新概念背景下的距离问题与应用讲义-2026届高三数学一轮复习

83.新概念背景下的距离问题与应用 一．基本原理 ★1.欧几里得距离：也称为欧氏距离，是最常见的距离度量方式.在二维平面中，两点之间的欧几里得距离. 在维空间中，两点和之间的欧几里得距离为 . ★2.曼哈顿距离：在二维平面上，两点之间的曼哈顿距离 .在维空间中，两点和之间的曼哈顿距离为，它表示在网格状的空间中，从一点到另一点的最短路径长度，不允许斜向移动. ★3.切比雪夫距离：二维平面上，两点之间的切比雪夫距离 .在维空间中，两点和之间的切比雪夫距离为. ★4. 闵可夫斯基距离：它是欧几里得距离，曼哈顿距离等的一般化形式. 对于维空间中的两点和，闵可夫斯基距离定义为，其中.当时，就是曼哈顿距离；当时，就是欧几里得距离；当时，就是切比雪夫距离. ★5.豪斯多夫距离 设和是度量空间中的两个非空子集，豪斯多夫距离定义为： 通俗地说，豪斯多夫距离是从集合中的点到集合中的点的距离的上确界与从集合中的点到集合中的点的距离的上确界两者中的较大值. ★6.其他泛函距离 对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者． 二．典例分析 例1．已知实数满足，则的最小值为_______. 例2．已知实数，且函数，则函数的最小值为___________． 例3．闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例4．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C．对任意三点、、，都有 D．已知点和直线：，则 例5.（江苏省苏北七市州2025届高三一模）．在平面直角坐标系中，设，，定义：．若，且，则下列结论正确的是（    ） A．若关于x轴对称，则 B．若关于直线对称，则 C．若，则 D．若，，则 例6．在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“距离”为，其中表示中的较大者，则点与点之间的“距离”为_________.若平面内点和点之间的“距离”为，则点的轨迹围成的封闭图形的面积为___________. 例7．在平面直角坐标系中，过椭圆外一动点作的两条切线，且. （1）求动点的轨迹的方程； （2）对于给定非空点集，若中的每个点在中都存在一个与它之间距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点，若分别是线段和曲线上所有点构成的集合，为曲线上一点，当的面积最大时，求. 参考公式，四元均值不等式，当且仪当时取到等号. 三．习题演练 1．闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数． 则下列说法正确的有（    ） A．若，则； B．若，其中，则； C．若，其中，则的最小值为． D．若，其中，则； 3．（安徽省合肥市2024届高三二模）在平面直角坐标系中，定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆，点在椭圆上，轴.点满足.若直线与的交点在轴上，则的最大值为________. 在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点和，记，称为点与点之间的“距离”，其中表示中较大者． （1）计算点和点之间的“距离”； （2）设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以为半径的“圆”．求以原点为圆心，以为半径的“圆”的面积； （2）证明：对任意点． 学科网（北京）股份有限公司 $$83.新概念背景下的距离问题与应用 一.基本原理 1.欧几里得距离:也称为欧氏距离,是最常见的距离度量方式.在二维平面中,两点之间的欧几里得距离. 在维空间中,两点和之间的欧几里得距离为 . 2.曼哈顿距离:在二维平面上,两点之间的曼哈顿距离 .在维空间中,两点和之间的曼哈顿距离为,它表示在网格状的空间中,从一点到另一点的最短路径长度,不允许斜向移动. 3.切比雪夫距离:二维平面上,两点之间的切比雪夫距离 .在维空间中,两点和之间的切比雪夫距离为. 4. 闵可夫斯基距离:它是欧几里得距离,曼哈顿距离等的一般化形式. 对于维空间中的两点和,闵可夫斯基距离定义为,其中.当时,就是曼哈顿距离;当时,就是欧几里得距离;当时,就是切比雪夫距离. 5.豪斯多夫距离 设和是度量空间中的两个非空子集,豪斯多夫距离定义为: 通俗地说,豪斯多夫距离是从集合中的点到集合中的点的距离的上确界与从集合中的点到集合中的点的距离的上确界两者中的较大值. 6.其他泛函距离 对平面直角坐标系中两个点和,记,称为点与点之间的“距离”,其中表示中较大者. 二.典例分析 例1.已知实数满足,则的最小值为_. 解析:因为,所以 ,则,相当于圆上的任一点到点与的距离之和,如图, 因为,当在线段与圆的交点处时,即为所求,所以所求最小值为.故答案为:. 例2.已知实数,且函数,则函数的最小值为_. 解析:由题意得,设,, 则点在曲线上,点在抛物线上,的几何意义为,两点间距离与点到轴的距离之和.设抛物线的焦点为,则由抛物线的定义知,所以,所以, 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值,设曲线上的点,到点的距离最小,则与曲线在点处的切线垂直, 即,所以,作出函数与函数的图象,如图所示: 由图象知,两函数图象只有一个交点,所以方程的解为,则. 