专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义） 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 例2（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 例3（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究：(1)【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到．进而得到 ， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【应用】如图2，点B，P，D都在直线上，并且．若，，，用含的式子表示的长； (3)【拓展】在中，点D，E分别是边，上的点，连接，，，，．若为直角三角形，求的长； 例4（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 例5（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：；(2)当时．①如图，求的长．②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 例6（2023年内蒙古中考模拟数学模拟试题）如图，在中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（    ） A． B． C． D． 例7（2025·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 2．（24-25·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      3．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是 ；当经过点时，的长是 ． 6．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．(1)求证：；(2)如果，，，求的长． 7．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    8．（24-25·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．(1)求证：；(2)若，且，求的长．    9．（24-25广东·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．    10．（24-25·内蒙古·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 11．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 12．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 13．（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用：(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到__．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：；②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 15．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 16．（24-25吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；(3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义） 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，为等边三角形，点D，E分别在边，上，．若，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：为等边三角形，，，， ，， ，，， ，，，，故答案为：10． 例2（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点，．． 四边形为正方形，． 在Rt中，，． 又，．同理． ．． 在和中，，． 法二：设正方形的边长为．是的中点，．． 四边形为正方形，． 在Rt中，，．又，．同理． 在中，，．． 又，．在和中，，． 法三：．四边形为正方形，． 是的中点，，． 在和中，，．． ，，． 在和中，，． 例3（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究：(1)【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得；又，可以通过推理得到．进而得到 ， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型． (2)【应用】如图2，点B，P，D都在直线上，并且．若，，，用含的式子表示的长； (3)【拓展】在中，点D，E分别是边，上的点，连接，，，，．若为直角三角形，求的长； 【答案】(1)，(2)(3)6 【详解】（1）∵，，于点C，于点E ∴，∴， 又∵，∴， ∴，故答案为：，； （2）∵，∴ 又∵，∴，∴∴∴ （3）如图，当时，∵ ∴∴, 如图，当时，过点A作于点F， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴ ∴，不符合题意，舍去，综上，． 例4（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证明：（1）∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 证明：（2），， ，， ，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：在上截取， 四边形是平行四边形，，， ，，同（1）（2）题证明得． 例5（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：；(2)当时．①如图，求的长．②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1)见解析(2)①6；② 【详解】（1）证明：如图1，作，交于，， ，，，， ，，，； （2）解：①如图2，作，交于，， ，，， ，，，， ，，， ，，， ，，，（舍去），即的长为6； ②在中，，，，， ，，， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，，，，， ，，， 又，，，，， ，，，， 又，，，，，，， ，，． 例6（2023年内蒙古中考模拟数学模拟试题）如图，在中，，，是的中点，连接，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连接．以下四个结论：；点是的中点；；，其中正确的结论序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴在中，，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，故正确；设， ∵点是的中点，∴，在中， ，∴， ∵，∴，∴ ∵，，∴， ∴，∴，∴，∴，故错误； ∵，∴，∴，∵，∴，故正确； 过点作于，如图，∵，∴，∴ ∵，∴， 即，故错误；∴正确的结论是，故选：． 例7（2025·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)相似，证明见解析(3)存在， 【详解】（1）证明：∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，又∵∠A＝∠EDC＝90°，∴△AEF∽△DCE； （2）解：△AEF∽△ECF．理由：∵E为AD的中点，∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∴△AEF≌△DEG(ASA)， ∴EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∵EF⊥CE，∴CE垂直平分FG， ∴△CGF是等腰三角形．∴∠AFE＝∠EGC＝∠EFC． 又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF； （3）解：存在使得△AEF与△BFC相似．理由：假设△AEF与△BFC相似，存在两种情况： ①当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立； ②当∠AFE＝∠BFC，使得△AEF与△BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka， ∵△AEF∽△BCF，∴，∴AF＝，BF＝， ∵△AEF∽△DCE，∴，即， 解得，．∴存在使得△AEF与△BFC相似． 1．（2025·安徽淮北·三模）如图，E是上一点，，，，连接．若，则下列结论中错误的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点E作于点F ∵，∴∴， ∵∴∴平分，故A正确； 又∵∴，故D正确； ∵，，∴∴∴ ∵∴∵，∴ ∵平分∴∴，故C正确；∴ ∵，∴∴ ∴，即∴，故B错误；故选：B． 2．