精品解析：上海市崇明区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷

2024学年第二学期初一年级期末考试数学学科试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若，则，则选项A不符合题意， 若，则，则选项B不符合题意， 若，则，则选项C不符合题意， 若，则，则选项D符合题意， 故选：D． 2. 下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A. 全等三角形对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 直角三角形中有两个锐角 D. 对顶角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的定义，逐一分析各选项的原命题和逆命题的真假，判断是否均为真命题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、原命题“全等三角形对应角相等”为真；逆命题“对应角相等的三角形全等”为假（如相似三角形不全等），故不符合题意； B、原命题“等腰三角形的两个底角相等”为真；逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”为真（根据等角对等边），故符合题意； C、原命题“直角三角形中有两个锐角”为真；逆命题“有两个锐角的三角形是直角三角形”为假（如锐角三角形有三个锐角），故不符合题意； D、原命题“对顶角相等”为真；逆命题“相等的角是对顶角”为假（如同位角可能相等但不是对顶角），故不符合题意； 综上，只有选项B的原命题和逆命题均为真命题， 故选：B． 3. 如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（ ） A. 4厘米 B. 8厘米 C. 12厘米 D. 16厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质定理和等腰三角形的性质． 根据等腰可得，再由，，可求出，，即可解答． 【详解】解：∵等腰的一腰长为4厘米 ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长为（厘米）． 故选B． 4. 将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：如图，标记各点和角度， 由三角板可知，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 5. 圆柱和圆锥的底面周长比是，体积比是，圆柱与圆锥高的比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比的应用，圆柱与圆锥体积关系，由底面周长比可得半径比，利用圆柱和圆锥体积公式建立比例关系，代入已知体积比，解方程得到高之比，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵圆柱和圆锥的底面周长比是，圆周长公式， 故半径比 ∵圆柱体积，圆锥体积，， ∴代入公式得：， 约去并整理得：， 设，，代入后得：， ∴， ∴， 故圆柱与圆锥高的比为， 故选：B． 6. 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 8. 已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式，解题的关键掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义得到，则，然后把b的值代入已知不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，则， ∴， 解得 ． 故答案为：． 9. 将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 先根据平行线的性质求出的度数，再由对顶角相等求出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ， ， ， 的直角三角板， ， ， 故答案为：． 10. 我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，理解判定是关键；由折纸过程即可得过点P的直线均与直线a，b垂直，则由平行线的判定可判定直线a的平行线b． 【详解】解：由题意知，过点P作直线a的垂线c，再过点P作直线c的垂线b，则直线c分别与直线a，直线b垂直，由同位角相等，两直线平行；或内错角相等，两直线平行；或同旁内角互补，两直线平行；均可判定． 故答案为：①②③． 11. 一个圆柱的侧面积是，高是，它的底面半径是___________．（取3.14） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆柱侧面积问题. 设底面半径为，可得，求解即可得到答案． 【详解】解：设底面半径为． 根据题意，得． 解得． 故答案为：． 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 13. 如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为___________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质． 利用三角形外角性质求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，证得，，求出，利用四边形内角和求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴P为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质. 设交于，可得为等边三角形，，即得，，又由旋转得，，即可得到，得到为等边三角形，进而可得，即可得到． 【详解】解：设交于，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵绕点D逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，根据等边三角形的性质可得垂直平分，连接交于点，则此时的值最小，最小为长，根据的面积公式可推出，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形，平分， ∴，，， ∴点和关于直线对称， 连接交于点，则此时的值最小，最小为长，即⊥， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 18. 如图，已知，连接，．、分别是、的角平分线（点在平行线之间），已知．与之间的关系式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，以及四边形内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先根据题意画出图形，根据可得，，由角平分线的定义得，，然后利用四边形内角和等于360度即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22~23题7分，第24题10分，第25题14分，共58分） 19. 解一元一次不等式组： 【答案】不等式组的解集为 ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤及“不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变”是解题的关键． 解一元一次不等式组的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1；按照步骤分别解不等式，然后取公共部分，写出解集即可． 