所以,所以函数的最小值为. 故答案为:. 例3.闵氏距离()是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法,设点、坐标分别为,,则闵氏距离.若点、分别在和的图像上,则的最小值为( ) A. B. C. D. 解析:由题意得,设,因为点A、B分别在函数和的图象上,所以, 当且仅当时等号成立.设,,则,令,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,所以,即,所以, 即,所以的最小值为.故选:A. 例4.在平面直角坐标系中,定义为两点,的“切比雪夫距离”,又设点及直线上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,则下列命题中正确的是( ) A.,,则 B.为坐标原点,动点满足,则的轨迹为圆 C.对任意三点、、,都有 D.已知点和直线:,则 解析:对于选项A:若,,则, 因为,所以,故A正确; 对于选项B:设,若,则,且等号至少有一个成立, 可得的轨迹如图所示,为正方形,故B错误; 对于选项C:设,则, 同理可得,所以,故C正确;对于选项D:设为直线上一点,则, 当,即时,则,可知当时,取得最小值; 当,即或,则,无最小值;综上可得:,故D正确;故选:ACD. 例5.(江苏省苏北七市州2025届高三一模).在平面直角坐标系中,设,,定义:.若,且,则下列结论正确的是( ) A.若关于x轴对称,则 B.若关于直线对称,则 C.若,则 D.若,,则 解析:对于A,因为关于x轴对称,且,, 所以,而,得到,同理,即此时满足,故A正确, 对于B,因为关于直线对称,且,,所以,则, ,构造,由指数函数性质得在上单调递增,,因为,且,所以,得到, 则,得到,即,则,故B正确, 对于C,由题意得,,因为,所以,得到,令,符合题意,此时, 而,则,由已知得,则,故C错误, 对于D,设,,则,则,同理可得,得到,而, 得到,则,即此时满足题意,则,得到,故D正确.故选:ABD 例6.在平面直角坐标系中,若定义两点和之间的“距离”为,其中表示中的较大者,则点与点之间的“距离”为_.若平面内点和点之间的“距离”为,则点的轨迹围成的封闭图形的面积为_. 解析:点与点之间的“t距离”为 ;若平面内点和点之间的“t距离”为,则, 不妨设,解得或,此时,即, 由对称性可知,当或时,,如图所示: ,所以A点的轨迹就是正方形的四条线段,则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为.故答案为:;4. 例7.在平面直角坐标系中,过椭圆外一动点作的两条切线,且. (1)求动点的轨迹的方程; (2)对于给定非空点集,若中的每个点在中都存在一个与它之间距离最小的点,且所有最小距离的最大值存在,则记此最大值为.已知直线与曲线相交于两点,若分别是线段和曲线上所有点构成的集合,为曲线上一点,当的面积最大时,求. 参考公式,四元均值不等式,当且仪当时取到等号. 解析:(1)当的斜率不存在或者为0时,由题意可知点的坐标为或; 当切线的斜率存在且不为0时,设过作椭圆的切线的斜率为,则切线的方程为,将其与椭圆方程联立,并化简得由题意得,,设的斜率分别为,则是上式的两个根,且,所以,则,又,则,即, 注意到,均满足方程,则动点的轨迹的方程为; (2)过圆心作直线的垂线,垂足为,设,则, 由题意, 又, 当且仅当,即时,等号成立,此时,对于线段上的任何一个点,曲线上与距离最近的点为射线与圆的交点,距离的最小值为,又因为,所以,由题意得,. 三.习题演练 1.闵可夫斯基距离,是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和,这两组数据间的闵氏距离定义为,其中表示阶数. 则下列说法正确的有( ) A.若,则; B.若,其中,则; C.若,其中,则的最小值为. D.若,其中,则; 3.(安徽省合肥市2024届高三二模)在平面直角坐标系中,定义为两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆,点在椭圆上,轴.点满足.若直线与的交点在轴上,则的最大值为_. 在数学中,广义距离是泛函分析中最基本的概念之一.对平面直角坐标系中两个点和,记,称为点与点之间的“距离”,其中表示中较大者. (1)计算点和点之间的“距离”; (2)设是平面中一定点,.我们把平面上到点的“距离”为的所有点构成的集合叫做以点为圆心,以为半径的“圆”.求以原点为圆心,以为半径的“圆”的面积; (2)证明:对任意点. 参考答案 1. 解析:对于A:,故A正确. 对于B:,, 所以,故B正确. 对于C:构造函数,, 则的最小值即两曲线动点间的最小距离, 由,得,且, 所以斜率为1的切线方程为, 直线到的距离为, 所以两曲线动点间的最小距离为,故C正确. 对于D:,, 不妨设,,因为,所以, 所以,所以, 所以,则,故D错误. 故选:ABC 2.解析:设,由题意,; 不妨设点位于第一象限,由可得, 设直线与的交点为,则有,; , 由可得,整理得①; , 由可得,整理得②; 联立①②可得,由题意,所以, 由椭圆的对称性可知,, 因为,设,, ,其中;所以当时,取到最大值.故答案为: 3.解析:(1)由定义知,; (2)设是以原点为圆心,以为半径的-圆上任一点,则. 若,则; 若,则有. 由此可知,以原点为圆心,以为半径的“圆”的图形如下所示: 则“圆”的面积为. (3)考虑函数. 因为,所以在上单调递增. 又, 于是 , 同理,. 不妨设, 则 . 学科网(北京)股份有限公司 $$