专题24.4 三角形一边的平行线（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.4 三角形一边的平行线（第1课时） 教学目标 1. 掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2. 学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3. 了解平行线分线段成比例定理。 教学重难点 1.重点 （1）根据三角形一边的平行线性质定理及推论求解； （2）学会根据线段成比例判定三角形一边的平行线； （3）平行线分线段成比例的应用； （3）已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段。 2.难点 （1）三角形一边的平行线性质定理、判定定理及推论的几何应用； （2）在几何问题中，灵活运用比例线段的不同比例形式； （3）尝试学会用中间量来解决比例线段问题。 知识点1 三角形一边的平行线性质定理 1.引入（由特殊到一般——特殊） 三角形的中位线是联结两边中点的线段，中位线所在的直线与第三边所在的直线平行.如图24-10,DE 是△ABC的中位线，这时,可知DE//BC. 问题1在图24-10中，如果,DE//BC, 那么是否等于1? 在上一节例题2中，我们为证明四条线段成比例，利用了“同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等”的性质.这个性质指出了线段比与面积比之间的联系，于是我们可考虑利用两个三角形面积的比来尝试解决问题， 要把两条线段的比转化为两个三角形的面积比，首先要找到或构造分别以这两条线段为边的两个三角形. 如图24-11(1),联结EB, 得△EDB, 它与△EAD同高，可知 同样，如图24-11(2),联结DC, 可得 比较上面两式可知，如果 S△EDB=S△EDC,那么就能得到，如图24—11(3),因为BC平行于DE, 可知△EDB与△EDC同底等高，所以△EDB 的面积与△EDC的面积相等.于是，得 另外，对问题1结论的推导，也可采用下述方法：取边AC的中点E', 联结DE′,可知DE'//BC,推出 DE'与DE重合，得E′与E重合.因此 问题2（A字型） （由特殊到一般—— 一般） 如图24-12,如果将直线l保持与BC平行而进行移动，l与边AB 、AC 分别相交于点D 、E,那么与相等吗? 已知△ABC, 直线l与边AB 、AC 分别相交于点D 、E,且l//BC, 试证明 证明：如图24-12,分别联结EB 、DC. 设点E到AB的距离为h, 则 S△EAD=AD·h,S△EDB=DB·h, 得 同理可得 ∵DE//BC ∴S△EDB=S△EDC 得 问题3（X字型） 已知△ABC,直线l与边AB、AC的延长线分别相交于点D、E,且l//BC,那么成立吗? 如图24-13,可以看作△ADE的两边AD、AE被平行于DE的直线BC所截，由以上证明可知成立. 如图24-14(1),直线l与边BA、CA的延长线分别相交于点D、E.这时，如图24-14(2),过点D作直线AC的平行线I′,设直线I′与直线BC相交于点C'′;再过点A作直线l的平行线，交直线I'于点A′,得AE=A′D,EC=DC'.在△DBC′中，由AA'//BC′,得,可知也成立。 通过以上讨论，我们得到： 三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 由三角形一边的平行线性质定理，我们可以得到它的推论（证明过程自主推导，可参考教材p14） 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 要点： (1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 【即学即练】 1．如图，在中，，，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 由平行线分线段成比例定理可得，即，由此即可求出的长． 【详解】解：在中，， ， 即：， ， 故答案为：． 2．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 3．如图，已知，则的长为（   ） A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.2 【答案】A 【分析】本题考查求线段长，涉及平行线的判定、平行线分线段成比例等知识，先由判定，再由平行线分线段成比例得到，代值求解即可得到答案，熟记平行线的判定及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 由平行线分线段成比例可得，则， 即， 解得， 故选：A． 4．如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 5．如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA：OD＝AB：CD，然后利用比例性质计算OA的长． 【详解】∵AB∥CD， ∴OA：OD＝AB：CD，即OA：2＝4：3， ∴OA＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点2 三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 要点： 判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 【即学即练】 1．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项跑的即可． 【详解】解∶A． ， ， ， ， ， 故该选项符合题意； B． 根据，，不能判定，故该选项不符合题意； C．根据 ，，不能判定，故该选项不符合题意； D．根据，，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意； B、由，能判定，故该选项符合题意； C、由，不能判定，故该选项不符合题意； D、∵，不能判定，故该选项不符合题意， 故选：B． 知识点3 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； (2) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练】 1．如图，直线AB∥CD∥EF，已知AC＝3，CE＝4，BD＝3.6，则DF的长为 ． 【答案】4.8 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵直线AB∥CD∥EF， ∴， 即， 解得：DF＝4.8， 故答案为：4.8 【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2．如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝ cm． 【答案】5 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知条件求出CH即可． 【详解】∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， ∵AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm， ∴＝， 解得：CH＝5（cm）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解此题的关键． 3．如图，，，，，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线的判定方法得到DA∥EB∥FC，然后根据平行线分线段成比例定理得到，由BC=AC-AB求出BC，即可求得DF． 【详解】解：∵DA⊥AC，EB⊥AC，FC⊥AC， ∴DA∥EB∥FC， ∴，即， ∵BC=AC-AB=6-2=4， ∴DF=7.5． 故答案为7.5． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例解答．本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：C． 知识点4 已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 作法 如图24-30(2)所示， 1.作以点O为端点的射线OM和ON. 2.在OM上顺次截取OA=a,AB=b. 3.在ON上截取OC=c. 4.联结AC,过点B作BD//AC,交ON于点D. 线段CD就是所求的线段x. 要点：作图的依据是平行线分线段成比例定理；利用这一定理可证明所作线段符合要求. 【即学即练】 1．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 2．已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 题型01 三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 【典例1】．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵DEBC， ∴， 故选C． 【点睛】考点：平行线分线段成比例． 【变式1】．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键． 【变式】．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 【变式3】．如图，在中，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式4】．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例可得，即，求，根据求即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型02 三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 【典例1】．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴； ∵AO=2，CO=6，BO=3， ∴， 解得：DO=4， 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例. 【变式1】．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式是解本题的关键． 【变式2】．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键． 题型03 三角形一边的平行线性质定理及推论—文字语言描述 【典例1】．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵，，， ∴ ∴ 故答案为：8． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 【变式1】．在中，点D，E分别在边和上，且，如果，，，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，画出图形，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到的长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式2】．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】根据平行线分线段陈比例定理求解即可． 【详解】解：作如下图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段陈比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段陈比例定理． 【变式3】．在中，点D、E分别在边、上，，，如果，那么的长为 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 题型04 三角形一边的平行线判定定理及推论 【典例1】．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论． 【详解】如图， 可假设， ∵ ∴，故A选项错误， ，故D选项错误； 反过来，当时，不能得到，故B选项错误； 当时，能得到，故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用． 【变式1】．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，，选项不符合题意； B、，不能判定，选项符合题意； C、，，选项不符合题意； D、，，，选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式2】．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A.AO与DO，BO与CO不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； B.AO与CO，AB与CD不是对应线段，不能判定CD∥AB，故错误； C. 能判定CD∥AB，故错误； D.能判定CD∥AB，正确； 故选D. 【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据图形进行分别判断. 题型05 三角形一边的平行线判定定理及推论的应用 【典例1】．已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当时， 故答案为∶6． 【变式1】．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当 时，． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 题型06 已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 【典例1】．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可 【详解】解：，即 A、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，即，故此选项符合题意； D、∵， ∴，即，故此选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【变式1】．已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】选项A中，由可得：，即有，不合题意； 选项B中，由可得：，即有，不合题意； 选项C中，由可得：，即有，不合题意； 选项D中， ∵， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】．已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 题型07 类A、类X字型 【典例1】．如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 【变式1】．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例得比值是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 【变式2】．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 题型08 平行线分线段成比例定理—梯子型 【典例1】．如图，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【变式1】．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    【答案】2 【分析】由，可得，再代入数据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，熟记平行线分线段成比例并灵活应用是解本题的关键． 