精品解析：山东省威海市文登区乡镇（五四制）2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

初二数学下学期期中测试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列命题：①不相交的两条直线平行； ②三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和；③垂直于同一条直线的两直线互相垂直；④同旁内角互补．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何基本定理，真假命题的判定，熟知几何基本定理是解题关键．根据在同一平面内，不相交的两条直线平行；三角形外角定理；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补逐一判断即可． 【详解】解：在同一平面内，不相交的两条直线平行，故命题①为假命题； 根据三角形外角定理，外角等于不相邻两内角之和可知②为真命题； 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故命题③为假命题； 当两直线平行时，同旁内角互补，故命题④为假命题． 综上，真命题仅有1个， 故选A． 2. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 一副三角板按图所示方式叠放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线性质求得，根据三角形外角性质即可求解． 【详解】，， ， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解题的关键． 4. 若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得：x=y， ∴4x+3x=14， ∴x=2，y=2， 代入方程kx+（k-1）y=6得， 2k+2（k-1）=6， 解得k=2． 故选C． 5. 如图，在下列四组条件中① ② ③ ④ ⑤能判断的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行线判定的方法． 利用平行线判定方法逐一进行判定即可． 【详解】解：①∵， ∴， 故符合题意； ②∵， ∴， 故不符合题意； ③∵， ∴， 故符合题意； ④由，不能推出， 故不符合题意； ⑤∵， ∴， 故不符合题意； 综上，①，③符合题意， 故选：B． 6. 某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可． 【详解】解：设搭建可容纳人的帐篷个，可容纳人的帐篷个， 依题意得：， 又，均为自然数， 或或或， 不同的搭建方案有种． 故选：． 【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，熟练掌握二元一次方程解得定义是解题的关键． 7. 如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（　　） A. 48 B. 52 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图形列出二元一次方程组求出、的值，再由大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 由图可得：， 得：， 把代入①得：， 大长方形的宽为：， 大长方形的面积为：， 7个小长方形面积为：， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程组，以及代数式求值，根据题意找出、的等量关系式是解题的关键． 8. 如图所示，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键，根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于，即可求解． 【详解】解：如图，先标注顶点， ∵，， 又∵， ∴， 故选：C． 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 10. 如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题(共6小题，每题3分，共18分） 11. 将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________． 【答案】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【解析】 【分析】首先要分清原命题的题设与结论，题设是角平分线上的点，可改为点在角平分线上，如此答案可得． 【详解】如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 故答案为：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及命题的改写问题．找准原命题的题设与结论是正确解答本题的关键． 12. 如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率，设计轴对称图形，根据轴对称图形的性质，确定可以涂的小正方形的个数，再用概率公式进行计算即可． 【详解】解：所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合的个数总共有7个，其中所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的情况有3种，如图： ∴； 故答案为：． 13. 如图，把长方形纸片沿折叠，，则___． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，角的和差求出的度数，平行线的性质求出的度数，折叠求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程的综合，解题的关键是根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 15. 如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管_____根． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解． 【详解】∵添加的钢管长度都与相等，， ∴， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形， 即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是，第八个是，第九个是就不存在了． 所以一共有8个． 故答案为：8． 16. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，延长交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，，由此等量代换即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，72分） 17. 解方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解二（三）元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：； ∴； 【小问2详解】 原方程组可化为：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； ∴； 【小问3详解】 ， ，得：，解得：； ，得：，解得：； 把，代入①，得：，解得：； ∴． 18. 已知关于，方程组的解也是方程的一个解，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，把看作已知数表示出方程组的解得到与，然后代入已知方程计算求出的值即可，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法（代入消元法和加减消元法）以及二元一次方程解的定义． 【详解】解：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， 将，代入，得：， 解得： 即的值为． 19. 补全证明过程与依据． 已知：如图，平分．求证：． 证明： （ ） 平分 （ ） 又 （ ） 又 （ ） （ ） 【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线与垂直的定义，利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】证明： （垂直的定义） 平分 （角平分线的定义） 又 （等角的余角相等） 又 （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 20. 在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率． （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 【答案】（1），；（2）2个和5个 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可求出摸出的球是红球和黄球的概率； （2）设放入红球x个，则黄球为（7-x）个，由摸出两种球的概率相同建立方程，解方程即可求出7个球中红球和黄球的数量分别是多少． 【详解】解:（）∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同 ∴摸出每一球的可能性相同 ∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是 （）设放入红球个,则黄球为个,由题意列方程得: ，解得， ∴这个球中红球和黄球的数量分别应是2个和5个. 【点睛】本题考查的是求随机事件的概率，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【解析】 【分析】由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理可得，于是可得，根据垂线的定义即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ，， ，， ，， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，垂线的定义等知识点，利用各项已知条件推出是解题的关键． 22. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 【答案】甲种商品原来的单价是40元，乙种商品原来的单价是60元． 【解析】 【详解】试题分析：如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为x+y=100根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为x（1-10%）+y（1+40%）=100（1+20%） 试题解析：设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得 ， 解得：． 答：甲种商品原来的单价是40元，乙种商品原来的单价是60元． 考点：二元一次方程组的应用． 23. 如图所示，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴分别交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． （1）求点D的坐标及直线的表达式． （2）在直线上是否有一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把点代入即可求出m；再求出点C坐标，用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据三角形的面积公式求出的面积；设点P坐标为，分两种情况求出的面积，从而求出m的值． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 把D，C坐标代入得：， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线的解析式为， 当时，， ∴点A坐标为， ∴； ∵直线的解析式为， 当时，， ∴点B坐标为， 如图所示：设点P坐标， 当P在轴右侧时， 当时，则有：， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当P在轴左侧时， 同理可得，， ∴点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 24. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，大； （2）,理由见详解 （3）存，或时 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【小问1详解】 解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学下学期期中测试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列命题：①不相交的两条直线平行； ②三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和；③垂直于同一条直线的两直线互相垂直；④同旁内角互补．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 3 一副三角板按图所示方式叠放，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 若方程组的解中x与y的值相等，则k为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 如图，在下列四组条件中① ② ③ ④ ⑤能判断的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（　　） A. 48 B. 52 C. 58 D. 64 8. 如图所示，度数是（ ） A. B. C. D. 9. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共6小题，每题3分，共18分） 11. 将命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________． 12. 如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合，小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为_____． 13. 如图，把长方形纸片沿折叠，，则___． 14. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是_________． 15. 如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，则最多能添加这样的钢管_____根． 16. 悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是____． 三、解答题（共8小题，72分） 17 解方程组： （1） （2） （3） 18. 已知关于，的方程组的解也是方程的一个解，求的值． 19. 补全证明过程与依据． 已知：如图，平分．求证：． 证明： （ ） 平分 （ ） 又 （ ） 又 （ ） （ ） 20. 在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． （1）分别求出摸出的球是红球和黄球的概率． （2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去7个同样的红球或黄球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？ 21. 如图，已知，，，试猜想与的位置关系，并证明你的结论． 22. 甲、乙两种商品原来的单价和为100元．因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 23. 如图所示，直线与y轴交于点A，直线与y轴，x轴分别交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． （1）求点D坐标及直线的表达式． （2）在直线上是否有一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $