5. 带电粒子在电场中的运动（高效培优讲义）物理人教版2019必修第三册

5. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 带电粒子在电场中的加速 1 题型2 带电粒子在电场中的偏转 4 题型3 带电粒子在电场做圆周运动 8 题型4 示波管 13 【能力培优练】 17 【链接高考】 25 【重难题型讲解】 题型1 带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （3）两种分析思路 ★特别提醒 （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 【探究归纳】带电粒子在电场中加速时，电场力做功使其动能增加，可通过匀强电场或交变电场实现，遵循动能定理。 【典例1-1】初速度均为0的质子和粒子（氦原子核）经过相同的电压加速后，获得的动能之比为（ ） A．2:1 B．1:1 C．1:2 D．1:4 【典例1-2】（多选）一质量为的带电液滴以竖直向下的初速度进入某电场中，由于电场力和重力的作用，液滴沿竖直方向下落一段距离后，速度变为0，已知重力加速度为g，在此过程中，以下判断正确的是（　　） A．液滴一定带负电 B．重力对液滴做的功为 C．合外力对液滴做的功为 D．液滴的机械能减少了 【典例1-3】有一水平方向的匀强电场，场强，一带正电的微粒以竖直向上的初速度从A点射入电场，一段时间后从点离开电场，两点在同一条水平直线上。已知带电微粒质量，所带的电荷量，重力加速度，微粒向上运动过程中未冲出电场。求： (1)带电微粒在竖直方向上的最大位移； (2)两点的电势差； (3)带电微粒在电场运动过程中速度的最小值。 跟踪训练1 如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点，由O点静止释放的电子恰好能运动到P点，现将C板向左平移到点，则由O点静止释放的电子 A．运动到P点返回 B．运动到P和点之间返回 C．运动到点返回 D．穿过点后继续运动 跟踪训练2 （多选）多级加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加，圆筒和交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m，电荷量为e，电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒内部场强处处为零，电子在圆筒内做匀速运动 B．t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来 C．电子离开第8个圆简的速度大小为 D．第n个圆筒的长度正比于n 跟踪训练3 如图所示是直线加速器的一部分，AB接在电压大小恒定、极性随时间周期性变化的电源上，粒子运动到圆筒与圆筒之间的间隙时，恰好都能使静电力的方向与运动方向相同而不断加速。一质子以初速度从第3个金属圆筒左侧的小孔进入圆筒，以的速度进入第5个金属圆筒。质子在每个筒内均做匀速直线运动，时间恰好都为，在每两筒的缝隙间电场加速的时间不计。已知质子的电荷量与质量之比约为，求： (1)圆筒3的长度； (2)周期性电源的电压大小。 题型2 带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 3、几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点． （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 ★特别提醒 分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 【探究归纳】带电粒子垂直电场进入时做类平抛运动，沿电场方向偏移，可通过控制场强、板长等调节偏转量，动能与电势能相互转化。 【典例2-1】如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中。在满足电子能射出平行板区的条件下，下列四种情况下一定能使电子的偏转角θ变大的是（　　） A．U1变大、U2变大 B．U1变小、U2变小 C．U1变大、U2变小 D．U1变小、U2变大 【典例2-2】（多选）如图，一个静止的电子（电荷量大小为e，质量为m）经电压为的电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的匀强电场，两极板的长度为l，相距为d，极板间的电压为。电子射出电场时速率为v，电子射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为y。则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【典例2-3】某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U1，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： (1)质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； (2)质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (3)平行金属板C、D间的电压大小U2。 跟踪训练1 如图一平行板电容器，A、B、C、D分别是它的四个端点，两板之间接恒压电源。现有三个不同带电粒子1、2、3分别从靠近A点位置、AC连线中点位置、AB中点位置（板间内）以大小相同的速度平行于板方向进入平行板，它们均恰好能到达D点，则带电粒子1、2、3在运动过程中（不考虑粒子重力的影响），下列说法正确的是（    ） A．粒子运动的时间之比1∶1∶1 B．三个粒子比荷之比2∶1∶8 C．三个粒子电势能变化量之比2∶1∶2 D．三个粒子到达D点的速度之比2∶1∶2 跟踪训练2 （多选）有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的油滴，从极板左侧中央以相同的水平初速度v先后垂直电场射入，落到极板A、B、C处，如图所示，则（　　） A．油滴A带正电，B不带电，C带负电 B．三个油滴在电场中运动时间相等 C．三个油滴在电场中运动的加速度aA<aB<aC D．三个油滴到达极板时动能EkA=EkB=EkC 跟踪训练3 X-CT扫描是计算机射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测，如左下图所示。右下图是某种X-CT扫描机产生X射线部分的示意图，电子从极板附近由静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上中心点而产生射线（如图中带箭头的竖直虚线所示）。已知间加速电压为，间偏转电压为，板间距为，板长均为，极板的右端到直线的水平距离为，电子质量为，电量大小为，忽略极板边缘的电场与电子间的相互作用，不计空气阻力。求： (1)电子从偏转极板间射入时的速度大小； (2)电子打到靶台上中心点时，图中的高度； (3)若只改变极板间电压，发现打在靶台上的电子动能最小为，求对应的偏转电压。 题型3 带电粒子在电场做圆周运动 1、类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 ★特别提醒 等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 【探究归纳】带电粒子在电场中做圆周运动时，需电场力提供向心力，常见于点电荷电场，满足库仑力等于向心力，轨迹为匀速圆周。 【典例3-1】在竖直平面内有水平向右、场强为E = 1 × 104 N/C的匀强电场。在场中有一根长L = 1 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1 kg的带电小球，它静止时细线与竖直方向成45°角。如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能和重力势能的零点，下列说法正确的是（g = 10 m/s2，取1.4）（　　） A．小球所带电量为q = 1.4 × 10−3 C B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时机械能最大 C．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中动能最小值是5 J D．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中电势能最大值为17 J 【典例3-2】（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为、电荷量为的小球，系在一根长为的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕点做圆周运动。为圆周的水平直径，为竖直直径。已知重力加速度为，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若将小球在A点由静止开始释放，则小球能沿圆弧到达点 B．若小球恰能在竖直平面内绕点做圆周运动，则它运动的最小速度为 C．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则小球运动到点时的机械能最大 D．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不能到达点 【典例3-3】如图所示，在光滑水平地面上一轻质绝缘弹簧的一端连接在球B上，另一端与带电荷量为的绝缘球C接触但未拴接，两球静止、弹簧处于原长状态。球A从光滑斜面上距水平地面高为处由静止滑下（不计小球A在斜面与水平地面衔接处的能量损失），与球B发生正碰后粘在一起，碰撞时间极短，稍后球C脱离弹簧，在水平地面上匀速运动后，进入固定放置在水平地面上的竖直光滑圆轨道（底部留有小球进入的小孔）。竖直线与圆轨道相切，的右侧存在一个水平向右的匀强电场，电场强度的大小为。已知球A、B、C的质量分别为，且三个小球均可视为质点。圆轨道的半径，重力加速度取。求： (1)球C脱离弹簧时的速度大小； (2)球在圆轨道上运动过程中最大速度的大小； (3)若改变球释放的高度，要使得球C在圆轨道运动时中途不脱离轨道，求对应的取值范围。