1）的结论：，，， 则有，则向量、、共面， 必有，，，四点共面． 题型三 空间向量基本定理 例3．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则是异面直线与所成角或其补角， 而，，， ， ， ， ， 在中，. 故答案为：. 变式3-1．在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 【答案】 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 变式3-2．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 变式3-3．如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）因为，则， 所以． （2）由题意可知：， 因为，则， 可得， ， 因为，则， 整理可得， 即，整理可得， 因为，所以． 题型四 空间向量的坐标表示 例4．向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 变式4-1．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 变式4-2．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 变式4-3．在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 【答案】A 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为，则、、、， ，，故，结合图形可知， 故选：A. 题型五 空间向量与位置关系 例5．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 则点在线段上，如图．因平面平面， 且平面平面，平面平面，故， 因平面平面，故平面， 同理可证平面，因平面平面，且， 故有平面平面，又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B选项，若， 则（为的中点）如下图，又因为，所以． ，又因为平面，平面，故B正确； 对于选项，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 因为，，，所以， 则点的坐标为.若，则，，. 假设存在，使，则存在实数，使得，即， 可得，此方程无解，所以不存在，使，选项错误. 对于选项，若，则，，，. 设平面的法向量为，则，即， 由得，代入得， 即，，令，则，，所以. 若平面，则与平面的法向量平行，即存在实数，使得，， 可得，由代入得，解得，所以存在，使平面，选项正确. 故选：ABD． 变式5-1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 变式5-2．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 题型六 求线线角、线面角、二面角 例6．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）方法一：如图，连接交与点，连接， 因为，所以， 又，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 方法二：（1）在中，过点作，因为平面， 所以，， 如图，以点为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，． 则，，． 设平面的法向量，则， 令得 此时，又平面，所以平面． （2）方法一：由（1）知平面的法向量 设平面的法向量为，则， 令得 设二面角的大小为，则 所以二面角的正弦值为． 方法二：因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角大小与二面角大小互余， 所以二面角的正弦值就等于二面角的余弦值， 如图，在中，过点作，过点作，连接， 则，所以即为二面角的平面角 ，在中，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为． 变式6-1．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 变式6-2．如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，点O为AC中点． 所以，且，故在同一条直线上， 在中，由余弦定理，可得， 又，，故得， 解得，又，，故是等边三角形，则， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）由（1）可得，， ，， 在中，由余弦定理可得， 又，，，， 因，则， 又，且，平面，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）已得，故可知平面， 即是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的正弦值为． 变式6-3．如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 题型七 已知线面角、二面角求其他 例7．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，交于点，连接，.    由题意得，且，，为中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以.① 在和中，，，是公共边， 故，故有， 又是中点，所以. 结合①可得. 又， 且，面，故平面. （2）在梯形中，取中点，连接，则， 易证四边形是矩形，故，. 在中，由勾股定理得，故. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，， 则， 由（1）知平面，故， 又，故，又，且， 面，故平面， 故可取为平面的一个法向量. 设为平面的法向量， 则，即，可取. 设二面角的大小为，则，故， 所以， 整理得，解得或（舍），故. 变式7-1．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 变式7-2．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为的中点，点在线段上，且. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 连接，，为线段的中点. 为的中点，， 底面，底面，所以， 底面为正方形，. ，面，面，平面， ，平面. （2） 由题意，两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系. 则，，，， 所以，， 为的中点，，， ，， 设平面的法向量为，则，即， 令，得， 易得平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 化简得，解得或， 点在线段上，，. 变式7-3．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【详解】（1）取的中点，连接. 因为，所以. 在中，，是的中点， 所以. 在中，，所以. 所以，又， 所以平面，又平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 又平面，所以平面. 又平面，所以. 而，平面，所以平面. （2）由（1）知，，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 那么，，. 由（1）知平面，而平面，所以. 所以. 所以. 设平面与平面的法向量分别为. 所以，. 即：，. 令，则；. 所以平面与平面的法向量分别为. 所以. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，因为，， 所以，设平面的法向量为， 则，令，则. 所以平面的法向量为.而 所以. 化简得，解得或者 根据相似可得，所以或者. 所以或者. 题型八 空间中的距离问题 例8．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：在中，因为，且为的中点，所以， 在矩形中，因为和分别为和的中点，可得， 因为平面，且平面，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，可得， 设平面的法向量为，则 取，可得，所以； 因为平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值. （3）解：因为为的中点，可得，所以， 由（2）知，平面的法向量为， 设点到平面的距离为，则.    变式8-1．分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：以为坐标原点，的方向为轴，的方向为轴，的方向为轴，如图所示：    设为异面直线与的公垂线段， 则， 所以 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则有，则有， 取，则 则异面直线与的距离. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在立体几何中，涉及求空间角和距离问题时，利用空间向量求解更简单些. 变式8-2．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 变式8-3．如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在直三棱柱中，，则，，两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 由，则， 由，则， 由，且都在平面内，则平面. （2）设平面的一个法向量，，， 所以，取，则， 所以， 故与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知， 所以点到平面的距离. 题型九 存在性问题 例9．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．证明：在平面上； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. 变式9-1．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，理由见解析，体积为或 【详解】（1）证明：因为是等边三角形，M为边AD的中点，所以， 又因为，，所以． 又因为，平面，故平面MPQ． （2）连接MC，交BD于点E，连接NE． 因为，，所以， 又因为，所以，所以， 又因为平面BDN，平面BDN，所以平面BDN． （3）存在点P，使得二面角的正弦值为，理由如下： 取BC中点F，连接MF，则， 过M作平面ABCD，建立如图所示的直角坐标系． 为等边三角形，边长为2，故， ，，，设，， ， ，，． 设平面MPB的法向量为， 则，即， 取，则， 取， 设平面面MPC的一个法向量为， ， 令，则，， 平面MPC的一个法向量为， 设二面角为，则， 又因为，所以． 所以，解得或， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时， 当时，P到平面ABCD的距离为， 此时． 变式9-2．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析； 【详解】（1）在图1连接交于点， 在图2中，知、都是等边三角形， 得，，又，平面， 可得平面； 又直线平面， 所以. （2）因为，，则在中，由， 由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，， 如图，以的中点为原点，，，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 因此， 设平面的法向量为， 则，解得，令，则； 即向量， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为， （3）假设在内存在点，使得平面成立，， 设，，， ， 由，得， 解得，不满足题意，所以不存在使得平面成立； 变式9-3．图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 变式9-4．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 2．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 3．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 4．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】设，，，则， ， 所以线段的长为5， 故选：B． 5．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 二、多选题 6．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 【答案】ABD 【详解】，A正确； ，B正确； 设异面直线与所成角为，则，C错误； 到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 7．如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面 平面 C．三棱锥的体积是正方体的 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【详解】以D点为坐标原点，DA为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，， 因为， 所以，即直线与所成角为，故A正确； ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，即， 在正方体中，平面的法向量可以为， 因为， 所以平面 平面不成立，故B错误； ，故C正确； 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 8．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 9．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 则． 在上的投影向量的长度为， 点到的距离为 故答案为： 10．如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 【答案】 /0.8 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 四、解答题 11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 12．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 （2）取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 14．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 因为为正三角形，故⊥， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以⊥底面， 又⊥，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 又，故，， 故，， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以 侧面与底面所成角余弦值为. 15．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 16．如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取AB的中点O，连接OF，OC． 因为为等边三角形，所以． 又因为平面，平面，得平面平面， 平面平面，平面，所以平面． 又因为，点F为AD中点， 所以且，又，所以，，所以四边形是平行四边形． 所以，所以平面． （2）由（1）可知平面ABD，平面ABD，所以． 又因为，，所以． 以O为坐标原点，分别以OA、OC、OF所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设正的边长为2，则，，，，， ，，， 设平面的法向量为． 