1.7 角平分线的性质（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.7 角平分线的性质 题型一：利用角平分线的性质求面积 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 2．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为 ． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 6．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 7．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    题型二：利用角平分线的性质求线段长度 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 4．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    7．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 题型三：利用角平分线的性质求点到直线的距离 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中的平分线交于点，若于点，且，则点到边的距离是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 题型四：利用角平分线的性质求证 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 2．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在三角形中，于点，，． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点，求的度数． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 5．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    6．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B 在上，且 (1)求证：． (2)若，求的长． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接． (1)试说明：； (2)若，且，求的面积． 题型五：利用角平分线的判定求角度 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 9．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，直线，交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ． 题型六：尺规作图与角平分线相关求解 1．（2025·上海普陀·三模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点D，，垂足为．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 3．（2025·海南·模拟预测）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则 ． 6．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线；分别以点A，B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，，则点F到的距离为 ． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    8．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 题型七：角平分线中尺规作图解答题 1．（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 5．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 6．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 题型八：角平分线的实际应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 题型九：角平分线的判定解答题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 2．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 6．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 7．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 题型一：利用角平分线的性质求最值 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 6．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 题型二：利用角平分线的判定判断结论是否正确 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 3．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 4．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．连接，则平分 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．平分 D． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（   ）    A． B． C．垂直平分 D．平分 题型三：角平分线的性质与判定中多结论问题 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D，的外角平分线与的延长线交于点F，延长至点G，连接，若，给出以下结论：①；②；③；④平分；其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在和中，交于点M，连接．下列结论：①；③平分；④平分．其中正确的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 5．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 7．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 题型四：角平分线的性质和判定压轴题 1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若G、H分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； (3)如图3，连接，写出与的数量关系是______． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 4．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 6．（24-25八年级上·江西赣州·期中）教材再现，请你完成解答 (1)【问题背景】如图1，，，，与交于点F．求证：． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)【问题解决】如图3，在（1）的条件下，当，连接，求_____．（用含的式子表示） 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，点是平分线上的一点，点是射线上的一点（异于点，），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点，使． 小明说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，则可证得．” 小红说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，当的大小满足一定条件时也可证得．”你认为小红提出的条件应该是（    ） A． B． C．或 D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ）    A．10 B．13 C．16 D．19 7．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期末）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 10．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则 ． 12．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，平分交于点，连接，若点是边的中点，求的度数． 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）根据提示填空（或填上每步推理的理由） 已知：如图，于D，于G，．求证：平分． 证明：∵于D，于G（已知） ∴，， ∴， ∴（________________________________）， ∴________（________________________________）， （________________________________）， 又∵（已知）， ∴________， ∴平分． 17．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.7 角平分线的性质 题型一：利用角平分线的性质求面积 1．（2025·山西大同·三模）如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广西桂林·期中）如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过作于，于，连接，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，代入数据计算即可．解题的关键是由角平分线的性质推出． 【详解】解：如图，过作于，于，连接， ∵，分别平分和，于， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴ ， 即的面积为． 故选：C． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 过F作于G，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：过F作于G， ∵平分，，， ∴， ∵为的边上的中线， ∴为的边上在中线， 又∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与交于点，已知的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形面积．根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则利用三角形面积公式得到，所以，则，从而得到，接着可求出，然后利用为的中点得到． 【详解】解：平分， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， ， 点到和的距离相等， ， ， ， 为的中点， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的高， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积等于， 故答案为：8． 6．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接， ∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 7．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 题型二：利用角平分线的性质求线段长度 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于H，先由三角形面积计算公式求出的长，再由角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 由题意可知：于F，由线段的和差可得，根据角平分线的性质求出即可解答． 【详解】解：由题意可知：于F， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴，即点到BC的距离为2． 故答案为2． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作与点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键． 如图所示，过点作于点，由题意可得，根据，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵点是，的平分线交点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，且， 解得，， 故答案为：3 ． 5．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，是的平分线，于E，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】解：过点作，垂足为，   是的角平分线，， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O是的内心，根据角平分线的性质可得点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，得到，即可解答． 【详解】解：由题意易得点O是的内心， 则点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等， ∵点O到的距离为3， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三：利用角平分线的性质求点到直线的距离 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中的平分线交于点，若于点，且，则点到边的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．作于，由角平分线的性质得到，于是得到点到边的距离是． 【详解】解：作于， 平分，于， ， 点到边的距离是． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：B． 5．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，，平分，如果，点D到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴点D到的距离是2， 故答案为：2． 题型四：利用角平分线的性质求证 1．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，推出为的角平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∵点P在上，， ∴． 2．（24-25七年级下·重庆南川·期中）如图，在三角形中，于点，，． (1)求证：； (2)若平分，平分交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质以及角平分线的定义，正确运用相关知识进行推理是解答本题的关键． （1）由得出，得出，进而得出，可证明，结合可得结论； （2）根据平分线的定义得出，，根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； ； （2）解：，平分， ，即， ， 平分， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级下·湖南怀化·期中）如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 5．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得，，进而可知，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 6．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，平分，，垂足分别为E，F，点B 在上，且 (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，再利用线段和差计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，, ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17.5 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接． (1)试说明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平分得到，根据平分得到即可得证； （2）设．由（1），得．利用已知建立方程解答即可． 本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴即为的平分线． 又∵， ∴． ∵是的平分线，， ∴， ∴． （2）解：设． 由（1），得． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． 题型五：利用角平分线的判定求角度 1．（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 2．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 3．（24-25八年级下·陕西·期中）如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，对角线平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于， 平分，，， ， ， ∴ ∵ ∴ ，， ， 平分， ，， ， ， 平分， ， 平分， ， ， 故选：B． 6．（2025·湖南衡阳·一模）如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，点D在的外部，且平分，过点D作，交的延长线于点E，，交于点F，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键．如图，连接，过点作，交的延长线于点，证明平分平分，利用三角形的外角性质求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作，交的延长线于点， ，，， 平分， 平分，，， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 【详解】解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 9．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，直线，交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ． 【答案】/28度 【分析】本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质．根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数. 【详解】解：根据平角的定义可知：， 在四边形中，， 于点，于点， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 题型六：尺规作图与角平分线相关求解 1．（2025·上海普陀·三模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点D，，垂足为．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了作角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由作图可得是的角平分线，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选B． 2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．（2025·海南·模拟预测）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质． 根据作图步骤可知是的平分线，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可得解． 【详解】根据作图步骤可知是的平分线， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（   ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于H， 由作图方法可得，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在上分别截取线段，使；分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线交于点M，过点M作于点N，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分，根据角平分线的性质可知，结合求出，． 