（在球C离开弹簧后球、B及弹簧均被拿走） 跟踪训练1 如图所示，绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E。在与环心等高处放有一质量为m、电荷量为+q的小球，由静止开始沿轨道运动，下述说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中机械能守恒 B．小球经过环的最低点时速度最小 C．小球经过环的最低点时对轨道压力大小为 D．小球由静止开始沿轨道运动到最低点的过程中电势能减小 跟踪训练2 （多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度 B．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 C．小球动能的最小值为，小球动能的最大值为 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 跟踪训练3 如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，轨道半径为R，a为轨道最低点。一质量为m、电荷量为（）的带电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点处于静止状态，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角，，，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v的速度，使小球能沿轨道做完整的圆周运动。 (1)求电场强度E的大小； (2)求a、p两点电势差Uap； (3)求小球在a点的速度大小va。 题型4 示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 ★特别提醒 示波器的工作原理从本质上来说是利用了带电粒子在电场中的运动，因为电子带负电，电子总是会逆着电场线方向运动，所以在解决这类问题时可以把握一个技巧“哪边正，朝哪偏”。 【探究归纳】示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，电子枪发射电子，经偏转电极后打在荧光屏上显示波形。 【典例4-1】某学生用示波器观察按正弦规律变化的电压图线时，他将扫描范围旋钮置于第一挡（10Hz～100Hz）。把衰减调节旋钮置于“”挡，把同步极性选择开关置于“＋”位置，调节扫描微调旋钮，在屏上出现了如图甲所示的正弦曲线。后来他又进行了两步调节，使图象变成如图乙所示的曲线，这两步调节可能是（　　） A．将衰减调节旋钮换至10挡并调节标有“↓↑”的竖直位移旋钮 B．将同步极性选择开关置于“-”位置并调节Y增益旋钮 C．将同步极性选择开关置于“-”位置并调节标有“↓↑”的竖直位移旋钮 D．调节扫描范围旋钮和调节Y增益旋钮 【典例4-2】（多选）如图所示为真空中的实验装置，平行金属板之间的加速电压为，之间的偏转电压为，为荧光屏。现有质子、氘核和粒子三种粒子分别在A板附近由静止开始加速，最后均打在荧光屏上。已知质子、氘核和粒子的质量之比为，电荷量之比为，则质子、氘核和粒子三种粒子（　　） A．三种粒子都打在荧光屏上同一个位置 B．从开始到荧光屏所经历时间之比为 C．打在荧光屏时的动能之比为 D．打在荧光屏时的动能之比为 【典例4-3】示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图所示，给电子枪通电后，有电子逸出（初速度为0），经电压为的电场加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上。荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立坐标系。已知电子的比荷为k。偏转电极各极板长度和板间距均为d，偏转电极右侧边缘中心与荧光屏中心相距3.5d，下列各种情况电子均能打到荧光屏上，求： (1)若偏转电极不加电压，电子在荧光屏上的坐标和电子打在荧光屏上的速度大小； (2)在（1）的基础上，仅给偏转电极加上电压（Y接正极），电子在荧光屏上的坐标； (3)在（2）的基础上，再给偏转电极加上电压（X接正极），电子在荧光屏上的坐标。 跟踪训练1 如图所示为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空。A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出的速度大小为v。下列说法中正确的是（　　） A．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度为 B．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为 C．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为 D．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为 跟踪训练2 （多选）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（　　） A．极板X应带负电 B．极板应带负电 C．极板Y应带负电 D．极板应带负电 跟踪训练3 如图所示为一真空示波管，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子的质量为m，电荷量大小为e。求： (1)电子在偏转电场中运动的时间； (2)电子从偏转电场射出时的侧移量； (3)P点到O点的距离。 【能力培优练】 1．如图所示，矩形区域内有水平方向的匀强电场，一个带负电的粒子从A点以某一速度射入电场中，最后以另一速度从B点离开电场，不计粒子所受的重力，A、B两点的位置如图所示，则下列判断中正确的是（　　） A．电场强度的方向水平向左 B．带电粒子在A点的电势能小于在B点的电势能 C．粒子在电场中运动的过程中，电势能最大处为A点 D．粒子在电场中运动的全过程中，动能最大处为B点 2．有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，下图是它的原理图。如图所示，如果两偏转电极都不加偏转电压，电子束将刚好打在荧光屏的中心处，形成亮斑。如果在偏转电极XX’上不加电压，在偏转电极YY’上加电压，YY’两极板间距为d。现有一电子以速度进入示波管的YY’偏转电场，最后打在荧光屏上的位置与中心点竖直距离为y，电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间为t，则下列说法正确的是（   ） A．若，则电子打在荧光屏中心位置下方 B．若仅增大偏转电压，则t不变 C．若仅减小YY’极板间距离d，则y不变 D．若，则可以让电子打在荧光屏正中心处 3．如图所示，一个电容为C，电量为Q的平行板电容器竖直放置，两板间的电场可视为匀强电场，将一个质量为m，电荷量为﹣q的带电小球（可视为质点），不可伸长的绝缘细线悬挂于两板间O点．现将小球拉至水平位置M点，由静止释放，当小球沿圆弧向下摆动60度到达N点时，速度恰好为零．则（　　） A．电容器的左极板带正电 B．绳子的最大拉力为2mg C．电容器两极板间的距离为 D．如果让电容器的带电量减半，小球仍从M点有静止释放，到达N点时速度仍为0 4．如图所示，空间中存在一个水平向右的匀强电场E，一带正电质量m=1kg小环穿过粗糙的水平杆，带电量q=1C，轻质弹性绳的下端与小环相连，劲度系数k=10N/m，上端固定在墙上N点，弹性绳跨过固定在M处的光滑小滑轮，O为水平杆上的一点，O、M、N在同一竖直线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小环从O点静止释放，最远能达到P点，Q为OP中点。已知O、M间距为4m，O、Q间距为3m，小球与杆间动摩擦因数为0.5，重力加速度g=10m/s2，绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法错误的是（    ） A．场强E=45N/C B．小环从O运动至P的过程中，受到摩擦力逐渐增大 C．小环第一次运动至Q点时，速度最大 D．小环最终可以停在Q点右侧的某一位置 5．A、B板间存在竖直方向的匀强电场，现沿垂直电场线方向射入三种比荷（电荷量与质量的比）相同的带电微粒（不计重力），a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点射入的。不计空气阻力，则可知粒子运动的全过程（　　） A．运动加速度 B．速度变化量 C．飞行时间 D．电势能的减少量 6．如图所示，水平放置的平行板电容器，上板带负电，下板带正电。带正电小球以速度水平射入电场并恰好沿下板边缘飞出。若下板不动，将上板上移一小段距离，小球仍以相同的速度从原处飞入。则带电小球（　　） A．仍沿原轨迹由下板边缘飞出 B．仍向下偏转并打在下板上 C．可能不发生偏转，沿直线运动 D．若上板不动，将下板上移一段距离，小球仍能从板间飞出 7．如图所示，竖直平面内光滑圆弧轨道半径为R，等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于圆周最低点，CD是AB边的中垂线。在A、B两顶点上放置一对等量异种电荷。现把质量为m带电荷量为的小球由圆弧的最高点M处静止释放，到最低点C时速度为。不计对原电场的影响，取无穷远处为零电势，静电力常量为k，则（　　） A．C点电势与D点电势不相同 B．M点电势为 C．小球在圆弧轨道上运动过程机械能守恒 D．小球对轨道最低点C处的压力大小为 8．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是 A．小球可以运动至c点 B．小球将在b点保持静止 C．小球运动过程中的最大速率为 D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点 9．（多选）某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到处，假设粒子仅受电场力作用，和已知，则（　　） A．粒子可能带负电 B．粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先减小后增大 C．