3.3 整式的加减（知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版新教材数学七年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第3章《代数式》】 3.3 整式的加减 （知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：同类项的判断 2 考点讲练2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 3 考点讲练3：合并同类项 4 考点讲练4：去括号 5 考点讲练5：添括号 6 考点讲练6：整式的加减运算 7 考点讲练7：整式加减的应用 8 考点讲练8：整式的加减中的化简求值 10 考点讲练9：整式加减中的无关型问题 11 中等题真题汇编练 12 培优题真题汇编练 14 新知精讲梳理 1．同类项：所含 相同，并且 也相同的项叫做同类项．所有的 都是同类项． 知识要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含 相同；② 相同； （2）“两无关”是指：①与 无关；②与 无关． 2．合并同类项：把 ，叫做合并同类项． 知识要点：合并同类项时，只是 相加减，所得结果作为系数， 保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都 ；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要 ． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都 ；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要 ． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用 连接，然后 高频易错知识点拨 易错知识点01：合并同类项时的错误 学生可能未能正确识别同类项，导致未能合并或错误地合并了项。同类项是指含有完全相同字母部分（包括字母和指数）的项。 易错知识点02：去括号时的符号错误 在去括号过程中，学生可能忘记根据括号前的符号来改变括号内各项的符号，这是一个常见的错误。 易错知识点03：遗漏或错误处理系数 在处理整式的加减时，学生可能会遗漏某些项的系数，或将系数错误地分配给其他项。 易错知识点04：对多项式次数的误解 学生可能对多项式的次数有误解，误认为是所有字母指数的和，而实际上多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数。 易错知识点05：运算顺序的混乱 在进行整式的加减运算时，学生可能未能遵循正确的运算顺序，如先去括号再合并同类项，导致运算结果错误。 考点讲练1：同类项的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【举一反三练2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法正确的个数是（　　） ①是相反数；②与不是同类项；③若，则； ④单项式的系数是，次数是4；⑤是一元一次方程． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【举一反三练3】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①是方程； ②与是同类项； ③单项式的系数是，次数是4； ④一个有理数不是整数就是分数； ⑤关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数． A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 考点讲练2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【举一反三练1】（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）若与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2017 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）解答下列问题： (1)已知与是同类项，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【举一反三练3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：和是同类项，求关于的方程的解． 考点讲练3：合并同类项 【精讲题】（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·课后作业）合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 考点讲练4：去括号 【精讲题】（2024七年级上·江苏·专题练习）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·期末）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·山西大同·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ①老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是 ； ②请直接写出正确的化简结果． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江台州·期中）化简： (1) ． (2)． 考点讲练5：添括号 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列多项式变形，正确的有（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 考点讲练6：整式的加减运算 【精讲题】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算． (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山西大同·期中）小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 考点讲练7：整式加减的应用 【精讲题】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【举一反三练1】（23-24七年级下·重庆渝北·开学考试）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建三明·期中）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形． （2）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （3）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，请画出长方形及剪裁线的示意图，并写这个长方形是几阶方形． 【举一反三练3】（23-24七年级上·山西大同·期中）今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 考点讲练8：整式的加减中的化简求值 【精讲题】（22-23七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1) ，其中； (2) ，其中， 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西防城港·期中）设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【举一反三练3】（2024七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中x，y满足． 考点讲练9：整式加减中的无关型问题 【精讲题】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（    ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三练1】（22-23七年级上·山西吕梁·期末）（1）先化简，再求值：，其中，，． （2）已知，，若中不含一次项和常数项，求的值． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x、y的多项式的值与x取值无关，求的值． 【举一反三练3】（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式：，其中、为常数，且表示为系数，然后让同学们给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是　 　，　　； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）大、小两个长方形如图所示，大长方形的周长比小长方形的周长多（        ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则 ． 6．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图所示，化简 ． 7．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）化简并求值：，其中x、y取值的位置如图所示． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？ (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2018吗？ 能为2025吗？ 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解答下列各题： (1)求单项式，，，的和； (2)求与的和； (3)求与的差． 