精品解析：上海市长宁区2024—2025学年下学期八年级数学期末卷

2024学年第二学期初二数学教学质量调研试卷 （测试时间为90分钟，满分为100分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一次函数，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 下列方程中，有实数解方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中必然发生的是（ ） A. 同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19 B. 一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数 C. 上海天天都是晴天 D. 由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. 平行四边形 B. 正三角形 C. 菱形 D. 等腰梯形 6. 下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（ ） A. 联结三角形两腰中点线段叫做三角形的中位线 B. 联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C. 三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D. 梯形中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7. 若函数是一次函数，则的取值范围为________． 8. 将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为_______． 9. 用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是________． 10. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 11. 计算：_______． 12. 在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形周长为________． 13. 菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为_____． 14. 如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为__________厘米． 15. 如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为________． 16. 已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 17. 如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 18. 如图，已知C、D是线段上两点，且，P是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，若G为线段的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段的长之间的函数关系式为_______． 三、解答题（本大题共7个题，共46分．第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分） 19. 解方程： 20. 解方程组． 21. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，E为中点，连接、．已知，设，． （1）用和表示、，并求； （2）在图中作出． 22. 小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？ 23. 某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 24. 如图，矩形的对角线和相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； （3）填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 25. 如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． （1）填空：线段的长分别是__________，__________，__________； （2）折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期初二数学教学质量调研试卷 （测试时间为90分钟，满分为100分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的主要步骤． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知一次函数，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求不等式． 根据一次函数的表达式建立不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：当时， 解得 故选：B． 2. 已知点、、是一次函数的图像上的三点，则在、、中最小的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性；根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而减小． ∵ ∴， ∴最小的值为， 故选：C． 3. 下列方程中，有实数解的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，解根式方程．逐一判断即可． 【详解】解：选项A： ∵， ∴，， 即， 有实数解，故符合题意； 选项B： ∵， ∴，不成立 无实数解，故不符合题意； 选项C： ∵， ∴且， ∴且，不成立 无实数解，故不符合题意； 选项D： ∵， ∴且， 即且，不成立 无实数解，故不符合题意； 故选A． 4. 下列事件中必然发生的是（ ） A. 同时掷三枚相同的骰子，朝上一面的三个数字之和为19 B. 一副洗好的扑克牌，从中任抽一张牌的点数是奇数 C. 上海天天都是晴天 D. 由三个数字1、2、3组成的任意一个三位数都是3的倍数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件类型的判断．根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，逐一分析各选项的可能性． 【详解】解：选项A：三个骰子的最大点数之和为，而19超过最大值，故为不可能事件； 选项B：扑克牌有52张，其中奇数点数的牌有28张，从中任抽一张牌的点数是奇数，属于随机事件； 选项C：天气存在不确定性，“天天都是晴天”为不可能事件； 选项D：由数字1、2、3组成的三位数，其各位数字之和为，而6是3的倍数，因此所有排列结果均为3的倍数，属于必然事件； 故选：D． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. 平行四边形 B. 正三角形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A、平行四边形只是中心对称图形，不符合题意； B、正三角形只是轴对称图形，不符合题意； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、等腰梯形只是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】综合考查轴对称图形及中心对称图形的知识；掌握常见图形属于哪类对称图形是解决本题的关键． 6. 下列关于三角形的中位线、梯形的中位线的表述，正确的是（ ） A. 联结三角形两腰中点的线段叫做三角形的中位线 B. 联结梯形两底边中点的线段叫做梯形的中位线 C. 三角形的一条中位线一定与该三角形第三边上的中线互相平分 D. 梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线，梯形的中位线．逐一分析各选项是否符合三角形和梯形中位线的定义及性质即可解答． 【详解】解： A：联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，故本选项表述错误； B：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，故本选项表述错误； C：如图， 是的中位线，是边上的中线，与相交于点O， ∵是中位线， ∴点，分别是，的中点， ∵是边上的中线， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 因此，在三角形中，任一中位线必与第三边上的中线互相平分．故本选项表述正确； D：如图，在梯形中，，是梯形的中位线，是梯形的高，交于点M，设，， ∵是梯形的中位线， ∴，，， ∴四边形，都是梯形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 因此，梯形的中位线一定将该梯形分成面积相等的两部分的表述是错误的． 故选：C 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 7. 若函数是一次函数，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义可得一次项系数不为0，据此可得答案． 【详解】函数是一次函数， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键． 一般地，形如y=kx+b (k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数． 8. 将直线沿轴向上平移4个单位后，所得直线的截距为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，直线在轴上的截距的含义，先求解平移后的解析式为，再进一步求解即可. 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位后得到的直线解析式为：， ∴当时，， ∴所得直线的截距为； 故答案为：． 9. 用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：设，则， 原方程化为：， 即， 故答案为：． 10. 