粒子的初动能大小为 D．粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为 10．（多选）如图所示，两平行板水平放置，板间存在匀强电场。质量相等的P、M、N三个小球一个带正电，一个带负电，一个不带电，分别从O点以相同速度水平射入电场，落点如图，则这三个小球（　　） A．N带正电，M不带电，P带负电 B．到达正极板时速度大小相等 C．在电场中运动时间不相等 D．在电场中的加速度大小 11．（多选）如图示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带正电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L。现加一水平向右足够大的匀强电场，电场强度大小为，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程的最小速度至少为 B．小球在运动过程的最大速度至少为 C．若将轻绳向左拉直至水平位置后由静止释放，小球到达最低点时的速度为 D．若将轻绳向左拉直至水平位置后由静止释放，小球到达最低点时的速度为 12．（多选）如图甲所示，A、B两极板与交变电源相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，A 板的电势为0，质量为m，电荷量为-q的电子仅在电场力作用下，在 时刻从 A 板的小孔处由静止释放进入两极板间运动，恰好能到达B板，则（　　） A．电子在两极板间的最大速度为 B．两极板间的距离为 C．若将B 极板向上移动少许，则电子到达 B 板时速度大于0 D．若电子在 时刻进入两极板，它将一直加速向B极板运动，最终到达 B 极板 13．如图所示，边长为的正方形区域内存在着匀强电场。一个质量为、电量为、初速度为的带电粒子从点沿方向进入电场，不计重力。若粒子恰好从点离电场，则电场强度 ，粒子离开电场时的动能 。 14．如图所示，虚线MN、PQ之间存在水平向右的匀强电场，两虚线间距离为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从点由静止释放，经电压为的电场加速后，由点垂直进入水平匀强电场中，从上的某点（图中未画出）离开，其速度与电场方向成角。不计粒子的重力，求： (1)粒子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)粒子在水平匀强电场中的加速度大小； (3)bc两点间的电势差。 15．如图所示，在平面直角坐标xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的水平匀强电场，在y轴负半轴上的O'处固定着一点电荷（设匀强电场与点电荷电场以x轴为界互不影响）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成角射入第四象限，此后在点电荷作用下做匀速圆周运动，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出，OP的长度为8R。不计粒子重力，静电力常量为k，。 求： (1)M、N两点间的电势差； (2)O'处点电荷的电性和电荷量Q。 16．如图所示，AB为半径R = 1 m的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着E = 1 × 106 V/m，方向竖直向上的匀强电场，有一质量m = 1 kg，带电量q = +1.4 × 10−5 C的物体（可视为质点），从A点的正上方距离A点H = 0.85 m处由静止开始自由下落（不计空气阻力）经圆弧轨道AB和水平直线轨道BC从C点抛出，已知BC段是长L = 2 m、与物体间动摩擦因数为µ = 0.2的粗糙绝缘水平面，CD段为倾角θ = 53°且离地面DE高h = 0.8 m的斜面。（取g = 10 m/s2） (1)求A、B两点的电势差UAB； (2)求物体从C处射出后，C点至落点的水平位移。（已知sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，不考虑物体反弹以后的情况） (3)若H可调，求H至少需要多大才能使滑块沿圆弧从A运动到B。 17．如图所示，竖直平面内有一xOy坐标系，只在y轴正半轴和边界OM之间存在竖直向下的匀强电场，OM与x轴正半轴的夹角为β且满足。在O处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为m、电荷量为的粒子，且这些粒子的入射速度方向与x轴正半轴的夹角均为。若粒子的入射速率为时，发现粒子沿x轴正方向打到OM上的点，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)求粒子从O到P的时间t及匀强电场的电场强度大小E； (2)若粒子的入射速率范围为，求粒子打到边界OM上的区间长度； (3)若粒子的入射速率范围为，调节β使其满足，同样只在y轴正半轴和边界OM之间存在相同的匀强电场，求粒子打到x轴正半轴上的区间长度。 【链接高考】 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 3．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 4．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5. 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 带电粒子在电场中的加速 1 题型2 带电粒子在电场中的偏转 8 题型3 带电粒子在电场做圆周运动 16 题型4 示波管 27 【能力培优练】 35 【链接高考】 57 【重难题型讲解】 题型1 带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （3）两种分析思路 ★特别提醒 （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 【探究归纳】带电粒子在电场中加速时，电场力做功使其动能增加，可通过匀强电场或交变电场实现，遵循动能定理。 【典例1-1】初速度均为0的质子和粒子（氦原子核）经过相同的电压加速后，获得的动能之比为（　　） A．2:1 B．1:1 C．1:2 D．1:4 【答案】C 【详解】粒子经过加速电场过程，根据动能定理有 粒子获得的动能 解得 可知，动能之比等于粒子所带电荷量之比，质子所带电荷量为粒子所带电荷量的一半，即获得的动能之比为1:2。 故选C。 【典例1-2】（多选）一质量为的带电液滴以竖直向下的初速度进入某电场中，由于电场力和重力的作用，液滴沿竖直方向下落一段距离后，速度变为0，已知重力加速度为g，在此过程中，以下判断正确的是（　　） A．液滴一定带负电 B．重力对液滴做的功为 C．合外力对液滴做的功为 D．液滴的机械能减少了 【答案】CD 【详解】A．由于液滴沿竖直方向下速度变为0，表明液滴做减速运动，加速度方向向上，则电场力方向向上，电场力方向与电场强度方向相同，即液滴一定带正电，故A错误； B．根据功的定义式可知，重力做功为 故B错误； C．根据动能定理，合外力对液滴做的功为 故C正确； D．液滴下落过程，重力做正功，重力势能减小，液滴做减速运动，速度减小，动能减小，可知，机械能减小，且液滴的机械能减少了 故D正确。 故选CD。 【典例1-3】有一水平方向的匀强电场，场强，一带正电的微粒以竖直向上的初速度从A点射入电场，一段时间后从点离开电场，两点在同一条水平直线上。已知带电微粒质量，所带的电荷量，重力加速度，微粒向上运动过程中未冲出电场。求： (1)带电微粒在竖直方向上的最大位移； (2)两点的电势差； (3)带电微粒在电场运动过程中速度的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在竖直方向上，速度减为零的时间为t0，由 解得 在竖直方向上最大位移 解得 （2）根据对称性，微粒在电场中的时间为 水平方向加速度 水平方向位移为 A、B两点之间的电势差为 （3）带电微粒水平方向速度 带电微粒竖直方向速度 带电微粒的速度 代入数据 由数学知识，速度v具有最小值的时间为 解得速度v的最小值 跟踪训练1 如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、P点，由O点静止释放的电子恰好能运动到P点，现将C板向左平移到点，则由O点静止释放的电子（　　） A．运动到P点返回 B．运动到P和点之间返回 C．运动到点返回 D．穿过点后继续运动 【答案】D 【详解】由O点静止释放的电子恰好能运动到P点，表明电子在薄板A、B之间做加速运动，电场力做正功，电场方向向左，在薄板B、C之间做减速运动，电场力做负功，电场方向向右，到达P点时速度恰好为0，之后，电子向左加速至M点，再向左减速至O点速度为0，之后重复先前的运动，根据动能定理有 解得 根据 当C板向左平移到点，B、C间距减小，B、C之间电压减小，则有 结合上述有 可知，电子减速运动到的速度不等于0，即电子穿过点后继续向右运动。 故选D。 跟踪训练2 （多选）多级加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加，圆筒和交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m，电荷量为e，电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒内部场强处处为零，电子在圆筒内做匀速运动 B．t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来 C．电子离开第8个圆简的速度大小为 D．第n个圆筒的长度正比于n 【答案】AB 【详解】A．因一个筒只接一个电极，所以金属圆筒内部场强处处为0，电子在圆筒内做匀速运动，故A正确； B．因为筒长是按一定的规律增加的，那么电子在每个筒内运动的时间必须为交流电周期的一半，所以当t=0时，电子进入1号筒，当时，电子从1号筒中心飞出，以此类推，当t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来，故B正确； CD．