【变式2】．已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ，，， 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 题型09 平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 【典例1】．如图，，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 【变式1】．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 【变式2】．如图，，，，，那么 ．    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，则，然后利用可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴，即：， ∵，且， ∴， 可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 题型10 平行线分线段成比例定理—其他类型 【典例1】．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 【答案】2 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【详解】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 【变式1】．如图，梯形中，，，，则 ．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算． 【详解】解：∵ ∴ ，，， ， , 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质． 【变式2】．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 题型11：几何应用 【典例1】．如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与等高，得出，，根据平行线分线段成比例定理得出． 【详解】解：∵与等高， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据求出，是解题的关键． 【变式1】．如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】证明，推出，设，则，，求出四边形的面积，可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵ E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ； 故答案为：． 平行线分线段成比例在几何中的应用的两个技巧：①找两个三角形面积之间的关系，如等底同高、等高同底等；②设参化参思想，设参数，用参数表示题中的量，再消参或解参。 题型12：解答题 【典例1】．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)不平行 (4)平行 【分析】（1）根据平行线分线段成比例判断即可； （2）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （3）同（1）图，根据平行线分线段成比例判断即可； （4）根据题意得出，，根据平行线分线段成比例判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：    ∵， ∴； （2），， ∴； （3），， ∴不相等，不平行； （4）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】考查三角形一边平行线判定定理的内容，根据比例性质进行相关变形应用是解题关键． 【变式1】．如图，，，，，求、的长． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：， ∴ ，，， ∴，解得：， 则． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，其中掌握平行线分线段成比例定理（ 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例）是关键． 【变式2】．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【答案】 【分析】根据AE＝2BE，S△ABC＝1，便可计算S△AEC的面积，根据平行线分线段成比例定理，可得的比值，最后便可求解． 【详解】解：∵AE＝2BE，S△ABC＝1， ∴S△AEC＝， ∵EFBC， ∴， ∴， 即S△CEF的值为． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，以及三角形面积的求法（当高相同时，三角形的面积等于底之比），属于基础题． 【变式4】．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 一、单选题 1．如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4.5 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵DE∥BC，BD=6，AD=2，DE=1.5， ∴AB=4 ∴，即， 解得：BC=3， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握线段的对应关系． 2．如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意； B、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； C、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； D、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（　　） A．＝，＝ B．＝，＝ C．＝，＝ D．＝，＝ 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：当＝或＝时，DE∥BC， B选项中，＝，＝， ∴＝， ∴DE∥BC， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4．如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比列式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， 故选：C． 5．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得: ,然后根据等高的两三角形的面积比等于底之比,可得: S△ADE:S△BDE=, S△ABE:S△BCE=,设S△ADE=a,可得S△BDE=2a,从而求出S△BCE=6a,即可求出. 【详解】解:∵, ∴ ∵△ADE和△BDE等高 ∴S△ADE:S△BDE=,可设S△ADE=a,可得S△BDE=2a ∴S△ABE= S△ADE＋S△BDE=3a ∵△ABE和△BCE等高 ∴S△ABE:S△BCE= ∴S△BCE=6a 故选B. 【点睛】此题考查的是求三角形的面积比,掌握平行线分线段成比例定理和等高的两三角形的面积比等于底之比是解决此题的关键. 6．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，同理得到，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 二、填空题 7．如图，， ，，那么= ． 【答案】3 【分析】根据平行线分线段成比例的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵BC=9， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解答的关键． 8．如图，、是边、上的两点，且，，则________． 【答案】 【分析】由，，根据平行线分线段成比例定理，又由，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系． 9．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当 时，． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 10．如图，已知，若，，则 .    【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 11．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ．    【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 12．如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为 ． 【答案】9 【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到，进而求出，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 三、解答题 13．如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作成比例线段，平行线分线段成比例．利用数形结合的思想是解题关键．根据，得出，结合尺规作图，作出成比例线段即可． 【详解】解：如图，线段x即为所作． 14．如图，在中，，，，，求．    【答案】4 【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键． 15．已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长． 【答案】DE=6，EF=10 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，得3：5=DE：（16-DE），即可求出DE的长，进而可得EF的长． 【详解】解：∵， ∴AB：BC=DE：EF， ∵AB=3，BC=5，DF=16， ∴3：5=DE：（16-DE）， ∴DE=6， ∴EF=16-6=10． 【点睛】主要考查了平行线分线段成比例的性质，掌握该定理：两条直线被平行线所截，对应线段成比例是解题的关键． 16．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断； （2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.4 三角形一边的平行线（第1课时） 教学目标 1. 掌握三角形一边的平行线性质定理及推论； 2. 学会三角形一边的平行线判定定理及推论； 3. 了解平行线分线段成比例定理。 教学重难点 1.重点 （1）根据三角形一边的平行线性质定理及推论求解； （2）学会根据线段成比例判定三角形一边的平行线； （3）平行线分线段成比例的应用； （3）已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段。 2.难点 （1）三角形一边的平行线性质定理、判定定理及推论的几何应用； （2）在几何问题中，灵活运用比例线段的不同比例形式； （3）尝试学会用中间量来解决比例线段问题。 知识点1 三角形一边的平行线性质定理 1.引入（由特殊到一般——特殊） 三角形的中位线是联结两边中点的线段，中位线所在的直线与第三边所在的直线平行.如图24-10,DE 是△ABC的中位线，这时,可知DE//BC. 问题1在图24-10中，如果,DE//BC, 那么是否等于1? 在上一节例题2中，我们为证明四条线段成比例，利用了“同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等”的性质.这个性质指出了线段比与面积比之间的联系，于是我们可考虑利用两个三角形面积的比来尝试解决问题， 要把两条线段的比转化为两个三角形的面积比，首先要找到或构造分别以这两条线段为边的两个三角形. 如图24-11(1),联结EB, 得△EDB, 它与△EAD同高，可知 同样，如图24-11(2),联结DC, 可得 比较上面两式可知，如果 S△EDB=S△EDC,那么就能得到，如图24—11(3),因为BC平行于DE, 可知△EDB与△EDC同底等高，所以△EDB 的面积与△EDC的面积相等.于是，得 另外，对问题1结论的推导，也可采用下述方法：取边AC的中点E', 联结DE′,可知DE'//BC,推出 DE'与DE重合，得E′与E重合.因此 问题2（A字型） （由特殊到一般—— 一般） 如图24-12,如果将直线l保持与BC平行而进行移动，l与边AB 、AC 分别相交于点D 、E,那么与相等吗? 已知△ABC, 直线l与边AB 、AC 分别相交于点D 、E,且l//BC, 试证明 证明：如图24-12,分别联结EB 、DC. 设点E到AB的距离为h, 则 S△EAD=AD·h,S△EDB=DB·h, 得 同理可得 ∵DE//BC ∴S△EDB=S△EDC 得 问题3（X字型） 已知△ABC,直线l与边AB、AC的延长线分别相交于点D、E,且l//BC,那么成立吗? 如图24-13,可以看作△ADE的两边AD、AE被平行于DE的直线BC所截，由以上证明可知成立. 如图24-14(1),直线l与边BA、CA的延长线分别相交于点D、E.这时，如图24-14(2),过点D作直线AC的平行线I′,设直线I′与直线BC相交于点C'′;再过点A作直线l的平行线，交直线I'于点A′,得AE=A′D,EC=DC'.在△DBC′中，由AA'//BC′,得,可知也成立。 通过以上讨论，我们得到： 三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 由三角形一边的平行线性质定理，我们可以得到它的推论（证明过程自主推导，可参考教材p14） 三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 要点： (1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型 （2）常用的比例式： 对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. 【即学即练】 1．如图，在中，，，，，则 ．    2．如图，在中，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则的长为（   ） A．9.6 B．6.4 C．4.8 D．3.2 4．如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    5．如图，，与交于点，已知，，，那么线段的长为 ． 知识点2 三角形一边的平行线判定定理及推论 1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 要点： 判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例). 【即学即练】 1．中，点分别为边和边上的点，下列式子可以判定的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在中，点、分别在边、上，下列条件中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 知识点3 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. 2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点： （1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； (2) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中. 