3.3 整式的加减（小升初同步培优检测卷）暑假衔接优选题精练-2025-2026学年苏科版数学七年级上册

3.3 整式的加减 试题数量：28题 试题满分：100分 难度系数：0.45（难度较大） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（20-21七年级上·山东日照·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 3．（本题2分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，则经过2024次操作后得到的结果是（   ） A． B． C．5 D．11 4．（本题2分）（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（本题2分）（24-25七年级上·广东肇庆·期中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 6．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 7．（本题2分）（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 8．（本题2分）（23-24七年级上·北京海淀·期末）小明在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串：m，n，； 第2次操作后得到整式串：m，n，，； 第3次操作后…， 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小明将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．m C． D． 9．（本题2分）（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 10．（本题2分）（24-25七年级上·重庆丰都·期末）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，有依次排列的3个整式x，y，z，用任意两个整式的和减去剩下的整式，产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过实际操作，下列结论： ①第3次操作后，得到的整式串为，，； ②第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43； ③第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式x，y，z）的和为． 其中正确的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 12．（本题2分）（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简， ． 13．（本题2分）（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条，···，按此规律．当线段上有个点时，线段总共有 条 14．（本题2分）（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，摆第①个图形用3枚棋子，摆第②个图形用6枚棋子，摆第③个图形用9枚棋子，摆第④个图形用12枚棋子，按照此法摆下去，摆第n个图形用 枚棋子． 15．（本题2分）（24-25七年级上·重庆·期中）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 16．（本题2分）（24-25七年级上·贵州毕节·期末）观察算式，，，，，，照此规律，计算 ． 17．（本题2分）（24-25七年级上·广东广州·期中）二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 18．（本题2分）（24-25六年级上·山东泰安·期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 19．（本题2分）（24-25七年级上·贵州遵义·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 20．（本题2分）（24-25七年级上·山东济南·期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，，若，…，依此规律进行下去，得到一列数，…，，…（n为正整数），则 ． 三、解答题（共8小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·青海西宁·期中）（1）利用乘法分配律计算； （2）合并同类项：． 22．（本题6分）（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 23．（本题8分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 24．（本题8分）（22-23七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 25．（本题8分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4） 利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 26．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （5） 点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 27．（本题8分）（24-25七年级上·吉林长春·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是________． (2)①已知，则________． ②已知当时，代数式的值为5，求当时，则代数式的值为________； (3) 已知，，求代数式的值． 28．（本题8分）（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3 整式的加减 试题数量：28题 试题满分：100分 难度系数：0.45（难度较大） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（20-21七年级上·山东日照·期中）按一定规律排列的单项式：，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了单项式中的数字变化规律问题，先确定系数的变化规律：的序号数次方，再确定字母指数的变化规律：x的序号数次方，即可得出答案． 【规范解答】解：因为， 所以第n个单项式为． 故选：D． 2．（本题2分）（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）将（1）和（2）两张正方形纸片按图示两种方式放置在同一个长方形中．图（1）中阴影部分的周长和为，图（2）中阴影部分的周长和为，且，若，，则正方形①的边长为（   ）    A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查整式的加减，设，正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出图（1）中阴影部分的周长和m及图（2）中阴影部分的周长和n，根据题意列方程即可解决． 【规范解答】解：设，正方形①边长为a，正方形②边长为b， ∵， 则图（1）中阴影部分的周长和为 ， ∵， 图（2）中阴影部分的周长和为 ， ∵， ， 解得：， 则正方形①的边长为， 故选：B． 3．（本题2分）（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，则经过2024次操作后得到的结果是（   ） A． B． C．5 D．11 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值和探索规律，解题的关键是掌握绝对值，根据题意计算找出规律． 当时，代入，经过第1次操作后，得，经过第2次操作后，得，经过第3次操作后，得，经过第4次操作后，得，经过第5次操作后，得，经过第6次操作后，得，经过第7次操作后，得，根据规律即可得． 【规范解答】解：当时，代入， 经过第1次操作后，得， 经过第2次操作后，得， 经过第3次操作后，得， 经过第4次操作后，得， 经过第5次操作后，得， 经过第6次操作后，得， 经过第7次操作后，得， … 第2024次后，， 故选：A． 4．（本题2分）（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下列各组数相等的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘方和绝对值的意义，熟练掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数是解题的关键． 根据乘方的运算法则，绝对值的意义算出各自的结果，再比较即可得到答案， 【规范解答】解：A．，，所以，两个数值不相等，故本选项不符合题意； B．，，两个数值相等，故本选项符合题意； C．，与不相等，故本选项不符合题意； D．当时，，与a不相等，故本选项不符合题意；； 故选：B． 5．（本题2分）（24-25七年级上·广东肇庆·期中）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）…；（2），，…． 利用以上规律计算：等于（    ） A． B． C．2022 D．2023 【答案】D 【思路引导】本题考查数字类规律探究，由已知等式得到，，进行求解即可，解题的关键是得到相应的规律． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴； 故选D． 6．（本题2分）（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 【答案】C 【思路引导】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 7．（本题2分）（24-25七年级上·北京·期中）若，且，以下结论：①；②；③；④的所有可能取值为和；其中正确结论是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的加法法则、绝对值的性质、有理数的乘方，根据几个不相等的数的和为可知正确，根据任何数的平方都是非负数可知故正确，根据绝对值的性质可以判断错误． 【规范解答】解：，且， 有可能，， 故正确； ， ， ， ， 故正确； ，且， 当、时， ， 当、时， ， 的值只能为， 故错误． 故正确结论是． 故选：C． 8．（本题2分）（23-24七年级上·北京海淀·期末）小明在一本数学书中看到了这样一个探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作： 第1次操作后得到整式串：m，n，； 第2次操作后得到整式串：m，n，，； 第3次操作后…， 其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小明将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串各项之和是（   ） A． B．m C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：，2024次后出现2026个整式，结合，从而可以得解． 【规范解答】解：第1次操作后得到的整式串：m，n，； 第2次操作后得到的整式串m，n，，； 第3次操作后得到的整式串m，n，，，； 第4次操作后得到的整式串m，n，，，，； 第5次操作后得到的整式串m，n，，，，，m； 第6次操作后得到的整式串m，n，，，，，m，n； 第7次操作后得到的整式串m，n，，，，，m，n，； …… 第2024次操作后得到的整式串m，n，，，，，……m，n，，；共2026个整式； 归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为： ， ∵ 第2024次操作后得到的整式中，求最后四项之和即可． ∴这个和为． 故选：A． 9．（本题2分）（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【思路引导】本题以数轴的形式考查了行程问题，分类讨论思想，根据题意得到的值，分类进行讨论即可，正确根据不同情况得到不同的式子是解题的关键． 【规范解答】解：，且， 点、表示的数分别为，10， 根据题意得，，， 长分两种情况： ①当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， 故答案为：D． 10．（本题2分）（24-25七年级上·重庆丰都·期末）简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，有依次排列的3个整式x，y，z，用任意两个整式的和减去剩下的整式，产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推，通过实际操作，下列结论： ①第3次操作后，得到的整式串为，，； ②第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43； ③第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式x，y，z）的和为． 其中正确的个数有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题考查了整式类规律探索、整式的加减的的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出第次操作后，得到的整式串，再归纳类推出一般规律，逐个判断即可得． 【规范解答】解：由题意得：第1次操作后，得到的整式串为，，， ∵， ， ， ∴第2次操作后，得到的整式串为，，， ∵， ， ， ∴第3次操作后，得到的整式串为，，，结论①正确； ∵， ， ， ∴第4次操作后，得到的整式串为，，， 归纳类推得：每次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都相同，每个多项式的各项系数之和都等于1，而且有两项的系数相等，其中，不相等的系数依次为， 则第次操作后，得到的整式串中，不相等的系数为（其中为正整数）， ∵，， ∴第6次操作后，得到的整式串中，三个多项式的各项系数都是，，43，结论②正确； 第1次操作后，得到的整式串的和为， 第2次操作后，得到的整式串的和为， 第3次操作后，得到的整式串的和为， 归纳类推得：每次操作后，得到的整式串的和都是， 则第2025次操作后，所有整式（包含前3个整式）的和为，结论③正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：D． 二、填空题（共10小题，每题2分，共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了数轴与绝对值的综合，解题的关键是掌握绝对值的性质和数轴的性质．结合数轴可知，得到，进而即可得出答案． 【规范解答】解：根据数轴可得， ， ， 故答案为：． 12．（本题2分）（23-24七年级上·贵州贵阳·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简， ． 【答案】 【思路引导】本题考查图形的变化规律，根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【规范解答】解：由题意可知，， ， ， …， ， 所以，， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，线段上的点数与线段的总数有如下关系：当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条；当线段上有个点时，线段总共有条，···，按此规律．当线段上有个点时，线段总共有 条 【答案】 【思路引导】本题考查线段条数计算和规律性探索，解答关键是辨别线段数目增长的规律． 根据给出的条件进行观察找出规律：当有个点时，线段总共有条，代入，即可求解． 【规范解答】解：∵当线段上有个点时，线段总共有条； 当线段上有个点时，线段总共有条； 当线段上有个点时，线段总共有条， ···，按此规律． ∴当线段上有个点时，线段总共有条， ∴当线段上有个点时，线段总共有条， 故答案为：条． 14．（本题2分）（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，摆第①个图形用3枚棋子，摆第②个图形用6枚棋子，摆第③个图形用9枚棋子，摆第④个图形用12枚棋子，按照此法摆下去，摆第n个图形用 枚棋子． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【规范解答】解：根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数（个）， 第2个图案中棋子的个数（个），… 第n个图案中棋子的个数为（个）． 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25七年级上·重庆·期中）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 【答案】 116 531 【思路引导】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．按照的定义计算即可；设，则，由题可得，由能被4整除，即是4的整数倍，得到，b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【规范解答】解：； 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被4整除， ∴是4的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：116；531． 16．（本题2分）（24-25七年级上·贵州毕节·期末）观察算式，，，，，，照此规律，计算 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数字类变化规律，由已知等式可得，据此解答即可求解，由已知等式找到规律是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴ ， 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25七年级上·广东广州·期中）二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 【答案】5 【思路引导】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得，再归纳类推出的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数），然后求出的个位数字，由此即可得． 【规范解答】解：由题意得： ， ∵，，，，，， ∴的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数）， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即为6， ∴的个位数字为， 即把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5， 故答案为：5． 18．（本题2分）（24-25六年级上·山东泰安·期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出，则，再代值计算即可． 【规范解答】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入得： ， ， ， 故答案为：． 19．（本题2分）（24-25七年级上·贵州遵义·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10…称为三角形数，第二行的1，4，9，16…称为正方形数，第三行的1，5，12，22…称为五边形数．请你计算三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是 ． 【答案】621 【思路引导】本题主要考查了“三角形数”与“正方形数”，解决问题的关键是探究“三角形数”与“正方形数”的规律，运用规律求数．分别探究“三角形数”与“正方形数”的存在规律，求出第3个“三角形数”与第5个“正方形数”， 第20个“五边形数”，再求第5个“三角形数”与第5个“正方形数”，第20个“五边形数”的和． 【规范解答】解：第1个“三角形数”：1， 第2个“三角形数”：， 第3个“三角形数”：， …… 第个“三角形数”为； 第1个“正方形数”：1， 第2个“正方形数”：， 第3个“正方形数”：， 第4个“正方形数”：， 第5个“正方形数”：， 第n个“正方形数”为； 第1个“五方形数”：1， 第2个“五方形数”：， 第3个“五方形数”： ， 第4个“五方形数”：， 第5个“五方形数”：， 第n个“五方形数”为， ； 当时，第20个“五方形数”为； ∴三角形数的第3个数字、正方形数的第5个数字和五边形数的第20个数字之和是． 故答案为：． 20．（本题2分）（24-25七年级上·山东济南·期末）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则．例如，，若，…，依此规律进行下去，得到一列数，…，，…（n为正整数），则 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了规律型——数字的变化类问题，解题的关键是寻找规律，利用规律解决问题. 按照规定：若a为奇数，则；若a为偶数，则，直接运算得出前面几个数，进一步找出规律解决问题． 【规范解答】解：∵， ∴，，，，…， ∴这列数从开始按4，2，1循环， ∵， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（共8小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·青海西宁·期中）（1）利用乘法分配律计算； （2）合并同类项：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查有理数的乘除混合运算，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先将除法变为乘法，再根据乘法分配律，即可解答． （2）先找到同类项，再合并同类项，即可解答． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 22．（本题6分）（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为了方便学生停放自行车，学校建了一块长边靠墙的长方形停车场，其他三面用护栏围起，其中停车场的长为米，宽为米． (1)用含的代数式表示护栏的总长度． (2)若，每米护栏造价90元，求建此停车场所需护栏的费用． 【答案】(1)米 (2)5580元 【思路引导】本题主要考查了列代数式，代数式求值，整式加减运算的应用；解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的周长公式，整式加减运算法则． （1）先求出停车场的宽，然后再求出护栏的长度即可； （2）把，代入求值即可． 【规范解答】（1）解： 米， 即护栏的总长度为米； （2）解：当时， 元， 建此停车场所需护栏的费用为5580元． 23．（本题8分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)不变，值为，理由见解析． 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值非负性，整式的加减，有理数的分类，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，，又是最小的正整数，则，从而求解； （）根据折叠的性质进行解答即可得； （）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕与数轴的交点所表示的数为，点与数对应的点重合， 故答案为：，； （3）解：不变，值为， 由题意可得秒钟后点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴． 24．（本题8分）（22-23七年级上·河北邯郸·期中）新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【答案】(1) (2)①；②3 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及代数式求值，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可求解； （2）①根据定义，求得；②根据定义求得，再根据题意取的最小值，代入代数式求值即可求解． 【规范解答】（1）解：，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． 故答案为： （2）解：①∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ②∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ∴， ∵ m，n均为不大于9的正整数，根据“互异数”的定义可得， 所以当时，最小，最小值为． 25．（本题8分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践：【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．数学活动课上，王老师出示了一个问题：点、在数轴上分别表示有理数、，则在数轴上、两点之间的距离为．如：表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和7两点之间的距离是______；数轴上表示2和的两点之间的距离是______； 【解决问题】： （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为______． （3）试用数轴探究：当时的值为______． 【实践探究】利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值为______，并写出此时可取的整数值为______． 【答案】（1），（2）（3）或（4）， 【思路引导】（）用大数减小数便可求得两点的距离； （）根据定义用代数式表示即可； （）根据绝对值的意义解答便可； （）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【规范解答】解：（），， ∴数轴上表示2和7两点之间的距离是5；数轴上表示2和的两点之间的距离是3； 故答案为：，； （）依题意，数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （）依题意，：数轴上表示和的两点之间的距离为， 当数在数的左边时，则，故； 当数在数的右边时，则，故； 故答案为：或； （）依题意，由式子表示到与到的距离之和， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴最小值为， ∴可取的整数有． 故答案为：， 26．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是2，点表示的数是，则点与点之间的距离________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点与点之间的距离为5，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点、、是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是1，点表示的数是8，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【思路引导】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 27．（本题8分）（24-25七年级上·吉林长春·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是________． (2)①已知，则________． ②已知当时，代数式的值为5，求当时，则代数式的值为________； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①2026；②2 (3) 【思路引导】本题考查了整式的运算，整体代入是解答本题的关键． （1）把看成一个整体，提取公因式进行化简即可； （2）①将式子化为，然后代入求解即可；②先将代入代数式求出，再将代入代数式化为然后代入求解即可； （3）将代数式化为代入求解即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）①， ， 故答案为：2026； ②时， ， ， 当时， ， 故答案为：2； （3），， ． 28．（本题8分）（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2)7；7； (3)或 【思路引导】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，首先求得当F点与G点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴； 故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是； 故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得， 分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 【考点剖析】本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$