一个多边形的每一个外角都等于60度，则这个多边形的内角和为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角综合，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据题意，得这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为，再求出这个多边形的内角和，即可作答． 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60度， ∴这个多边形的每一个内角，且这个多边形的边数为 则， 故答案为：． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先计算出，再计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，三角形中位线定理．连接，根据等腰梯形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴，，，， ∴四边形的周长， 故答案为：80． 13. 菱形ABCD的边AB为5，对角线AC为8，则菱形ABCD的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度，根据菱形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴， 菱形ABCD的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形面积的计算方法等知识，解题关键是利用勾股定理求菱形的对角线． 14. 如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为__________厘米． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，先根据正方形的性质求出，再结合勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米， ∴ ∴ 即 则正方形的对角线的长（厘米）， 故答案为：2 15. 如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解含参数的一元一次方程，。熟练掌握一元一次方程的解和正负数的偶次幂都为正数是解题的关键，由于是方程的解，将其代入即可得到的值，从而得到，进而可求得的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴这个方程的另一个实数解为， 故答案为：． 16. 已知a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，如点在“勾股一次函数”的图像上，且的面积为4，则c的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，把点P坐标代入一次函数解析式中可得，根据勾股定理和三角形面积计算公式可得，，则，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点在“勾股一次函数”的图象上， ∴， ∴， 又∵a、b、c分别为的三条边长，c为斜边长，，的面积是4， ∴，， ∴， ∴， 解得或（负值舍去）， 故答案为：4． 17. 如图，在平行四边形中，于点E，平分交于点F，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．延长到点G使得，可得，再利用平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：延长到点G使得，如图： 由题意可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 在平行四边形中，，，， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，已知C、D是线段上两点，且，P是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，若G为线段的中点，当点P由点C移动到点D时，则点G移动的路径长度y与线段的长之间的函数关系式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，延长交于H，连接，由等边三角形的性质可得，则可证明，进而可证明四边形是平行四边形，则可推出点为的中点，分别取的中点M、N，连接，则由三角形中位线定理可得，据此可证明三点共线，点G的运动路径即为线段，由三角形中位线定理可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解；如图所示，延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点G为的中点， ∴点为的中点， 如图所示，分别取的中点M、N，连接， ∴分别为中位线， ∴， ∴三点共线， ∴点G的运动路径即为线段， 同理可得是中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个题，共46分．第19、20、21、22题，每题5分；第23、24题，每题8分；第25题10分） 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先移项，两边平方，然后整理求得x的值，最后进行检验即可. 【详解】解：原方程化为： 两边平方，得 ， 整理，得， 解得， 经检验：是原方程的根，是原方程的增根， ∴原方程的根为 . 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，二次根式的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 20. 解方程组． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组，先根据得到，则可得到方程组或，分别解这两个方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， 解方程组得， 解方程组得， ∴原方程组的解为或． 21. 如图，在平行四边形中，对角线和相交于点O，E为中点，连接、．已知，设，． （1）用和表示、，并求； （2）在图中作出． 【答案】（1），， （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了向量之间的加减运算和向量作图，解题关键是理解向量的运算法则． （1）利用平行四边形的性质进行向量之间的转化，再通过计算即可完成求解； （2）过作，过作，再利用平行四边形法则作出向量即可． 【小问1详解】 解：∵平行四边形， ∴，，，，，， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， 作图如下： 则， ∴即为所求. 22. 小杰、小明两人各持有四张分别写有数字1、2、3、4的相同卡片，他俩玩数字游戏，规则如下：两人同时随机各出一张卡片，若两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢．这时每人任出一张卡片，小杰、小明两人谁获胜的机会大？为什么？ 【答案】小杰获胜的机会大，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比，先算出共6种等可能情况，其中2个偶数，4个奇数，再结合概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：小杰获胜的机会大，理由如下： 依题意：， 共6种等可能情况，其中2个偶数，4个奇数， 即出现偶数的概率为，而出现奇数的概率为， ∵，且两张卡片上的数字之和是奇数，则小杰赢；若两张卡片上的数字之和是偶数，则小明赢， ∴小杰获胜的机会大． 23. 某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划医疗队每分钟多检测x人，根据若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务建立方程可求出，设现在每分钟还要多检测y人，根据要再提早小时完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 24. 如图，矩形的对角线和相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； （3）填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，四边形是等腰梯形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形和矩形的性质分别得到，，则可证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，则四边形是等腰梯形； （3）过点E作交延长线于H，由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，由勾股定理可得；证明是等边三角形，得到，则，可得，，求出，则． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是等腰梯形，理由如下： ∵四边形菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵与不平行， ∴四边形是等腰梯形； 【小问3详解】 解：如图所示，过点E作交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． （1）填空：线段的长分别是__________，__________，__________； （2）折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①点D的坐标为②存在， 【解析】 【分析】（1）理解题意，令时，则，即，令时，则，即，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理得，即可作答． （2）①理解题意，设，则，，根据勾股定理得，代入数值进行计算，即可得点D的坐标； ②把点D的坐标代入反比例函数，求出，再求出点F的坐标为，因为四边形是以为底的等腰梯形，得，设直线的解析式为，把，分别代入，，因为设直线的解析式为，计算化简得直线的解析式为，设，结合点F的坐标为，得，运用公式法进行解方程， 进行下一步分析，当时，则不平行，此时四边形为等腰梯形，再求出．即可作答． 【小问1详解】 解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，等腰梯形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，折叠性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$