则， 不妨令，则，，得平面的法向量为． 设平面的法向量， 则，不妨令，则，， 得平面的法向量为， 所以． 17．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 设直线和平面所成角为 故所求为. 能力提升进阶练 1．（ 2025·浙江绍兴·二模）已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 2．（ 2024·25高二下·河南洛阳·期末）如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，，， 则， 令，则， 设，则为线段的中点， 因，到的距离分别为3，5，则到的距离分别为， 因，且为线段的中点，则到的距离分别为， 则， 又到的距离为，则，则，即，则， 则，， 则该正方体的棱长为. 故选：B 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B 4．（2024·25高二下·浙江丽水·期末）（多选）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【详解】对A，如图，取中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 又平面，平面， 平面； 又中点为，中点为， ，又平面，平面， 平面； 又， 且平面， 平面平面， 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得， 又中点为，中点为，，而，，故选项B不正确； 对C，由选项B 知，，又面，面， 面，则上的点到平面的距离为定值，设到平面的距离为， 直线与平面所成角为，则，而为定值， 当最大时，最小；此时点位于点时，最大，最小. 分别以为建立空间直角坐标系，则由题意得，，，， 可得，，设平面的法向量， 则有，不妨令可得， 平面的一个法向量，又， 则，故选项C正确； 对D，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最大时，体积最大，∵， 可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时， 所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，， 可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD 5．（2025·安徽合肥·三模）在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 设， 因为， ， ， ， 所以，化简得，得， 即． 又，则 因，则组成一个平面，由可知在线段点在上， 故点在平面内，连接并延长交于点，连接，过点作，交于点，连接， 则矩形即平面截长方体得到的截面. 因，即， ． 故答案为：. 6．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且． (1)若，证明：平面； (2)当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取棱中点记为M，连接， 分别是的中点，且侧面是正方形， ， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面． （2）直三棱柱， 两两垂直，以B点为坐标轴原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的法向量， 则，取， 设平面的法向量， 则，取， 记平面与平面夹角为， 令，所以，在，即时取得最大值． 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）由题意得，又，，平面，， 所以平面，则此时三棱锥如图所示， 由题意得，，，，都是直角三角形，所以， 将三棱锥补全为长方体，此时三棱锥的外接球球心为长方体对角线的中点， 即， 所以三棱锥外接球的表面积为. （2）（ⅰ）设，，则，， 因为，所以， 在直角三角形中，得，整理得，， 因为，， 所以， 因为，所以，故. （ⅱ）由（ⅰ）知，设，则， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 当时，有最大值，最大值为1，此时有最小值， 所以当取最小值时，，且， 由，得，， 所以，，. 如图1，取中点，连接，，则，，故，，，四点共线， 当取最大值时，即平面平面，由翻折关系知， 故直线，，两两垂直，且，， 如图2，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（复习讲义） 基础目标 能复述空间向量定义、坐标表示及线性运算规则，会推导数量积公式与坐标运算方法，能应用共线定理判断直线平行，理解并应用空间向量基本定理分解向量。基础题常考向量坐标运算、共线共面判断，如计算向量坐标或用基底表示向量，也能复述方向向量与法向量概念，用向量描述线线、线面、面面平行垂直，阶段考常见用坐标验证位置关系。 进阶目标 会推导空间向量夹角、距离公式，理解并应用向量法求异面直线所成角、线面角、二面角，如建系算法向量夹角求二面角，高考中档题常考此。能应用向量法证明立体几何定理，通过坐标运算求体积、表面积，如用法向量算点面距离再求体积，阶段考常见用向量法证位置关系或算几何量。 拓展目标 理解并应用向量法解决探索性问题，如设参数求动点坐标验证线面垂直是否存在，高考压轴题常考。能将建筑结构等实际情境抽象为向量问题，用坐标或基底法分析位置与度量关系。 1．证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若，则空间向量共面； ②寻找平面，证明这些空间向量与平面平行． (2)对空间四点可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①； ②对空间任一点，； ③对空间任一点，； 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． （3）代入求解． 3．求平面法向量的方法 ①设出平面的法向量为)； ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：； ③依据法向量的定义建立关于的方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 4．点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 5．点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点，向量是向量在平面上的投影向量，则 6．直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则第一步：；第二步：. 7．平面与平面所成角（二面角） 设，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小，则 第一步：； 第二步：若二面角为锐二面角，则；若二面角为钝二面角，则 题型一 空间向量及其运算 例1．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 变式1-2．在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 题型二 共面向量定理 例2．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 变式2-1．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式2-2．在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E满足，点F满足，若P，A，C，F四点共面，则 . 变式2-3．如图，在正方体中，为棱的中点，点在线段上，且． (1)用，，表示，及； (2)求证：，，，四点共面． 题型三 空间向量基本定理 例3．在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 变式3-1．