【即学即练】 1．如图，直线AB∥CD∥EF，已知AC＝3，CE＝4，BD＝3.6，则DF的长为 ． 2．如图，l1∥l2∥l3，已知AG＝6cm，BG＝12cm，CD＝15cm，CH＝ cm． 3．如图，，，，，，，那么 ． 4．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（   ） A．3 B．5 C．6 D．9 知识点4 已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 作法 如图24-30(2)所示， 1.作以点O为端点的射线OM和ON. 2.在OM上顺次截取OA=a,AB=b. 3.在ON上截取OC=c. 4.联结AC,过点B作BD//AC,交ON于点D. 线段CD就是所求的线段x. 要点：作图的依据是平行线分线段成比例定理；利用这一定理可证明所作线段符合要求. 【即学即练】 1．已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（    ） A．B．C． D． 2．已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型01 三角形一边的平行线性质定理及推论—A字型 【典例1】．如图，在△ABC中，DEBC，若，则等于(        ) A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，点、分别在、上，连接，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【变式3】．如图，在中，若，，，则的长是 ． 【变式4】．如图，在中，，则的长为 ． 题型02 三角形一边的平行线性质定理及推论—X字型 【典例1】．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．如图，已知，点D，E分别在边，的反向延长线上，且．若，，，则AB为(   ) A．5 B．8 C．10 D．15 【变式2】．如图，在中，点分别在边的反向延长线上，且．若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 题型03 三角形一边的平行线性质定理及推论—文字语言描述 【典例1】．在中，点、分别在线段、的延长线上，平行于，，，，那么 ． 【变式1】．在中，点D，E分别在边和上，且，如果，，，那么 ． 【变式2】．在中，点、分别在直线、上，如果，，，，那么 ． 【变式3】．在中，点D、E分别在边、上，，，如果，那么的长为 题型04 三角形一边的平行线判定定理及推论 【典例1】．在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、BC上的点，下列条件中，不一定能得DE∥AC的条件是（     A． B． C． D． 【变式2】．如图，、相交于点，下列条件中能判断∥的是（    ）    A． B． C． D． 题型05 三角形一边的平行线判定定理及推论的应用 【典例1】．已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么 ． 【变式1】．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当 时，． 题型06 已知比例线段中的三条线段，求作另一条未知线段 【典例1】．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　） A．   B．   C．  D．   【变式1】．已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07 类A、类X字型 【典例1】．如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【变式1】．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【变式2】．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 题型08 平行线分线段成比例定理—梯子型 【典例1】．如图，，则的长为 ．    【变式1】．如图，已知直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，如果，，，那么 ．    【变式2】．已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型09 平行线分线段成比例定理—梯子交叉型 【典例1】．如图，，，，，则 ．    【变式1】．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，．如果，，那么的值是 ．    【变式2】．如图，，，，，那么 ．    题型10 平行线分线段成比例定理—其他类型 【典例1】．如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为 ． 【变式1】．如图，梯形中，，，，则 ．    【变式2】．如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 题型11：几何应用 【典例1】．如图，梯形ABCD中，，如果，那么的值是（        ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，中，E是边的中点，交对角线于点F，那么的值为 ． 题型12：解答题 【典例1】．在中，点、分别在边、上，根据下列条件，试判断与是否平行． (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，． 【变式1】．如图，，，，，求、的长． 【变式2】．如图，已知，与相交于点．若，，求的长． 【变式3】．如图，已知△ABC中，点E、F分别在△ABC的边AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值． 【变式4】．如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 一、单选题 1．如图，线段BD,CE相交于点A，DE//BC,若BD=6,AD=2,DE=1.5,则BC的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4.5 2．如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 3．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（　　） A．＝，＝ B．＝，＝ C．＝，＝ D．＝，＝ 4．如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 5．如图，在中，点、分别在边、上，，，那么等于（    ）. A． B． C． D． 6．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，将A，间加一条安全绳（线段），分别交，于点E，F，量得．则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，， ，，那么= ． 8．如图，、是边、上的两点，且，，则________． 9．在中，，分别反向延长到D、E，若，则当 时，． 10．如图，已知，若，，则 .    11．如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么线段的长是 ．    12．如图，点D、F在线段上，点E、G在线段上，，，如果，那么的长为 ． 三、解答题 13．如图，已知线段a、b、c．求作线段x，使． 14．如图，在中，，，，，求．    15．已知，如图，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长． 16．如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$