【详解】解：作图可知平分， ∵是边上的高，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，已知，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线；分别以点A，B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，，则点F到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、垂直平分线的作法及性质，等腰直角三角形的性质．如图，过点F作于H，证明，再证明，再结合等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过点F作于H， 由作图知平分，垂直平分线段， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点F到的距离为 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    【答案】/97度 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据尺规作图的步骤可知平分，进而求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据题意可知平分，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 8．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． 题型七：角平分线中尺规作图解答题 1．（24-25九年级下·甘肃临夏·期中）如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答． （2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）解：依题意，点E如图所示． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图步骤． （1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可； （2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，射线即为所求． 4．（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 5．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义得到，由线段垂直平分线的性质得到，据此可利用证明． 【详解】（1）解；如图所示，射线，直线即为所求． （2）解：，证明如下： ∵为的平分线， ∴， ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴． 6．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识． （1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论； （3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2） 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 8．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 题型八：角平分线的实际应用 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 3．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 4．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 题型九：角平分线的判定解答题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 2．（24-25八年级下·广西来宾·期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 3．（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，于点，由是的平分线，得到 ，再证明是的平分线，得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，如图： ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：如图： ∵ ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在和中，，，，连接，交于点，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明，可得，再结合三角形的内角和定理可得结论； （2）如图，过点作于点，于点．再证明，再结合角平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴．     ∵， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，于点． ∵， ∴，， ∴， ∴．     又∵，， ∴， ∴平分． 6．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为． (1)求证：点在的平分线上； (2)若的周长和面积都为24，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论； （2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上； （2）解：连接， 由（1）知， ∴ ， ∵的周长和面积都为24， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点D在边上，，平分交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接 (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； 过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； 根据三角形的面积公式求出，再根据角平分线的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ，， ， 由可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3）结论： 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 题型一：利用角平分线的性质求最值 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，能知道当时，的长度最小是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， 由垂线段最短得，时最小， 此时，． 故选：C． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，平分，垂足为，，是射线上的一个动点，则线段的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由垂线段最短可知，当时，线段有最小值，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段有最小值， 平分，，， ， 即线段的最小值是4， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，平分交于点，，若是上的动点，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质解答即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，线段的值最小， ∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∴线段的最小值为， 故选：． 5．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则    （1）的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作，    平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； 解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，    平分交于点， 点与点关于对称， ， 在中，， ， ， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．在中运用三角形三边关系，可求得的取值范围是 ，若点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 在中，由三角形三边关系“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可知，代入数值即可确定的取值范围；延长、交于点，首先利用“ASA”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质易知，确定面积的最大值，即可获得答案． 【详解】解：在中，， ， 解得； 如下图，延长、交于点， 为的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值， 即， ． 故答案为：；． 题型二：利用角平分线的判定判断结论是否正确 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，以它的边为直角边，分别在形外作等腰直角三角形，连接．下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 利用证明则，即可判断A；由于，则，而，故，即可判断B；过点A作于点，过点A作于点，由于，则，而，故，根据角平分线的判定即可判断C；对于D，条件不足，不能证明． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； 如图：过点A作于点，过点A作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故C正确，不符合题意； ∵现有条件不足以证明，故D错误，符合题意， 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B．与的面积比等于边与之比 C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式． 过点P作于点M，作于点N，作于点H，根据角平分线的性质及判定可证明选项A；根据三角形的面积公式可证明选项B，根据三角形的内角和定理可证明选项D，据此即可解答． 