（24-25·安徽滁州·九年级校联考期末）在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．      【答案】 【详解】解：是等边三角形，，，， ， ， ，，；， ，，，，的边长为．故答案为：． 3．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____． 【答案】 【详解】∵在正方形ABCD中，AF⊥EG， ∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，∴∠FAB =∠AGE， 又∵∠ABF=∠GAE=90°，∴， ∴，即：，∴BF=．故答案是：． 4．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ∴，，，设，则， ∵ D 是的中点，∴，∵，，， ∴，，∴，∴，即，解得， ∴，∴，故答案为：． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是 ；当经过点时，的长是 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）当为等腰三角形时，且为直角，只有．如图1，过点作， ，，， ，，． ，四边形为矩形，． 在中，，．故答案为：； （2）当经过点时，如图2所示，∵，∴． ，．设，则， ∴ ，解得，．的长为或．故答案为：或 6．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，．(1)求证：；(2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)2或4 【详解】（1）证明：在中，，， ， ，． （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴，即， 解得：或，∴的长为2或4． 7．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.    【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵是的一个外角，∴， 又∵，，∴， 在和中，，∴ 8．（24-25·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点落在边上，记作点．(1)求证：；(2)若，且，求的长．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵四边形是矩形∴， ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴∵∴； （2）∵∴，即解得 ∵四边形是矩形∴ ∵沿直线将翻折，使得点落在边上，∴∴ ∵∴，即解得∴． 9．（24-25广东·九年级专题练习）如图，在四边形中，，，且，，若点是上的一点，且，求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：∵AD∥BC，AD＜BC，AB=DC=2，∴∠A=∠D ∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC． 10．（24-25·内蒙古·九年级校考阶段练习）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【详解】探究：证明：∵是的外角，∴， 即，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：； 拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE，∴， 即，解得：，∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 11．（2024·重庆·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形： （1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；；（3）可能；，或，． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴，∴， 在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴，，∴； （2）在△ABP中，，∴， 同理可得：；由或， 即，解得，则△ABP∽△PCQ； ∴当在许可范围内变化时，时，总有△ABP∽△PCQ； 由或，同理可得：． ∴当在许可范围内变化时，总有△ABP∽△QCP； （3）可能．①当，时，则，则△ABP∽△PCQ∽△BCA； ②当，时， 同理可得：，，∴△ABP∽△CQP∽△BCA． 12．（2023年安徽省九年级数学一模试卷）如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接(1)求证：(2)若是的中点，求的值．(3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的值为12 【详解】（1）证明：∵， ∴，∴，∴，∵，∴， （2）∵，∴， ∵，∴，∴， ∵是的中点，∴，∴，∴， ∵∴，∴． （3）∵，∴， ∵，∴，∴， 若，∴，即 ∵∴，∴∴；∴． 13．（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用：(1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．(2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，在和中，∵，∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵，，∴， ∴，∴． 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到__．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：；②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】感知：（1）；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案为：； 应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD； ②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP， ∴，即，解得：，∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 15．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【详解】解：（1）∵，且 ∴，∴，∴； （2）∵，，而，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）过点作，则：，，∴ ∵，∴，则， 同理可证：，∴，即， ∴． 16．（24-25吉林长春·九年级校联考期中）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC．（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 【答案】（1）详见解析；（2）4；[应用]AP= [应用]同（1）的方法，先证明∠EPB=∠ACP，然后证明△APC∽△BEP，再由对应边成比例建立方程求AP. 【详解】（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP， ∵∠A=∠DPC，∴∠ADP=∠CPB∵∠A=∠B∴ （2）∴∴∴AP=4. [应用]AP=，理由如下：∵∠BPC=∠A+∠ACP∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP ∵∠CPE=∠A∴∠EPB=∠ACP又∵AC=BC∴∠A=∠B∴△APC∽△BEP∴ ∵CE=3EB∴BE=BC=1∴解得AP= 17．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在综合实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片，点E在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点A的对应点记为点F．(1)操作发现：如图1，若点F恰好落在矩形的边上，直接写出一个与相似的三角形； (2)深入探究：如图2，若点F落在矩形的边的下方时，、分别交于点M、N，过点F作，，垂足分别为点G、H，当点G是的中点时，试判断与是否相似，并证明你的结论；(3)问题解决：在（2）的条件下，若，，求的长．    【答案】(1)；(2)相似，证明见解析；(3)或． 【详解】（1）解：与相似 证明：∵四边形是矩形，，， 由折叠的性质可知，，，，； （2）解：，理由：如图，分别延长、交于点P，          ∵四边形是矩形，，，， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形，， ，由折叠的性质可知，， ，，，， ，，点G是的中点，，， ，，，； （3）解：由（2）可知，，， 由折叠的性质可知，，， ，， ①当点E在上时，如图，，， ， ②当点E在的延长线上时，如图，，， ．综上所述，的长为：或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$