设粒子进入第n个筒时的速度为，由动能定理可得 解得 电子离开第8个圆简的速度大小为 故第n个筒的长度为 可以发现 故CD错误。 故选AB。 跟踪训练3 如图所示是直线加速器的一部分，AB接在电压大小恒定、极性随时间周期性变化的电源上，粒子运动到圆筒与圆筒之间的间隙时，恰好都能使静电力的方向与运动方向相同而不断加速。一质子以初速度从第3个金属圆筒左侧的小孔进入圆筒，以的速度进入第5个金属圆筒。质子在每个筒内均做匀速直线运动，时间恰好都为，在每两筒的缝隙间电场加速的时间不计。已知质子的电荷量与质量之比约为，求： (1)圆筒3的长度； (2)周期性电源的电压大小。 【答案】(1)0.8m (2) 【详解】（1）圆筒3的长度 代入数据得 （2）由图可知，从3到5经过2次加速，设加速电压为，根据动能定理可知 由题意可知 联立代入数据得 题型2 带电粒子在电场中的偏转 1、两种偏转的情形 情形 进入电场的方式 受力特点 运动特点 图示 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场 以初速度v0垂直场强方向射入匀强电场，受恒定电场力作用，做类似平抛运动。 电场力大小恒定，且方向与初速度v0的方向垂直。 做类平抛运动（匀变速曲线运动运动）。 先加速后偏转 静止放在匀强电场中，经过电场加速获得速度v0，然后垂直场强方向射入匀强电场。 加速阶段：电场力大小恒定，且方向与运动方向平行；偏转阶段：电场力大小恒定，且方向与速度v0的方向垂直。 加速阶段：匀加速直线运动；偏转阶段：做类平抛运动。 2、基本规律 （1）初速度方向：粒子做匀速直线运动，通过电场的时间t＝。 （2）静电力方向：做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝＝。 （3）离开电场时垂直于板方向的分速度vy＝at＝。 （4）速度方向与初速度方向夹角的正切值tan θ＝＝。 （5）离开电场时沿静电力方向的偏移量y＝at2＝。 3、几个常用推论 （1）粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点，此点为粒子沿初速度方向位移的中点． （2）位移方向与初速度方向间夹角α的正切值为速度偏转角θ正切值的，即tan α＝tan θ。 （3）不同的带电粒子(电性相同，初速度为零)，经过同一电场加速后，又进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合。 ★特别提醒 分析粒子的偏转问题也可以利用动能定理，即qEy＝ΔEk，其中y为粒子在偏转电场中沿静电力方向的偏移量。 【探究归纳】带电粒子垂直电场进入时做类平抛运动，沿电场方向偏移，可通过控制场强、板长等调节偏转量，动能与电势能相互转化。 【典例2-1】如图所示，电子在电势差为U1的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为U2的两块平行极板间的电场中。在满足电子能射出平行板区的条件下，下列四种情况下一定能使电子的偏转角θ变大的是（　　） A．U1变大、U2变大 B．U1变小、U2变小 C．U1变大、U2变小 D．U1变小、U2变大 【答案】D 【详解】在加速电场中，根据动能定理 解得 在偏转电场中，根据牛顿第二定律 且 偏转角的正切为 若使偏转角变小即使变大，由上式看出可以减小U1增大U2。 故选D。 【典例2-2】（多选）如图，一个静止的电子（电荷量大小为e，质量为m）经电压为的电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的匀强电场，两极板的长度为l，相距为d，极板间的电压为。电子射出电场时速率为v，电子射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为y。则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．电子在加速电场中，根据动能定理有 在偏转电场中，电子做类平抛运动，则有 ， 根据牛顿第二定律有 解得 故A正确，B错误； CD．偏转电场中的电场强度 根据动能定理有 结合上述解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【典例2-3】某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U1，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： (1)质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； (2)质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (3)平行金属板C、D间的电压大小U2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）质子经过加速电场过程，根据动能定理可得 解得 （2）质子射出金属板C、D间时，设垂直金属板方向的分速度为，根据题意有 质子在金属板C、D间做类平抛运动，则有 ， 联立解得 （3）质子在金属板C、D间有 ， 又 联立解得 跟踪训练1 如图一平行板电容器，A、B、C、D分别是它的四个端点，两板之间接恒压电源。现有三个不同带电粒子1、2、3分别从靠近A点位置、AC连线中点位置、AB中点位置（板间内）以大小相同的速度平行于板方向进入平行板，它们均恰好能到达D点，则带电粒子1、2、3在运动过程中（不考虑粒子重力的影响），下列说法正确的是（    ） A．粒子运动的时间之比1∶1∶1 B．三个粒子比荷之比2∶1∶8 C．三个粒子电势能变化量之比2∶1∶2 D．三个粒子到达D点的速度之比2∶1∶2 【答案】B 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，初速度相同，水平方向是匀速直线运动，有 由图可知 解得粒子运动的时间之比2∶2∶1，故A错误； B．竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，可得 又 联立，解得 由图可知 解得三个粒子比荷之比2∶1∶8，故B正确； C．粒子电势能的变化量 题中没有三个粒子电荷量大小关系，所以无法确定它们电势能变化量之比，故C错误； D．粒子到达D点时的速度大小为 题中条件不足，所以无法得出三个粒子到达D点的速度之比，故D错误。 故选B。 跟踪训练2 （多选）有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的油滴，从极板左侧中央以相同的水平初速度v先后垂直电场射入，落到极板A、B、C处，如图所示，则（　　） A．油滴A带正电，B不带电，C带负电 B．三个油滴在电场中运动时间相等 C．三个油滴在电场中运动的加速度aA<aB<aC D．三个油滴到达极板时动能EkA=EkB=EkC 【答案】AC 【详解】BC．三个油滴在水平方向做匀速直线运动，根据 可知，三个油滴在电场中运动的时间 竖直方向上做匀加速直线运动，偏转的位移相等，则有 解得 故三个油滴的加速度为 B错误，C正确； A．根据牛顿第二定律可知 三个油滴的质量相等，加速度越大，合外力越大，故C油滴受到的合外力最大，C油滴带负电，A油滴受到的合外力最小，A油滴带正电，B油滴不带电，A正确； D．根据动能定理可知，重力与电场力所做的功等于其动能的变化量，三个油滴的初动能相等，重力做功相等，电场力对A油滴做负功，对C油滴做正功，对B油滴不做功，故三个油滴到达极板的动能大小为 D错误。 故选AC。 跟踪训练3 X-CT扫描是计算机射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测，如左下图所示。右下图是某种X-CT扫描机产生X射线部分的示意图，电子从极板附近由静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上中心点而产生射线（如图中带箭头的竖直虚线所示）。已知间加速电压为，间偏转电压为，板间距为，板长均为，极板的右端到直线的水平距离为，电子质量为，电量大小为，忽略极板边缘的电场与电子间的相互作用，不计空气阻力。求： (1)电子从偏转极板间射入时的速度大小； (2)电子打到靶台上中心点时，图中的高度； (3)若只改变极板间电压，发现打在靶台上的电子动能最小为，求对应的偏转电压。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在间加速，由动能定理 解得 （2）电子在间做类平抛运动，设加速度为，经过时间射出电场强度为的偏转电场时，水平方向有 竖直方向有 平抛运动反向延长线过偏转电场水平位移中点，由几何关系 联立解得 （3）打在靶台右边缘的电子动能最小，设此时电子偏转量为，有 电子从偏转电场射出后动能不变，射出前，由动能定理 联立解得 题型3 带电粒子在电场做圆周运动 1、类型 运动类型 受力分析 系统的形式 运动的条件 仅在电场力作用下的匀速圆周运动 只受电场力（或者库仑力），电场力（或者库仑力）提供向心力。 除带电粒子外，系统存在单个点电荷或者多个点电荷。 速度方向与库仑力力的方向垂直。 电场力和重力作用下的匀速圆周运动 ①受一个库仑力，一个电场力（匀强电场）和重力，重力和电场力平衡，库仑力提供向心力。②只受重力和电场力的情形：二者的合力提供向心力。 ①除带电粒子外，系统存在一个点电荷、一个匀强电场和重力。②除带电粒子外，系统存在一个点电荷和重力。 ①带电粒子受到匀强电场的电场力与重力平衡，速度方向与库仑力的方向垂直。②速度方向与库仑力和重力的合力的方向垂直。 径向电场中的匀速圆周运动 电场力提供向心力。 电子偏转器的剖面图。 速度方向与电场力的方向垂直。 2、重要方法：利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动 （1）“等效重力”及“等效重力加速度”：在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示 ①F合为“等效重力场”中的“等效重力”。 ②g′＝为“等效重力场”中的“等效重力加速度”。 ③F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向。 （2）等效最“高”点与最“低”点的确定方法 ①如图，当电场力和重力方向相反时，若qE＝mg，则小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，则a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，则a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点。 ②如下图，电场力和重力成一定角度时，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。 ★特别提醒 等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。 【探究归纳】带电粒子在电场中做圆周运动时，需电场力提供向心力，常见于点电荷电场，满足库仑力等于向心力，轨迹为匀速圆周。 【典例3-1】在竖直平面内有水平向右、场强为E = 1 × 104 N/C的匀强电场。在场中有一根长L = 1 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系质量为1 kg的带电小球，它静止时细线与竖直方向成45°角。如图所示，给小球一个初速度让小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能和重力势能的零点，下列说法正确的是（g = 10 m/s2，取1.4）（　　） A．小球所带电量为q = 1.4 × 10−3 C B．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时机械能最大 C．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中动能最小值是5 J D．如果小球恰能做圆周运动，在运动过程中电势能最大值为17 J 【答案】D 【详解】A．小球静止时有 解得 故A错误； B．根据能量守恒定律可知，小球在运动过程中机械能最大，则电势能最小，此位置应为与O点等高的直径的右端点，故B错误； C．小球在等效最高点速度最小，动能最小，则 联立解得 故C错误； D．如果小球恰能做圆周运动，则当运动到与O点等高的直径的左端时电势能最大，在运动过程中电势能最大值为 故D正确。 故选D。 【典例3-2】（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为、电荷量为的小球，系在一根长为的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕点做圆周运动。为圆周的水平直径，为竖直直径。已知重力加速度为，电场强度，下列说法正确的是（　　） A．若将小球在A点由静止开始释放，则小球能沿圆弧到达点 B．若小球恰能在竖直平面内绕点做圆周运动，则它运动的最小速度为 C．若小球在竖直平面内绕点做圆周运动，则小球运动到点时的机械能最大 D．若将细线剪断，再将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不能到达点 【答案】CD 【详解】A．设合力方向与电场线方向夹角为，则有 解得 所以将小球静止释放，小球将沿合力方向做匀加速直线运动，不能沿圆弧到达点，故A错误； B．小球受到水平向右的电场力 为 合力为 由A项可知，与电场线方向夹角为，设小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最小速度为v，根据牛顿第二定律有 解得 故B错误； C．由功能关系知，小球机械能的变化等于除重力或弹力之外的力所做的功，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，运动到B点时，静电力做功最多，故运动到B点时小球的机械能最大，故C正确； D．小球将在竖直方向上做竖直上抛运动，水平方向做匀加速直线运动，当竖直方向位移为0时，有 水平方向在电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 则时间内发生的水平位移为 所以小球将不能到达B点，故D正确。 故选CD。 【典例3-3】如图所示，在光滑水平地面上一轻质绝缘弹簧的一端连接在球B上，另一端与带电荷量为的绝缘球C接触但未拴接，两球静止、弹簧处于原长状态。球A从光滑斜面上距水平地面高为处由静止滑下（不计小球A在斜面与水平地面衔接处的能量损失），与球B发生正碰后粘在一起，碰撞时间极短，稍后球C脱离弹簧，在水平地面上匀速运动后，进入固定放置在水平地面上的竖直光滑圆轨道（底部留有小球进入的小孔）。竖直线与圆轨道相切，的右侧存在一个水平向右的匀强电场，电场强度的大小为。已知球A、B、C的质量分别为，且三个小球均可视为质点。圆轨道的半径，重力加速度取。求： (1)球C脱离弹簧时的速度大小； (2)球在圆轨道上运动过程中最大速度的大小； (3)若改变球释放的高度，要使得球C在圆轨道运动时中途不脱离轨道，求对应的取值范围。（在球C离开弹簧后球、B及弹簧均被拿走） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设球A与球B碰撞前的速度为，则球A从高为处由静止滑下到水平地面，根据机械能守恒有 解得 水平面光滑，球A与球B碰撞后，粘在一起，有相同的速度，设为，根据动量守恒有 解得 球AB作为一个整体以向右运动，压缩弹簧，使球C发生运动，当球C脱离弹簧时，弹簧回到原长，设此时球C的速度为，球AB整体的速度为，对球AB整体与球C组成的系统，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得， （2）球C运动至在圆轨道上，其受力分析如图所示 其中为电场力与重力的合力，即为等效重力，大小为 设其与水平方向的夹角为，则有 解得 则在圆轨道上沿合力方向，分析可知D点为等效重力场的最低点，P为等效重力场的最高点，所以球C运动到D点时的速度最大，设为；则球C从进入电场到D点，根据动能定理有 解得 （3）若球C恰好过等效最高点P时不脱离轨道，则球C在P点时有 解得 球C从进入电场到运动到P点，根据动能定理有 解得 根据球AB整体与球C碰撞，当球C脱离弹簧时，弹簧回到原长，此时球C的速度为，球AB整体的速度为，对球AB整体与球C组成的系统，根据动量守恒有 根据能量守恒有 联立解得， 又球A与球B碰撞后，粘在一起，有相同的速度，根据动量守恒有 解得 则球A从高为处由静止滑下到水平地面，根据机械能守恒有 解得 要使得球C进入圆轨道后能到达最高点不脱离轨道，则有 球C进入电场运动到Q点过程中，合力做的功为 说明球C进入电场后不可能从Q点及以下返回，故要使得球C进入圆轨道不脱离圆轨道只有一种情形，即做完整的圆周运动，H对应的取值范围 跟踪训练1 如图所示，绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，电场强度为E。在与环心等高处放有一质量为m、电荷量为+q的小球，由静止开始沿轨道运动，下述说法正确的是（　　） A．小球在运动过程中机械能守恒 B．小球经过环的最低点时速度最小 C．小球经过环的最低点时对轨道压力大小为 D．小球由静止开始沿轨道运动到最低点的过程中电势能减小 【答案】D 【详解】A．小球在运动过程中，除重力外，电场力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误； B．小球从静止释放到环的最低点过程中合外力一直做正功，动能增加；从最低点向最高点运动过程中，合外力做负功，动能减小，则小球在最低点小球动能最大，速度最大，故B错误； C．小球从静止释放到环的最低点过程中，由动能定理得 小球经过最低点时，根据牛顿第二定律可得 联立可得轨道对小球的支持力为 由牛顿第三定律可知小球经过最低点时对轨道的压力为 故C错误； D．小球由静止开始沿轨道运动到最低点的过程中，电场力对小球正功，电势能减小，故D正确。 故选D。 跟踪训练2 （多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（    ） A．匀强电场的电场强度 B．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 C．小球动能的最小值为，小球动能的最大值为 D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 【答案】AC 【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成角，对小球受力分析有 小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 解得 故A正确； B．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，故B错误； C．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有 则最小动能 等效最低点到等效最高点过程 则最小动能 故C正确； D．小球从初始位置开始，在竖直平面内逆时针运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，故D错误。 故选AC。 跟踪训练3 如图所示，竖直固定的光滑绝缘圆轨道处于水平向右的匀强电场中，轨道半径为R，a为轨道最低点。一质量为m、电荷量为（）的带电小球（可视为质点）在轨道内侧的P点处于静止状态，过P点的轨道半径与竖直方向的夹角，，，重力加速度为g。某时刻，沿轨道切线方向给小球一大小为v的速度，使小球能沿轨道做完整的圆周运动。 (1)求电场强度E的大小； (2)求a、p两点电势差Uap； (3)求小球在a点的速度大小va。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在P点对小球进行受力分析，如图所示 根据平衡条件有 解得 （2）根据电势差与电场强度的关系有 结合上述解得 （3）设小球在a点的速度为va，根据动能定理有 结合上述解得 题型4 示波管 1、示波管的构造：示波管是示波器的核心部件，外部是一个抽成真空的玻璃壳，内部主要由电子枪(由发射电子的灯丝、加速电极组成)、偏转电极(由偏转电极XX′、偏转电极YY′组成)和荧光屏组成，如图所示。 2、示波管的原理 （1）扫描电压：XX′偏转电极接入的是由仪器自身产生的锯齿形电压。 （2）灯丝被电源加热后，出现热电子发射，发射出来的电子经加速电场加速后，以很大的速度进入偏转电场，如果在YY′偏转电极上加一个信号电压，在XX′偏转电极上加一扫描电压，在荧光屏上就会出现按YY′偏转电压规律变化的可视图像。 ★特别提醒 示波器的工作原理从本质上来说是利用了带电粒子在电场中的运动，因为电子带负电，电子总是会逆着电场线方向运动，所以在解决这类问题时可以把握一个技巧“哪边正，朝哪偏”。 【探究归纳】示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，电子枪发射电子，经偏转电极后打在荧光屏上显示波形。 【典例4-1】某学生用示波器观察按正弦规律变化的电压图线时，他将扫描范围旋钮置于第一挡（10Hz～100Hz）。把衰减调节旋钮置于“”挡，把同步极性选择开关置于“＋”位置，调节扫描微调旋钮，在屏上出现了如图甲所示的正弦曲线。后来他又进行了两步调节，使图象变成如图乙所示的曲线，这两步调节可能是（　　） A．将衰减调节旋钮换至10挡并调节标有“↓↑”的竖直位移旋钮 B．将同步极性选择开关置于“-”位置并调节Y增益旋钮 C．将同步极性选择开关置于“-”位置并调节标有“↓↑”的竖直位移旋钮 D．调节扫描范围旋钮和调节Y增益旋钮 【答案】B 【详解】由于图像反转，将同步极性选择开关由“＋”位置转换为“-” 位置；并且y方向拉长，一定调节Y增益旋钮。而x轴的位置没变，因此没动“↓↑”的竖直位移旋钮，图像仍然稳定，也没动扫描范围旋钮。 故选B。 【典例4-2】（多选）如图所示为真空中的实验装置，平行金属板之间的加速电压为，之间的偏转电压为，为荧光屏。现有质子、氘核和粒子三种粒子分别在A板附近由静止开始加速，最后均打在荧光屏上。已知质子、氘核和粒子的质量之比为，电荷量之比为，则质子、氘核和粒子三种粒子（　　） A．三种粒子都打在荧光屏上同一个位置 B．从开始到荧光屏所经历时间之比为 C．打在荧光屏时的动能之比为 D．打在荧光屏时的动能之比为 【答案】AD 【详解】B．设加速电场AB间距离为d，偏转极板长度为l，偏转极板间的距离为h，屏到偏转电场右边缘距离为s，粒子在加速过程中，根据 可得 在加速电场中运动的时间 进入偏转电场，以及离开偏转电场后到打到屏上，水平方向速度保持不变，因此打到屏的时间 从开始到荧光屏所经历时间 可知运动时间与成反比，由于 设质子、氘核和粒子三种粒子离开加速度电场的速度分别为。因此 故B错误； A．粒子进入偏转电场之后，做类平抛运动 其中 可得 可知所有粒子在偏转电场中，偏转距离相等，即三种粒子打到荧光屏上的位置相同，故A正确； CD．根据动能定理 可知打在荧光屏时的动能仅仅与粒子的带电量成正比，因此 故D正确，C错误。 故选AD。 【典例4-3】示波管可以用来观察电信号随时间的变化情况，其原理如图所示，给电子枪通电后，有电子逸出（初速度为0），经电压为的电场加速后，从偏转电极左侧边缘中心进入偏转电场，最后打在荧光屏上。荧光屏的中心在偏转电极的水平轴线上，以荧光屏的中心为原点O，建立坐标系。已知电子的比荷为k。偏转电极各极板长度和板间距均为d，偏转电极右侧边缘中心与荧光屏中心相距3.5d，下列各种情况电子均能打到荧光屏上，求： (1)若偏转电极不加电压，电子在荧光屏上的坐标和电子打在荧光屏上的速度大小； (2)在（1）的基础上，仅给偏转电极加上电压（Y接正极），电子在荧光屏上的坐标； (3)在（2）的基础上，再给偏转电极加上电压（X接正极），电子在荧光屏上的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若偏转电极、不加电压，电子做直线运动，其在荧光屏上的坐标为，由动能定理 得电子打在荧光屏上的速度 （2）在偏转电极间，电子沿y轴正方向做类平抛运动，加速度 电子在偏转电场运动时所用时间为t 电子离开电场时，垂直于板面的分速度 电子离开电场时，速度偏转角为θ 电子沿y轴正方向偏转的距离为，由延长线规律和三角形相似可得 代入数据 则电子在荧光屏上的坐标为 （3）若间不加电压，而偏转电极加上电压，则电子沿x轴正方向偏转的距离为，由对称性可知 则电子最终在荧光屏上的坐标为 跟踪训练1 如图所示为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空。A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出的速度大小为v。下列说法中正确的是（　　） A．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度为 B．如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为 C．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为 D．如果A、K间距离不变而电压减半，则电子离开K时的速度变为 【答案】C 【详解】根据动能定理得 得 AB．由可知，v与A、K间距离无关，则若A、K间距离减半而电压仍为U不变，则电子离开K时的速度仍为v，故AB错误； CD．由可知，电压减半时，则电子离开K时的速度变为，故C正确，D错误。 故选C。 跟踪训练2 （多选）示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P点出现亮斑，那么示波管中的（　　） A．极板X应带负电 B．极板应带负电 C．极板Y应带负电 D．极板应带负电 【答案】BD 【详解】电子受力方向与电场方向相反，因电子向X向偏转，则电场方向为X到，则X带正电，带负电，同理可以知道Y带正电，带负电，AC错误，BD正确。 故选BD。 跟踪训练3 如图所示为一真空示波管，电子从灯丝K发出（初速度不计），经灯丝与A板间的加速电场加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平行金属板M、N形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M、N间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点。已知加速电压为U1，M、N两板间的电压为U2，两板间的距离为d，板长为L1，板右端到荧光屏的距离为L2，电子的质量为m，电荷量大小为e。求： (1)电子在偏转电场中运动的时间； (2)电子从偏转电场射出时的侧移量； (3)P点到O点的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在加速电场中只有电场力做功，根据动能定理有 解得电子加速后的速度大小为 电子进入偏转电场后，在电场力作用下做类平抛运动，令电子运动时间为，电子在水平方向做匀速直线运动故有 得电子在偏转电场中运动的时间 （2）电子在偏转电场中受到的电场力 电子从偏转电场射出时的侧移量 （3）电子离开偏转电场时在竖直方向的速度 电子离开偏转电场后做匀速直线运动，电子在水平方向的分速度为保持不变，运动时间 竖直方向产生位移 方程联立解得 P点到O点的距离 【能力培优练】 1．如图所示，矩形区域内有水平方向的匀强电场，一个带负电的粒子从A点以某一速度射入电场中，最后以另一速度从B点离开电场，不计粒子所受的重力，A、B两点的位置如图所示，则下列判断中正确的是（　　） A．电场强度的方向水平向左 B．带电粒子在A点的电势能小于在B点的电势能 C．粒子在电场中运动的过程中，电势能最大处为A点 D．粒子在电场中运动的全过程中，动能最大处为B点 【答案】D 【详解】A．粒子在电场中向左偏转，所受的电场力水平向左，而粒子带负电荷，故电场强度的方向水平向右，故A错误； B．从A到B，电场力先做负功，后做正功，电场力为恒力，做负功的位移小于做正功的位移，所以电场力做的总功为正功，故粒子的电势能减小，则粒子在A点的电势能大于在B点的电势能，故B错误； C．粒子电场力水平，将初速度分解为水平和竖直向下的分速度，故水平方向先向右匀减速、再向左匀加速，竖直方向向下匀速，轨迹的最右端在A点的右侧，即电场力做负功的最大位移处在A点的右侧，所以电势能最大位置在A点右侧，故C错误； D．粒子在电场中运动过程，仅受电场力做功，电势能和动能总和保持不变，相互转化，到达B点时电场力做正功最大，电势能最小，动能最大，故D正确。 故选D。 2．有一种电子仪器叫作示波器，可以用来观察电信号随时间变化的情况。示波器的核心部件是示波管，下图是它的原理图。如图所示，如果两偏转电极都不加偏转电压，电子束将刚好打在荧光屏的中心处，形成亮斑。如果在偏转电极XX’上不加电压，在偏转电极YY’上加电压，YY’两极板间距为d。现有一电子以速度进入示波管的YY’偏转电场，最后打在荧光屏上的位置与中心点竖直距离为y，电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间为t，则下列说法正确的是（   ） A．若，则电子打在荧光屏中心位置下方 B．若仅增大偏转电压，则t不变 C．若仅减小YY’极板间距离d，则y不变 D．若，则可以让电子打在荧光屏正中心处 【答案】B 【详解】A．若，则电子受到的电场力竖直向上，所以电子打在荧光屏中心位置上方，故A错误； B．电子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，所以若仅增大偏转电压，所以电子从进入偏转电场到打在荧光屏上的时间t不变，故B正确； C．电子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做匀加速直线运动，偏转位移 时间不变，若仅减小YY’极板间距离d，偏转位移y变大，故C错误； Ｄ．若，则电子受到的电场力竖直向上，所以电子打在荧光屏中心位置上方，若，则电子受到的电场力水平向左，所以电子打在荧光屏中心位置左方，所以电子不会打在荧光屏正中心处，故D错误。 故选B。 3．如图所示，一个电容为C，电量为Q的平行板电容器竖直放置，两板间的电场可视为匀强电场，将一个质量为m，电荷量为﹣q的带电小球（可视为质点），不可伸长的绝缘细线悬挂于两板间O点．现将小球拉至水平位置M点，由静止释放，当小球沿圆弧向下摆动60度到达N点时，速度恰好为零．则（　　） A．电容器的左极板带正电 B．绳子的最大拉力为2mg C．电容器两极板间的距离为 D．如果让电容器的带电量减半，小球仍从M点有静止释放，到达N点时速度仍为0 【答案】C 【详解】A．小球从M到N的过程中，动能变化为零，根据动能定理，合力做功0，而重力做正功，则电场力对小球做负功，即电场力方向向右，由于小球带负电，故场强方向向左，所以左极板带负电，右极板带正电。故A错误； B．