【详解】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴．故选项A的结论一定成立； ．故选项B的结论一定成立； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴．故选项D的结论一定成立． 根据题意无法证明选项C的结论一定成立． 故选：C 3．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（  ） A． B．点D在的平分线上 C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D．连接，则平分 【答案】B 【分析】先通过证明，并根据全等三角形的性质即可证明A选项不符合题意；由外角的性质及等腰三角形的定义，可证明C选项不符合题意；连接，过点C作于点G，于点H，根据角平分线判定定理证明D选项不符合题意；无法证明B选项． 【详解】解：， ， 即， ，， ， ，故A选项不符合题意； ， ∵， ，故C选项不符合题意； 如图，连接，过点C作于点G，于点H，   ， ， ， ， 平分，故D选项不符合题意； 当时，需成立，与题意矛盾，故B选项符合题意； 故选：B． 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证明，再在此基础上逐个去判断即可． 【详解】， ， 即． 在和中， ，故选项A正确； ， ． ， ． ， ，故选项B正确； 如图，过点作于点于点． ， ，， ， ， 平分，故选项C正确； 平分， ，即， ，故选项D错误． 故选：D． 6．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，平分，垂足分别为C，D，连接，则下列关系不一定成立的是（   ）    A． B． C．垂直平分 D．平分 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明是关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，垂直平分，但不一定垂直平分； 故选项A、B、D正确，选项C错误； 故选：C． 题型三：角平分线的性质与判定中多结论问题 1．（23-24七年级上·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ∴， ，①正确； 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图2所示： 则， 在和中， ， ， ， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的①②④； 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D，的外角平分线与的延长线交于点F，延长至点G，连接，若，给出以下结论：①；②；③；④平分；其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论；②根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数；④过点作的垂线，垂足分别为，根据角平分线的性质定理和判定定理证明即可；③同理可证明：，则，，而，故，因此与不可能相等． 【详解】解：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴，故②正确； 过点作的垂线，垂足分别为， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵ ∴平分，故④正确； 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不可能相等，故③错误， ∴正确的有3个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，在和中，交于点M，连接．下列结论：①；③平分；④平分．其中正确的个数为（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由证明，根据全等三角形的性质得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，据此得出，②正确；作于G，于H，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，则，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴，故②正确，符合题意； 如图所示，作于G，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，故④正确，符合题意； ∵， ∴当时，才平分， 假设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，与题意不符，故③错误，不符合题意； 综上，符合题意的有①②④； 故选：B． 4．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图中，，和的平分线分别为和，和相交于点P，连接，则有以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论为（   ） A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的定义与性质，全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义可得，进一步可判断①，过点P作，证明是的平分线，可判断③，假设，通过三角形全等证明可判断②． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴， ∴，①符合题意； 过点P作，    ∵、分别是与的角平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，故③符合题意； 若，而，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故②不符合题意； 故选：A． 5．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在和中，，连接交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点，因为，所以，可判断②正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 设交于点， ，故②正确； 作于点于点， ， ，又， ， ∴点在的平分线上， 平分，故④正确； 假设，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴，与已知条件相矛盾， ，故③错误， ∴①②④这3个结论正确， 故选：C． 6．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，①证明，即可得到；②由可得，再由、证得即可判定；④分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；⑤由平分结合即可判定，缺少条件证明③平分． 【详解】解：， ， ∴， 在和中， ， ， ． 故①正确； ∵， ， ，， ， ，即， 故②正确； 分别过作、垂足分别为、， ∵， ， ， ， ， 平分，无法证明平分． 故③错误；故④正确； 平分，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤， 故选：A． 7．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，推出，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据外角的性质及④的结论，可判断③． 【详解】解： ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于E，于F， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， ∵,,且, ∴．故②错误； 综上所述正确的有①③④． 故选：D． 题型四：角平分线的性质和判定压轴题 1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）课本再现 （1）如图（1），，是的中点，平分．求证：是的平分线． 变式探究 （2）如图（2）所示，，是的平分线，是的平分线． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、平行线的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）①先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理即可得证； ②在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图，过点作于点， ∵平分，，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又∵，，点在的内部， ∴平分． （2）①∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴． ②如图，在上截取，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①已证：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）以的、为边作和，且，，与相交于M，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若G、H分别是、的中点，求的度数（用含式子表示）； (3)如图3，连接，写出与的数量关系是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． （1）由“”可证，可得，由外角的性质可得结论； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由全等三角形的性质可得，，由面积法可求，由角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图2所示：    由（1）可得：，， 、分别是、的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：连接，过点作于，于，如图3所示：   ， ，， ， ， 又，， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 【答案】 ；；． 【分析】根据三角形外角的性质可得、，根据角平分线的定义可得、，所以可得，从而可得； 延长到，根据角平分线的定义可得，从而可得平分、平分，构造出中的模型，由中的结论可知； 过点作、、，根据、，可得平分，构造出中的模型，由中的结论可知． 【详解】解：， 理由如下： 如下图所示， 是的外角， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， ； 解：如下图所示，延长到点， ， ， 又平分， ， 平分， 又平分， 由可知， 根据折叠可知 ， ， ， 解得：， ； 解：如下图所示，过点 作垂足为点， 垂足为点，垂足为点， ，， ， 平分， 平分，， 由（1）知 ， 平分， 平分， ， ， 平分， ， 故答案为． 4．（23-24八年级上·河北衡水·阶段练习）如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴,， 又∵,, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴,， ∴， ∵,， ∴; 在直角三角形中，根据勾股定理可得，即 解得， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或或． 6．（24-25八年级上·江西赣州·期中）教材再现，请你完成解答 (1)【问题背景】如图1，，，，与交于点F．求证：． (2)【问题探究】如图2，在（1）的条件下，当，试判断与的位置关系并证明． (3)【问题解决】如图3，在（1）的条件下，当，连接，求_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）首先证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，易得，设与的交点为，由三角形外角的定义和性质证明，即可证明结论； （3）分别过点作，，由全等三角形的性质可得，利用面积法证明，进而可得平分，易知，由（2）知，易得，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，证明如下， 由（1）知， ∴， 设与的交点为，如下图， ∵， ∴， ∴； （3）解：分别过点作，，如下图， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 由（2）知， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是采用面积的割补法． 如图，过作于，利用角平分线的性质可以证明，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， 平分，于点． ， 又，， 的面积为： 故选：D． 2．（24-25九年级下·福建泉州·期末）如图，点是平分线上的一点，点是射线上的一点（异于点，），连结，在射线上用尺规作图的方法找一点，使． 小明说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，则可证得．” 小红说：“以为圆心，为半径作弧，交射线与，连结，当的大小满足一定条件时也可证得．”你认为小红提出的条件应该是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线性质，全等三角形的判定．根据以为圆心，为半径作弧，分情况当时，当时，当时，结合全等三角形判定定理分析，即可解题． 【详解】解：当时， 由作图方法可知，， 由，可证得． 当时，， 由作图方法可知，， 如图，此时，射线上只有一个点符合，可证得． 当时，， 由作图方法可知，， 如图，此时，射线上不止一个点符合，得不到． 综上所述，小红提出的条件应该是或， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】A 【分析】题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质定理可得点H在的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得，，然后利用等式的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 5．（24-25八年级上·河北唐山·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由甲的作法可知，点到的距离相等， ∴点在的角平分线上， 即平分，故甲对； 由乙的作法可知，，， ， ∴， ∴即平分，故乙对； 综上，甲、乙都对， 故选：． 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，，，，点D在边上，点D 到边，的距离相等，且，则的周长等于（   ）    A．10 B．13 C．16 D．19 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识，先根据角平分线的判定得出，根据证明，得出，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵点D 到边，的距离相等， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴的周长等于， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（   ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 8．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角分线的判定定理和邻补角的定义，设与相交于点，过点作于点M，于点M，根据题意得，可利用证明，有，结合三角形得内角和定理得，进一步利用证明，有，即可判定平分，结合邻补角的定义即可． 【详解】解：设与相交于点，过点作于点M，于点M，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， 则 ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东汕头·期末）点在内，且到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据点在内，且到三边的距离相等，得到点为三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：如图： ∵点在内，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：120 10．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）已知点是内一点，且点到三边、、的距离相等，连接、，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．如图，由点O到三边、、的距离相等，可知，是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵点O到三边、、的距离相等， ∴是三角形三条角平分线的交点， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知点是内一点，且点到、的距离，，则 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的判定与性质，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定定理得出平分，最后由角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵点到、的距离， ∴平分， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若的长为2，则点到的最短距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． 过点作于点，可知点到的最短距离为，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，点到的最短距离为， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， 故答案为：2． 14．（2025·陕西·中考真题）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解题的关键．先作的平分线，再在同侧作，使 ，交于P即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 理由如下： 由作图可知：是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点即为所求． 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，平分交于点，连接，若点是边的中点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理等知识点，正确作出辅助线、构造角平分线成为解题的关键． 如图：过E作于F，由角平分线的性质定理可得，再结合点是边的中点可得，再判定平分，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：如图：过E作于F， ∵， ∴． ∵平分，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴平分， ∴． 16．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）根据提示填空（或填上每步推理的理由） 已知：如图，于D，于G，．求证：平分． 证明：∵于D，于G（已知） ∴，， ∴， ∴（________________________________）， ∴________（________________________________）， （________________________________）， 又∵（已知）， ∴________， ∴平分． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；2 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．根据垂线定义求出，根据平行线的判定得出答案，根据平行线的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵于D，于G（已知） ∴，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴ ∴平分． 17．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点，    由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 18．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）如图：，，，， (1)图中、有怎样的位置关系？试证明你的结论． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为G，证明，得到，进而得出，即可得到结论； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 令与的交点为G，如图， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 1 / 127 学科网（北京）股份有限公司 $$