【详解】解：， 解得： 解得： 不等式组的解集为 ：． 20. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） （2）小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 【答案】（1）见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作图−−基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）由角平分线的定义得，由等腰三角形的性质得，，等量代换得，进而可证结论成立． 【小问1详解】 如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ， ， ∴，． 故答案为：，，，． 21. 一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． （1）容器中水的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 【答案】（1）立方厘米 （2）10厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥与圆柱的体积计算： （1）直接根据圆柱的体积计算公式求解即可； （2）先求出这个容器的总体积，进而求出图2中空白部分的体积，再求出空白部分圆柱的高即可得到答案． 【小问1详解】 解：容器中水的体积：（立方厘米） 答：容器中水的体积是立方厘米． 【小问2详解】 解：圆柱的体积：（立方厘米） 圆锥的体积：（立方厘米） 所以图2中空白部分的体积为（立方厘米） 所以从水面到圆锥顶点的高度：（厘米） 答：从水面到圆锥顶点的高度是10厘米． 22. 如图，点、为线段上两点，于，于，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】（1）见解析 （2）图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直定义得，根据，得，进而可依据“”判定和全等； （2）①，先由（1）的结论得，，进而可依据“”判定和全等；②，先由得，，再证明，，进而可依据“”判定和全等；③，根据，，，可依据“”判定和全等；④和，先根据垂直定义得，再根据，，可依据“”判定和全等，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 23. 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． （1）如图，和的关系为___________． （2）如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】（1），； （2）结论仍然成立，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． （3）如图3，若，，，，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． （1）由，得，再代入，可求得； （2）过E作，过点F作，根据平行公理的推论得，由平行线的性质，，可得，由平行线的性质得，从而； （3）由上结论知，进而得，从而，由“8”字三角形得，进而便可求得的度数． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：过E作，过点F作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由上结论知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴． 25. （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初一年级期末考试数学学科试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分） 1. 根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（　　） A. 全等三角形对应角相等 B. 等腰三角形的两个底角相等 C. 直角三角形中有两个锐角 D. 对顶角相等 3. 如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（ ） A. 4厘米 B. 8厘米 C. 12厘米 D. 16厘米 4. 将一副三角板按如图所示摆放在两条平行线内，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 圆柱和圆锥的底面周长比是，体积比是，圆柱与圆锥高的比为（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作______个不同的三角形． 8. 已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 9. 将含有的直角三角板在两条平行线中按如图摆放，若，则的度数是______． 10. 我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______． 11. 一个圆柱的侧面积是，高是，它的底面半径是___________．（取3.14） 12. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 13. 如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为___________． 14. 如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 15. 如图，等边三角形的边长为6，、分别为、边上的点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则___________． 16. 如图，是等边三角形，平分，点E是边的中点，F是线段上一点，若，，则的最小值为________． 17. 如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________． 18. 如图，已知，连接，．、分别是、的角平分线（点在平行线之间），已知．与之间的关系式为___________． 三、解答题（本大题共7题，第19题6分，第20题8分，第21题6分，第22~23题7分，第24题10分，第25题14分，共58分） 19. 解一元一次不等式组： 20. 如图，在中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） （2）小川判断，以下是他的证明思路，请帮他完善． 证明：平分， ①___________， 是的垂直平分线， ，②___________， ，③___________． ，④___________， ． 21. 一个密闭玻璃容器是由一个圆柱和一个圆锥组成的，里面装有一些水（如图1，单位：厘米，玻璃的厚度忽略不计）． （1）容器中水的体积是多少立方厘米？ （2）如果将这个容器倒过来（如图2），从水面到圆锥顶点的高度是多少厘米？ 22. 如图，点、为线段上两点，于，于，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 23. 如图，与的顶点重合，，，，连接、，将绕点旋转． （1）如图，和的关系为___________． （2）如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 24. 学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． （3）如图3，若，，，，直接写出的度数． 25. （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $