重庆市江北区鲁能巴蜀中学2024—2025学年下学期八年级第一次月考数学试卷-　

2024-2025学年重庆市江北区鲁能巴蜀中学八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数的相反数是(    ) A. B. 2 C. D. 2.新能源汽车的推广使用，有助于削弱对传统石油等化石燃料的依赖，减少车辆排放物对环境造成的污染和降低温室气体的排放.如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数的图象经过点，则k的值为(    ) A. 2 B. C. 18 D. 4.下列是因式分解的是(    ) A. B. C. D. 5.已知一次函数，y随着x的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是(    ) A. B. C. D. 6.下列命题是真命题的是(    ) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 7.如图，在菱形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且满足，则(    ) A. B. C. D. 8.甲、乙两名同学沿同一直线跑道从A地出发前往B地，甲到达B地后停止计时.已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟150米.若两人之间的距离米与甲出发的时间分钟的关系如图所示，则a的值为(    ) A. 100 B. 200 C. 250 D. 300 9.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，连接AE，在对角线BD上任取点F，连接AF、EF，当时，则的面积为(    ) A. B. C. 3 D. 4 10.若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数x的个数为7个；③当时，其中正确的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.函数中，自变量x的取值范围是______. 12.蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，生物学家发现一般蜂房的巢壁厚约米，用科学记数法表示为______米. 13.如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交CD的延长线于点E，交AD于点F，则的值为______. 14.已知直线与交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解为______. 15.如图，中，，点D在外，且，EF垂直平分BD交线段AC、BD于E、F，连接DE，若，则的度数为______. 16.若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数m的值的和为______. 17.如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，将沿着AO翻折得到，连接，则______. 18.若一个四位正整数M满足各个数位上的数字互不相同，把它的千位数字与百位数字之差记为x，十位数字与个位数字之差记为y，得到一个有序数对根据所在平面直角坐标系中的象限，称M为“象限数”.例如：8635，，，所以8635是“四象限数”.那么，最大的“二象限数”为______.把M的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换得到的新数记为，定义已知其中，，且均为整数，其中且为整数，若中的x为3，n是“一象限数”，且能被13整除，则满足条件的n的最大值为______. 三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： ； 20.本小题8分 计算： ； 21.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交于点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知B点坐标为 求直线的解析式； 若点D在线段AB上，且满足，求点D的坐标. 22.本小题8分 在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究.他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是菱形.他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论.请你根据该小组的思路完成以下作图与填空： 如图，在中，，AD是BC边上的中线.用尺规作AD的垂直平分线EF，垂足为点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、保留作图痕迹，不写作法 在问所作图形中，求证：四边形AEDF是菱形. 证明：垂直平分AD， ，，， ， ，AD为BC的中线， ______， 在和中， ， ≌， ③______， ， 四边形AEDF为菱形. 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是：______. 23.本小题8分 为迎接“女神节”，某厂家特地推出A，B两种礼盒，已知A礼盒的单价比B礼盒的单价少20元，花2700元进购A礼盒的数量是花1020元进购B礼盒数量的3倍. 求A，B两种礼盒的单价； 某商店将采购的A礼盒加价出售，B礼盒提价30元出售，第一天A，B礼盒的总销售额就达到2800元，其中A礼盒比B礼盒多5套，求当天售出的A、B礼盒的数量各为多少？ 24.本小题8分 如图，在等腰中，，，动点P从点B出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点C运动，同时，动点Q从点B出发，沿折线以每秒1个单位速度向点A运动，当两者相遇时停止运动.设运动时间为x秒， 请直接写出关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； 若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出m的取值范围. 25.本小题10分 周末小明和小红相约去游乐园，两人从轻轨出口A分头行动，小明去售票处B购票，然后去游乐园大门E处；小红先去小卖部C买饮料，然后到存包处D存完包后再去大门E处.如图，已知售票处B在轻轨出口A的正南方向240米处，游乐园大门E在轻轨出口A的正东方向450米处，小卖部C在轻轨出口A北偏东方向相距240米处，存包处D在小卖部C的正东方向且在大门E的正北方向. 求售票处B与游乐园大门E之间的距离； 若小红和小明以相同的速度同时从轻轨出口A出发，不计中途购票及买饮料和存包时间，请判断谁先到达游乐园大门E，并说明理由参考数据： 26.本小题10分 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点A，与y轴交于点 如图1，求k的值； 如图2，已知点E在线段OA上，满足，点F、M分别是y轴和直线AB上的两个动点，连接EF、FM、求的最小值； 如图3，点C关于x轴的对称点为点Q，连接AQ，沿AQ翻折得到，将沿直线AC平移，记平移中的为，在平移过程中直线与y轴交于点N，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出符合条件的N的坐标，并写出其中一个点N的坐标求解过程. 27.本小题10分 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是直线BD上一点，连接AE，在AE左侧作等腰，使得 如图1，点E在线段OD上，若，AD与EF相交于点G，且，求的度数用含的代数式表示； 如图2，点E是线段BD延长线上一点，若，连接BF交CA的延长线于点P，取EF的中点H，连接AH、PH，猜想线段AB、AP、PH之间的数量关系，并说明理由； 如图3，若，，，请直接写出OE的长度. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 根据相反数的定义解答即可． 本题考查的是实数的性质及相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 【解答】 解：的相反数是 故选： 2.【答案】B  【解析】解：ACD选项中的图形都能找到一条直线，使沿直线折叠之后的两部分互相重合，A选项中的图形找不到这样的直线，能够使折叠之后的两部分互相重合． 故B选项中的图形不是轴对称图形． 故选： 根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查轴对称图形的定义，熟知一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：由条件可得：， 解得：， 故选： 把点代入解析式即可求出k的值． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握该知识点是关键． 4.【答案】A  【解析】解：，计算正确，符合题意； B. ，计算错误，不符合题意； C.，计算错误，不符合题意； D.，计算错误，不符合题意． 故选： 根据把一个多项式写成几个整式乘积是因式分解解答即可． 本题考查了因式分解的意义，因式分解-提公因式法，掌握因式分解的方法是关键． 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系. 根据y随着x的增大而减小，可得，进而可得，再根据一次函数图象与系数的关系即可判断. 【解答】 解：一次函数，y随着x的增大而减小， 又 一次函数的图象过第一，二，四象限． 故选： 6.【答案】D  【解析】解：根据真命题的定义以及矩形、菱形和正方形的判定逐项分析可得： A.对角线相等且平分的四边形是矩形，原说法是假命题； B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法是假命题； C.对角线相等的平行四边形是矩形，原说法是假命题； D.对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题． 故选： 根据真命题的定义以及矩形、菱形和正方形的判定逐项分析即可． 此题主要考查命题的真假判断，正确记忆相关知识点是解题关键． 7.【答案】C  【解析】解：在菱形ABCD中，，点E为对角线BD上一点， ， ， ， ， 故选： 由菱形的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 本题主要考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：设乙的速度为每分钟x米． 则， 解得， 故选： 根据题意先求出乙的速度为每分钟100米，即可求出a的值． 此题考查了一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，正确进行计算是解题关键． 9.【答案】C  【解析】解：在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC边上的中点，如图，连接CF，过点C作于点G， ，，， 在和中， ， ≌， ， 又， ， ， ， ， 故选： 根据正方形的性质，利用SAS证明≌，即可得到，然后根据“三线合一”得到EG长，进而求出FG的长解题即可． 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 10.【答案】C  【解析】解：①，， ， 的最小值为，计算正确，符合题意； ②，， ， 为整数，x为整数， ，，，，1，2，3，6， ，0，1，2，4，5，6，9， ， ，1，2，4，5，6，9共7个，计算正确，符合题意； ③，，， ， ， 原式 ，计算正确，符合题意． 故选： ①由可判断①正确； ②把化简得，然后根据为整数，x为整数即可判断②正确； ③由得，然后把变形即可判断③不正确． 本题考查了整式的加减，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． 11.【答案】  【解析】解：根据二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数可得， 解得： 故答案为： 二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．据此解答即可． 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】  【解析】解：平分， ， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故答案为： 首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，属于基础题目． 14.【答案】  【解析】解：由条件可得， 解得：， 直线与交于点， 关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为： 两条直线的交点坐标即为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解．因此先把点代入直线解析式中，求得m的值，即点P的坐标，从而可得方程组的解． 本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，熟练掌握以上知识点是关键． 15.【答案】  【解析】解：连接BE， 垂直平分BD， ，， ， 中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的度数为 故答案为： 连接BE，由线段垂直平分线得到，，继而，根据角直角三角形性质得到，然后证明，则，再根据三角形内角和以及等边对等角计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形判定与性质，含度角的直角三角形，正确添加辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：， 解得：， 的解集为：， ， 解得：， 解分式方程， 解得：， 该分式方程的解为正数， ， 解得：， ， ， 解得：， 且， 为整数， ，，，0，1， 符合条件的所有整数m的值的和为 故答案为： 先解不等式组，再根据不等式组的解集为，求出m的取值范围，然后解关于y的分式方程，根据分式方程的解是正数，求出m的取值范围，从未求出符合条件的所有整数m的值，最后求出它们的和即可． 本题考查了解一元一次不等式组和分式方程，解答本题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 17.【答案】  【解析】解：设DC于交于点E，过点D作于点F， ，， ， ，， ， ，即， ，， 又， ， ， ， ， 故答案为： 先根据矩形的性质和折叠可得，然后在中利用勾股定理求出DE和AE长，然后利用面积法求出DF长，再在直角三角形中利用勾股定理解题即可． 本题考查矩形与折叠，勾股定理，正确进行计算是解题关键， 18.【答案】8976  2175  【解析】解：由“二象限数”可知千位数字小于百位数字，十位数字大于个位数字， 即最大的“二象限数”千位数字为8，百位数字为9，十位数字为7，个位数字为6，即为8976； ， 又中的x为3， ，解得， ， ， 当时，， 当时，， 千位数字是2，百位数字为0或1，十位数字为9或8或7或6，个位数字为5， 故n的值为2095或2195或2085或2185或2175或2075或2165或2065， 的值为或或或或或或或， 当时，的值能被13整除，则均不合要求； 当时，的值能被13整除，则均不合要求； 当时，的值能被13整除，则，即n的值为2065； 当时，的值能被13整除，则，即n的值为2165； 当时，的值能被13整除，则均不合要求； 当时，的值能被13整除，则，即n的值为2075； 当时，的值能被13整除，则，即n的值为2175； 当时，的值能被13整除，则均不合要求； 的最大值为2175， 故答案为：8976； 根据“象限数”的定义即可求解；又根据第二象限的横坐标是正数，纵坐标是负数，“象限数”各个数位上的数字互不相同，而最大的正整数是9，最大的负整数是，可以得出最大的“二象限数”． 根据若中的x为3，可以得到，然后根据能被13整除，可得能被13整除，再根据n是“一象限数”得到千位数字是2，百位数字为0或1，十位数字为9或8或7或6，个位数字为5，即可求出的值，然后根据a的取值判断得到最大的数解题． 此题考查了代数式，因式分解的应用，解答本题的关键是根据题意能表示出“象限数”，以及整除的含义，以及熟悉平面直角坐标系的特征． 19.【答案】；     【解析】原式 ； 原式 先算二次根式的乘除，再算加减即可； 先根据平方差公式和二次根式的除法运算，然后加减解题即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键． 20.【答案】；    【解析】原式 ； 原式 先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项解题即可； 先把除法转化为乘法，然后把分子、分母因式分解约分解题即可． 本题考查整式的乘法运算、分式的混合运算，熟记整式和分式的运算法则是解题的关键． 21.【答案】；   点D的坐标为  【解析】由条件可得， 点， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， 直线的解析式为； 令，则，解得， 点A的坐标为， 由条件可得，即， 解得或， 又点D在线段AB上， ， 代入得，解得， 点D的坐标为 先求出C的坐标，然后根据待定系数法求一次函数解析式即可； 先求出点A的坐标，然后根据得到，求出，代入一次函数解析式即可解题． 本题考查了一次函数的图象性质、两条直线相交问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 22.【答案】见解析；   ，，，正方形．  【解析】解：AD的垂直平分线EF，垂足为点O，交AB于点E，交AC于点F，如图即为所求； 证明：垂直平分AD， ，，， ， ，AD为BC的中线， ， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形AEDF为菱形． 四边形AEDF为菱形，， 四边形AEDF为正方形．等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是正方形． 故答案为：，，，正方形． 根据尺规作图-作线段垂直平分线的作法解答即可； 利用垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，然后根据AAS证明≌，即可得到四条边都相等，证明结论即可． 本题考查垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握垂直平分线的性质是解答的关键． 23.【答案】A礼盒的单价为150元，B礼盒的单价为170元；   A礼盒售出10套，B礼盒售出5套．  【解析】设B礼盒的单价为x元，列方程为： ， 整理得，， 解得， 经检验：是原方程的解， 礼盒的单价为元， 答：A礼盒的单价为150元，B礼盒的单价为170元； 设B礼盒售出y套，则A礼盒售出套，列方程得： ， 解得， 礼盒的售出， 即A礼盒售出10套，B礼盒售出5套， 答：A礼盒售出10套，B礼盒售出5套． 设B礼盒的单价为x元，根据“A礼盒的单价比B礼盒的单价少20元，花2700元进购A礼盒的数量是花1020元进购B礼盒数量的3倍”列分式方程，求解并检验，即可获得答案； 设B礼盒售出y套，根据题意列一元一次方程并求解，即可获得答案． 本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 24.【答案】；   作图见解析，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大等答案不唯一；     【解析】动点P从点B出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点C运动，同时，动点Q从点B出发，沿折线以每秒1个单位速度向点A运动， 当时，点P在AB边，点Q在BC边上时， ，， ， 当时，点P、Q在AC边上时， ，， ， ； 函数的图象，如图1即为所求； 性质：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大等答案不唯一； 在同一平面直角坐标系中作的图象，如图2， 由图象可知当时，直线的图象与的函数图象有两个交点． 当时，点P在AB边，点Q在BC边上；当时，点P、Q在AC边上；列分段函数即可； 根据中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数的性质； 借助图象观察解决问题． 本题属于三角形综合题，主要考查动点的函数图象问题、等腰三角形的性质， 25.【答案】510米；   小明先到达游乐园大门E，理由见解析．  【解析】解：由题可知米，米，， 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：米， 答：售票处B与游乐园大门E之间的距离为510米； 小明先到达游乐园大门E，理由如下： 小明走过的路程为：米， 过点C作于点F，则AFDE是矩形， 米，， 米，， 米， 在直角三角形ACF中，由勾股定理得：米， 米，米， 小红走过的路程为：米米， 又两人速度相同， 小明先到达游乐园大门 直接利用勾股定理计算解题； 过点C作于点F，则AFDE是矩形，根据角的直角三角形的性质求出CF和AF长，然后分别计算两人的路程，进而根据路程比较大小，即可求解． 本题考查勾股定理的应用，含30度角的直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26.【答案】；  ；   点N的坐标为或或；理由见解答过程．  【解析】直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，得：， 解得：， ， 直线经过点A，与y轴交于点将点A的坐标代入得： ， 解得：， 直线AC的函数解析式为； 直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当时，得：， ， ， ， ， ， 设点E关于y轴的对称点为，则， 设点O关于直线AB的对称点为，如图2，连接，交直线AB于点D， ，， 由得：， ， ， ， ， ， ， 如图2，过点D作轴于点H， 则， 点D的横坐标为2， 将代入直线AB：，得： ， ， 点D是的中点，设， 则根据中点坐标公式可得：，， ，， ， 如图2，连接，，， 由轴对称的性质可得：，， ， 由两点之间线段最短可知，的最小值即为线段的长度， ，， ， 的最小值为； 点N的坐标为或或理由如下： 在直线中， 当时，得：， ， 点C关于x轴的对称点为点Q， ， ， 由得：， ， ， 在直角三角形AOQ中，由勾股定理得：， ， 如图3，取AQ的中点G，连接OG， ，G为斜边AQ的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， 沿AQ翻折得到， ，， ， 如图3，过点P作轴于点K，则，， ， ， 在直角三角形APK中，由勾股定理得：， ， ， 点P相当于点A向左平移2个单位，再向上平移个单位得到，在沿直线AC平移的过程中，点与点依然遵循点P与点A之间的这种相对位置关系， 设直线AQ的解析式为，将点A，点Q的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线AQ的解析式为， 如图4， 将沿直线AC平移， 设直线的解析式为， 设，则， 将的坐标代入直线的解析式，得： ， ， 直线的解析式为， 令，则， ， 在平移过程中直线与y轴交于点N，当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况讨论： ①当时， 则， 解得：， 点N的坐标为； ②当时， 则， 解得：， 点N的坐标为或； 综上所述，点N的坐标为或或 先求出直线AB与x轴的交点A的坐标，然后将点A坐标代入直线AC的函数解析式，即可求出k的值； 先求出直线AB与y轴的交点B的坐标，再根据求出点E坐标，设点E关于y轴的对称点为，则，设点O关于直线AB的对称点为，连接，交直线AB于点D，先求出点D的坐标，然后根据中点坐标公式求出的坐标，连接，，由轴对称的性质可知，由两点之间线段最短可知，的最小值即为线段的长度，然后根据两点之间的距离公式即可得解； 先求出直线AC与y轴的交点C的坐标，然后求出点C关于x轴的对称点Q的坐标，进而求出点O关于直线AQ的对称点P的坐标，于是得到点P与点点与点之间的相对位置关系，然后求出直线AQ的函数解析式，设，则，进而求出直线的函数解析式，然后求出直线与y轴的交点N的坐标，由于是以为腰的等腰三角形，因而分两种情况讨论：①当时；②当时；分别建立关于m的方程，解方程即可求出m的值，进而得出点N的坐标． 本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，轴对称-最短路线问题，坐标与图形变化-轴对称，坐标与图形变化-平移，勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形，等边对等角，等角对等边，三线合一，中点坐标公式，两点之间线段最短，三角形的内角和定理，已知两点坐标求两点距离，求一次函数解析式，求一次函数的函数值，利用平方根解方程，解二元一次方程组，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 27.【答案】；  ；理由见解答过程；   OE的长度为；理由见解答过程．  【解析】四边形ABCD是正方形， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ； ；理由如下： 过点F作交CA延长线于点M， ， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，，， ≌， ， 点P是FB中点， 的中点H， ， ，， ， ， ； 的长度为；理由如下： 当点E在点B上方时，如图： 在BD延长线上取点H，连接AH，使得，延长BA，在BA延长线上取点G，使得，连接FG，过点F作于点J， 四边形ABCD是正方形， ，，， ，， ， ， ≌， ，， ， ， 设，则， ， ，，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， ， ， ， 舍，， ； 如图4：当点E在点B下方时，构造上述辅助线， 同理设，则， ， ，，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，舍， ， 综上， 根据正方形得到，则，可得为等边三角形，则，由即可求解； 过点F作交CA延长线于点M，先证明≌，再证明≌，则，由三角形中位线定理得到，由勾股定理得，则，即可证明； 当点E在点B上方时，在BD延长线上取点H，连接AH，使得，延长BA，在BA延长线上取点G，使得，连接FG，过点F作于点J，证明≌，则，，设，则，，而，，，则，则，，在中，由勾股定理得：，则，整理得：，即可求解；当点E在点B下方时，构造上述辅助线，同理设，则，，，在中，由勾股定理得，即可求解． 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，难度较大，对计算能力要求很高，正确构造全等三角形是解题的关键． 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