对球，从M到N由动能定理有 mgLsin60°-qEL(1-cos60°)=0-0 所以有 Eq=mg 则重力与电场力的合力大小为2mg；方向沿与水平方向成30°角，此时绳子的拉力 因速度不为零；故拉力一定大于2mg；故B错误； C．设两板间电势差为U、场强为E，由 Eq=mg 得 故C正确。 D．由电量减半时，电压减半，则极板间的场强减半；从M到N的过程中电场力做功变小，根据动能定理外力做功之和 mgLsin60°-qEL(1-cos60°)>0 则小球从M点释放后，到达N点时速度大于零；故D错误； 故选C。 4．如图所示，空间中存在一个水平向右的匀强电场E，一带正电质量m=1kg小环穿过粗糙的水平杆，带电量q=1C，轻质弹性绳的下端与小环相连，劲度系数k=10N/m，上端固定在墙上N点，弹性绳跨过固定在M处的光滑小滑轮，O为水平杆上的一点，O、M、N在同一竖直线上，弹性绳的自然长度和MN间距离相同。小环从O点静止释放，最远能达到P点，Q为OP中点。已知O、M间距为4m，O、Q间距为3m，小球与杆间动摩擦因数为0.5，重力加速度g=10m/s2，绳中弹力始终遵从胡克定律，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法错误的是（    ） A．场强E=45N/C B．小环从O运动至P的过程中，受到摩擦力逐渐增大 C．小环第一次运动至Q点时，速度最大 D．小环最终可以停在Q点右侧的某一位置 【答案】B 【详解】B．设弹性绳与水平方向的夹角为，弹性绳的弹力为kl（l为弹性绳与滑轮所在M点及杆上O点构成的直角三角形的斜边长），当小球从O点沿着杆向右的过程中，对小球做受力分析如图所示 弹性绳的弹力在竖直方向的分力大小为 由几何关系可知，始终等于dOM的长度，因此可知弹性绳的弹力在竖直方向的分力大小始终不变，而 ， 可知小球在水平杆上滑动的过程中摩擦力始终不变，故B错误，符合题意； AC．对小球在O点向P点运动的过程中水平方向上受力分析可得 其中始终等于小球从O点右移的距离，设为x，则有 电场力和摩擦力为恒力，根据对称性原理，Q为OP的中点，Q点的加速度为0，解得 小球第一次运动至Q点时速度最大，故AC正确，不符合题意； D．从P点返回的过程中，摩擦力向右，水平方向有 在P点f恰好反向并达到最大静摩擦，可以静止在此处，故D正确，不符合题意。 故选B。 5．A、B板间存在竖直方向的匀强电场，现沿垂直电场线方向射入三种比荷（电荷量与质量的比）相同的带电微粒（不计重力），a、b和c的运动轨迹如图所示，其中b和c是从同一点射入的。不计空气阻力，则可知粒子运动的全过程（　　） A．运动加速度 B．速度变化量 C．飞行时间 D．电势能的减少量 【答案】B 【详解】A．依题意，带电粒子的比荷、匀强电场的场强均相同，根据牛顿第二定律 解得 可知它们运动的加速度相同。故A错误； C．带电粒子在竖直方向都做初速度为零的匀加速直线运动，由 解得 由图可知 则得 故C错误； B．速度变化量 联立，解得 故B正确； D．电场力做功为 由于电荷量关系不能确定，所以不能确定电场力做功的大小，也就不能确定电势能减少量的大小。故D错误。 故选B。 6．如图所示，水平放置的平行板电容器，上板带负电，下板带正电。带正电小球以速度水平射入电场并恰好沿下板边缘飞出。若下板不动，将上板上移一小段距离，小球仍以相同的速度从原处飞入。则带电小球（　　） A．仍沿原轨迹由下板边缘飞出 B．仍向下偏转并打在下板上 C．可能不发生偏转，沿直线运动 D．若上板不动，将下板上移一段距离，小球仍能从板间飞出 【答案】A 【详解】ABC．带电小球受重力和电场力作用，若下板不动，将上板上移一小段距离，由 联立解得 即场强大小与板间距离无关，故小球受力不变，仍沿原轨迹由下板边缘飞出，故A正确，BC错误； D．若上板不动，将下板上移一段距离，小球竖直方向分位移减小，运动时间减少，水平方向位移也减小，故一定会打在下极板上，故D错误。 故选A。 7．如图所示，竖直平面内光滑圆弧轨道半径为R，等边三角形ABC的边长为L，顶点C恰好位于圆周最低点，CD是AB边的中垂线。在A、B两顶点上放置一对等量异种电荷。现把质量为m带电荷量为的小球由圆弧的最高点M处静止释放，到最低点C时速度为。不计对原电场的影响，取无穷远处为零电势，静电力常量为k，则（　　） A．C点电势与D点电势不相同 B．M点电势为 C．小球在圆弧轨道上运动过程机械能守恒 D．小球对轨道最低点C处的压力大小为 【答案】B 【详解】A．等量异种电荷连线的中垂线垂直于电场线方向，是一条等势线，中垂线通向无限远处，电势为零，所以中垂线上的电势为零，CD处于AB两电荷的等势能面上，所以两点的电势都为零，故A错误； B．设M点的电势为，由于C点的电势为零，所以CM间的电势差等于M点的电势，对小球从M到C的过程由动能定理得 解得 故B正确； C．根据等量异种电荷电势分布特点，可知在圆轨道上各点的电势不相等，故小球在圆弧轨道上运动，除了重力做功外，还有电场力做功，则机械能不守恒，故C错误； D．因为三角形ABC为等边三角形，小球在轨道最低点C处，所受两个正负电荷的电场力的水平分量相互抵消，因此所受电场力合力方向竖直向下，电场力的合力为 在C处，小球还受重力mg，支持力N作用，根据牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为 故D错误。 故选B。 8．如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（    ） A．小球可以运动至c点 B．小球将在b点保持静止 C．小球运动过程中的最大速率为 D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点 【答案】C 【详解】A．小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg，由牛顿第三定律可知，在竖直方向圆弧槽b点对小球的支持力大小为mg，可知小球在竖直方向受力平衡，由牛顿第二定律可知，此时小球的速度是零，且受电场力方向水平向左，因此小球不可以运动至c点，故A错误； B．小球在竖直方向受力平衡，受电场力方向水平向左，由牛顿第二定律可知，小球向左做加速运动，故B错误； C．小球在a点时速度是零，在b点时速度是零，可知小球从a点到b点，重力势能转化为电势能，且重力势能的减少等于电势能的增加，则有 可得 由题意可知，当小球从a点下落到受重力和电场力的合力方向与O点的连线在一条直线上时，小球的速率最大，如图所示 由动能定理，则有 解得 故C正确； D．由C选项分析可知，小球受到的重力大小等于受的电场力，因此小球在c点时受到的合力大小为 受合力方向与水平直径成45°角，即由c点指向b点，因此从c点静止释放小球，小球将沿直线运动至b点，故D错误。 故选C。 9．（多选）某静电场中x轴上电场强度E随x变化的关系如图所示，设x轴正方向为电场强度的正方向。一带电荷量大小为q的粒子从坐标原点O沿x轴正方向运动，结果粒子刚好能运动到处，假设粒子仅受电场力作用，和已知，则（　　） A．粒子可能带负电 B．粒子沿x轴正方向运动过程中电势能先减小后增大 C．粒子的初动能大小为 D．粒子沿x轴正方向运动过程中最大动能为 【答案】BC 【详解】A．如果粒子带负电，粒子在电场中一定先做减速运动后做加速运动，因此处的速度不可能为零，因此粒子一定带正电，故A错误； B．粒子向右运动的过程中电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，故B正确； C．根据动能定理可得 解得 故C正确； D．粒子运动到处动能最大，根据动能定理有 解得 故D错误。 故选BC。 10．（多选）如图所示，两平行板水平放置，板间存在匀强电场。质量相等的P、M、N三个小球一个带正电，一个带负电，一个不带电，分别从O点以相同速度水平射入电场，落点如图，则这三个小球（　　） A．N带正电，M不带电，P带负电 B．到达正极板时速度大小相等 C．在电场中运动时间不相等 D．在电场中的加速度大小 【答案】CD 【详解】C．小球在平行板内做类平抛运动，水平方向有 由于 则 故C正确； D．竖直方向有 由于，则在电场中的加速度大小关系 故D正确； A．小球带正电时，加速度为 小球不带电时，加速度为 小球带负电时，加速度为 可得 由于，故P带正电，M不带电，N带负电，故A错误； B．竖直方向根据 可得 到达正极板时速度大小为 则到达正极板时速度大小关系为 故B错误。 故选CD。 11．（多选）如图示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带正电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L。现加一水平向右足够大的匀强电场，电场强度大小为，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．小球在运动过程的最小速度至少为 B．小球在运动过程的最大速度至少为 C．若将轻绳向左拉直至水平位置后由静止释放，小球到达最低点时的速度为 D．若将轻绳向左拉直至水平位置后由静止释放，小球到达最低点时的速度为 【答案】BD 【详解】AB．依题意，小球受到的电场力为 故小球受到的等效重力为 设等效重力的方向与竖直方向夹角为，根据 解得 小球运动到O点左上方与竖直方向夹角成30°位置时为运动过程中速度最小值，有 解得 小球运动到O点右下方与竖直方向夹角成30°位置时为运动过程中速度最大值，由动能定理可得 解得 故A错误；B正确； CD．若将轻绳向左拉直至水平位置后由静止释放，设小球到达最低点时的速度为v，由动能定理 解得 故C错误；D正确。 故选BD。 12．（多选）如图甲所示，A、B两极板与交变电源相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示，A 板的电势为0，质量为m，电荷量为-q的电子仅在电场力作用下，在 时刻从 A 板的小孔处由静止释放进入两极板间运动，恰好能到达B板，则（　　） A．电子在两极板间的最大速度为 B．两极板间的距离为 C．若将B 极板向上移动少许，则电子到达 B 板时速度大于0 D．若电子在 时刻进入两极板，它将一直加速向B极板运动，最终到达 B 极板 【答案】BD 【详解】AB．电子在时刻由静止释放进入两极板间运动，前先匀加速后再匀减速，在时刻恰好到达B 板，设两极板间距为，由牛顿第二定律得到 解得两极板间距为 由题意可知，运动后，电场反向，此时，速度达到最大值，由运动学可知，最大速度为 A错误，B正确； C．