在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为 ． 变式3-2．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3-3．如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 题型四 空间向量的坐标表示 例4．向量 且 ，则实数 . 变式4-1．设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 变式4-2．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 变式4-3．在正方体中，为棱的中点，点、分别在线段、上，且，，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．所成的角的余弦值为 D．所成的角的余弦值为 题型五 空间向量与位置关系 例5．（多选）在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则平面ABP C．若，则存在，使 D．若，则存在，使平面DPB 变式5-1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 变式5-2．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 变式5-3．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 题型六 求线线角、线面角、二面角 例6．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱上一点，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 变式6-1．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 变式6-2．如图，在四棱锥中，，，，，，，，其中O为AC中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 变式6-3．如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 题型七 已知线面角、二面角求其他 例7．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 变式7-1．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 变式7-2．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为的中点，点在线段上，且. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 变式7-3．如图，在四棱锥中，，，，，是棱的中点，且平面，点是棱上的一点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 题型八 空间中的距离问题 例8．如图，在三棱柱中，平面，且，，，分别为，，，的中点，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 变式8-1．分别为异面直线上的点，若且，则称为异面直线的公垂线段，其长定义为两异面直线间的距离，则在边长为1的正方体中，与的距离是（  ） A． B． C． D． 变式8-2．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为 . 变式8-3．如图，在直三棱柱中，，，，M、N、P分别是、、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 题型九 存在性问题 例9．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．证明：在平面上； 变式9-1．如图，在三棱柱中，侧面ABCD是边长为2的正方形，为等边三角形，M为边AD的中点，点N在线段PC上． (1)证明：平面MPQ； (2)若，证明：平面BDN； (3)是否存在点P，使得二面角的正弦值为？如果存在，求出四棱锥的体积，如果不存在，说明理由． 变式9-2．如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 变式9-3．图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 变式9-4．图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 2．已知，，，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 3．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 5．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．在空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离是 7．如图，已知正方体边长为，则下列说法正确的是（    ） A．直线与所成角为 B．平面 平面 C．三棱锥的体积是正方体的 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题 8．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 9．已知棱长为1的正方体，若点在正方体内部且满足，则点到的距离为 ． 10．如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 四、解答题 11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 12．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 13．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 14．如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，分别为的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求侧面与底面所成角的余弦值． 15．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 16．如图，已知是等边三角形，，，平面ABC点F为AD的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求平面ACE与平面ADE夹角的余弦值． 17．如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线和平面所成角的正弦值． 能力提升进阶练 1．（ 2025·浙江绍兴·二模）已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（ 2024·25高二下·河南洛阳·期末）如图，在正方体中，过点A作一平面，使得正方体的各个顶点都在的同一侧，且，，三个点到的距离分别为3，4，5，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D．12 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高二下·浙江丽水·期末）（多选）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 5．（2025·安徽合肥·三模）在长方体中，．若，点M在长方体内且，则平面ADM截长方体的截面面积为 ． 6．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且． (1)若，证明：平面； (2)当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值． 7．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$