若将B 极板向上移动少许，极板间电场强度 不变，电子受力不变，板间距不变，故电子的运动状态不变，仍是时间内做匀加速直线运动，时间内继续向右做匀减速直线运动，恰好到达B 极板，C错误； D．若电子在时刻进入两极板，则在时间内电子做匀加速直线运动，由运动学知识可知位移为 说明电子会一直向B板加速运动并打在B板上，不会向A板运动，D正确。 故选BD。 13．如图所示，边长为的正方形区域内存在着匀强电场。一个质量为、电量为、初速度为的带电粒子从点沿方向进入电场，不计重力。若粒子恰好从点离电场，则电场强度 ，粒子离开电场时的动能 。 【答案】 【详解】[1]在电场中粒子做类平抛运动，由运动学公式可得，在初速度方向上 在垂直于初速度方向 其中 解得 [2]根据动能定理得 解得 14．如图所示，虚线MN、PQ之间存在水平向右的匀强电场，两虚线间距离为。一质量为、电荷量为的带电粒子，从点由静止释放，经电压为的电场加速后，由点垂直进入水平匀强电场中，从上的某点（图中未画出）离开，其速度与电场方向成角。不计粒子的重力，求： (1)粒子刚进入水平匀强电场时的速率； (2)粒子在水平匀强电场中的加速度大小； (3)bc两点间的电势差。 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）粒子在电场加速过程，根据动能定理有 解得 （2）粒子在水平电场中做类平抛运动，在水平方向有， 在竖直方向有 结合上述解得 （3）设离开水平电场时的速度为，则有 根据动能定理得 解得 15．如图所示，在平面直角坐标xOy中，第一象限存在沿y轴负方向的水平匀强电场，在y轴负半轴上的O'处固定着一点电荷（设匀强电场与点电荷电场以x轴为界互不影响）。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成角射入第四象限，此后在点电荷作用下做匀速圆周运动，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出，OP的长度为8R。不计粒子重力，静电力常量为k，。 求： (1)M、N两点间的电势差； (2)O'处点电荷的电性和电荷量Q。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）分析可知带正电的粒了在第I象限电场中做类平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，设粒子经过N点时的速度为，轨迹如图 根据类平抛运动规律 其中，粒子从M点运动到N点的过程，由动能 定理有 联立解得 （2）设带电粒子做匀速圆周运动的运动半径为r，由几何关系得 解得 结合题意，由牛顿第二定律有 联立解得 16．如图所示，AB为半径R = 1 m的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着E = 1 × 106 V/m，方向竖直向上的匀强电场，有一质量m = 1 kg，带电量q = +1.4 × 10−5 C的物体（可视为质点），从A点的正上方距离A点H = 0.85 m处由静止开始自由下落（不计空气阻力）经圆弧轨道AB和水平直线轨道BC从C点抛出，已知BC段是长L = 2 m、与物体间动摩擦因数为µ = 0.2的粗糙绝缘水平面，CD段为倾角θ = 53°且离地面DE高h = 0.8 m的斜面。（取g = 10 m/s2） (1)求A、B两点的电势差UAB； (2)求物体从C处射出后，C点至落点的水平位移。（已知sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，不考虑物体反弹以后的情况） (3)若H可调，求H至少需要多大才能使滑块沿圆弧从A运动到B。 【答案】(1)−1 × 106 V (2) (3)0.6 m 【详解】（1）根据匀强电场中场强与电势差之间关系可得 代入数据可知 （2）物块从开始运动到C点，由动能定理可知 解得 设物体落在水平地面上，则根据平抛运动的规律可知 解得 故物体落在斜面上，则有 从C点至落点的水平位移为 解得 （3）物块在B点恰不脱离圆弧轨道时，有 解得 物块从开始运动到B点，由动能定理可得 解得 故H至少需要0.6 m。 17．如图所示，竖直平面内有一xOy坐标系，只在y轴正半轴和边界OM之间存在竖直向下的匀强电场，OM与x轴正半轴的夹角为β且满足。在O处有一粒子源，可以发射不同速率的质量为m、电荷量为的粒子，且这些粒子的入射速度方向与x轴正半轴的夹角均为。若粒子的入射速率为时，发现粒子沿x轴正方向打到OM上的点，不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)求粒子从O到P的时间t及匀强电场的电场强度大小E； (2)若粒子的入射速率范围为，求粒子打到边界OM上的区间长度； (3)若粒子的入射速率范围为，调节β使其满足，同样只在y轴正半轴和边界OM之间存在相同的匀强电场，求粒子打到x轴正半轴上的区间长度。 【答案】(1)， (2) (3)36d 【详解】（1）当粒子在电场中运动时，粒子在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀变速直线运动。粒子在x轴方向有 则 在y轴方向有 则 根据牛顿第二定律 解得 （2）因为，所以当粒子打在OM上时，速度方向均沿x轴正方向，故当入射速率为时，粒子到达边界OM的位置离O点最近，即到达P点，当入射速率为时，粒子到达边界OM的位置离O点最远，设该位置为。设粒子从O到的过程中y轴方向的位移为，有 则 则的长度 因此粒子打到边界OM上的区间长度 （3）设粒子达到边界OM时速度方向与x轴方向的夹角为θ，根据运动学分析，有 可得 尽管粒子入射速率不相等，但由于入射速度方向相同，因此入射速率不等的粒子到达边界OM时速度方向平行，将数据代入，可知 故当入射速率为时，粒子到达边界OM的位置离O点最近，设该位置为，当入射速率为时，粒子到达边界OM的位置离O点最远，设该位置为，分析粒子从O到的过程，有 解得 粒子离开匀强电场后做匀速直线运动，设其达到x轴正半轴的位置为，则 分析粒子从O到的过程，有 解得 ，， 粒子离开匀强电场后做匀速直线运动，设其达到x轴正半轴的位置为，则 因此粒子打到x轴正半轴上的区间长度 【链接高考】 1．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为。原长为的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得A点弹簧伸长量为，B点和C点弹簧压缩量为，即三个位置弹簧弹性势能相等，则由A到B过程中弹簧弹力做功为零，电场力做正功，动能增加， 同理B到C过程中弹簧弹力和电场力做功都为零，重力做负功，则动能减小， 由A到C全过程则有 因此 故选C。 2．（2024·浙江·高考真题）如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的M、N点固定两个等量异种点电荷，绝缘光滑圆环ABCD垂直MN放置，其圆心O在MN的中点，半径为R、AC和BD分别为竖直和水平的直径。质量为m、电荷量为+q的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度v0做完整的圆周运动，则（　　） A．小球从A到C的过程中电势能减少 B．小球不可能沿圆环做匀速圆周运动 C．可求出小球运动到B点时的加速度 D．小球在D点受到圆环的作用力方向平行MN 【答案】C 【详解】A．根据等量异种点电荷的电场线特点可知，圆环所在平面为等势面，匀强电场方向竖直向上，则小球从A到C的过程电势增加，电势能增加，故A错误； B．当场强满足 时，小球运动时受到的向心力大小不变，可沿圆环做匀速圆周运动，故B错误； C．根据动能定理 可求出小球到B点时的速度vB，根据 可得小球的向心加速度，再根据牛顿第二定律 可得小球的切向加速度，再根据矢量合成可得B点的加速度为 故C正确； D．小球在D点受到竖直向下的重力、竖直向上的匀强电场的电场力、平行MN方向的等量异种点电荷的电场力和圆环的作用力，圆环的作用力一个分力与等量异种点电荷的电场力平衡，其与MN平行，而另一分力提供向心力，方向指向圆心，故小球在D点受到圆环的作用力方向不平行MN，故D错误。 故选C。 3．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 【答案】B 【详解】A．粒子在加速电场中被加速时 在偏转电场中做类平抛运动，则 解得 选项A错误； B．当时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则 解得 选项B正确； C．根据 若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C错误； D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到A点时的竖直位移小于打到B点时的竖直位移，则选项D错误。 故选B。 4．（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个A细胞或B细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为。随后，液滴以的速度竖直进入长度为的电极板间，板间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方处的A、B收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求： (1)含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离； (2)A、B细胞收集管的间距。 【答案】(1) (2)0.11m 【详解】（1）由题意可知含A细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电极板方向则 沿电极板方向 由牛顿第二定律 解得含A细胞的液滴离开电场时偏转的距离为 （2）含A细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则 则 联立解得 有对称性可知则A、B细胞收集管的间距 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 / 学科网（北京）股份有限公司 $$