培优题真题汇编练 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）若，则代数式的值为 ． （2）已知的值为5，则的值为 ． （3）若代数式的值是2，则代数式的值等于 ． 13．（23-24七年级下·北京东城·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 14．（22-23七年级下·重庆·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 15．（22-23七年级下·山东青岛·期中）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 17．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）两堆煤同样多，且都大于1吨，从第一堆中运，从第二堆中运吨，余下的煤（    ） A．第一堆多 B．第二堆多 C．同样多 D．以上都有可能 18．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 19．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 22．（24-25七年级上·全国·单元测试）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．例如， (1)计算：； (2)化简： 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ； (3)若数列，，，，，是理想数列，且，求代数式的值． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)已知，求的值． 25．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 26．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学七年级上册同步培优核心考点讲练●新教材【第3章《代数式》】 3.3 整式的加减 （知识精讲+易错点拨+9个考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：同类项的判断 2 考点讲练2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 5 考点讲练3：合并同类项 7 考点讲练4：去括号 10 考点讲练5：添括号 13 考点讲练6：整式的加减运算 15 考点讲练7：整式加减的应用 18 考点讲练8：整式的加减中的化简求值 22 考点讲练9：整式加减中的无关型问题 25 中等题真题汇编练 29 培优题真题汇编练 36 新知精讲梳理 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项． 知识要点：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 知识要点：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项． 高频易错知识点拨 易错知识点01：合并同类项时的错误 学生可能未能正确识别同类项，导致未能合并或错误地合并了项。同类项是指含有完全相同字母部分（包括字母和指数）的项。 易错知识点02：去括号时的符号错误 在去括号过程中，学生可能忘记根据括号前的符号来改变括号内各项的符号，这是一个常见的错误。 易错知识点03：遗漏或错误处理系数 在处理整式的加减时，学生可能会遗漏某些项的系数，或将系数错误地分配给其他项。 易错知识点04：对多项式次数的误解 学生可能对多项式的次数有误解，误认为是所有字母指数的和，而实际上多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数。 易错知识点05：运算顺序的混乱 在进行整式的加减运算时，学生可能未能遵循正确的运算顺序，如先去括号再合并同类项，导致运算结果错误。 考点讲练1：同类项的判断 【精讲题】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【规范解答】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、 与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念，根据有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念逐项判断即可求解，掌握有理数的分类、绝对值的意义及整式的有关概念是解题的关键． 【规范解答】解：①有理数分为正整数、负整数、、正分数、负分数，该选项错误，不合题意； 如果 ，那么，该选项错误，不合题意； ③是六次单项式，该选项错误，不合题意； ④是四次二项次，该选项错误，不合题意； ⑤是多项式，该选项错误，不合题意； ⑥与是同类项，该选项正确，符合题意； ∴正确的只有个， 故选：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法正确的个数是（　　） ①是相反数；②与不是同类项；③若，则； ④单项式的系数是，次数是4；⑤是一元一次方程． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相反数、同类项的定义、绝对值的定义，单项式的有关概念、一元一次方程的定义，根据各定义逐个判断即可． 【规范解答】解：①是的相反数，错误； ②与是同类项，错误； ③若，则，错误； ④单项式的系数是，次数是4，正确； ⑤化简后为是一元一次方程，正确． 正确的为④⑤，共2个． 故选：C． 【举一反三练3】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列说法正确的个数是（    ） ①是方程； ②与是同类项； ③单项式的系数是，次数是4； ④一个有理数不是整数就是分数； ⑤关于x的方程是一元一次方程，则k为任意实数． A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 【答案】C 【思路点拨】根据方程的定义、同类项的定义、单项式的相关概念，有理数的分类、一元一次方程的定义进行判断即可． 【规范解答】解：①是方程，原说法正确； ②与不是同类项，原说法错误； ③单项式的系数是，次数是4，原说法正确； ④一个有理数不是整数就是分数，原说法正确； ⑤关于的方程是一元一次方程，则，原说法错误； 综上，正确的有①③④，共3个， 故选：C． 【考点评析】本题考查了方程的定义、同类项的定义、单项式的相关概念，有理数的分类、一元一次方程的定义，熟练掌握基本概念是解题的关键． 考点讲练2：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【精讲题】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，和是同类项，则的值是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查非负数的性质，同类项，掌握绝对值有非负性、偶次方的非负性、同类项的定义是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值有非负性，偶次方的非负性，求出a、b的值，再根据所含字母相同，相同字母的指数相同的项叫同类项求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ ∵和是同类项， ∴，， ∴． 故选：D． 【举一反三练1】（22-23七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）若与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2017 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查同类项的定义，代数式求值，根据同类项的定义求出a，b的值， 然后代入代数式求值即可 【规范解答】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【举一反三练2】（23-24七年级上·贵州毕节·期末）解答下列问题： (1)已知与是同类项，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】（）利用同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解； （）先化简整式，再把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了同类项的定义，代数式求值，整式的加减化简求值，掌握同类项的定义及整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵与是同类项， ∴，， ∴， ∴； （2）解：原式 ， ， 当时， 原式， ， ． 【举一反三练3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：和是同类项，求关于的方程的解． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了同类项的定义、解一元一次方程，正确确定的值是解题关键．根据同类项的定义确定的值，然后解方程即可． 【规范解答】解：∵和是同类项， ∴，， 解得，， ∴关于的方程为， 解得， 即关于的方程的解为． 考点讲练3：合并同类项 【精讲题】（2024·重庆渝北·二模）已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以，故④错误． 故选B． 【举一反三练1】（23-24七年级上·全国·课后作业）合并同类项的结果为（    ） A．0 B． C．m D．无法确定 【答案】B 【思路点拨】与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506对，计算即可得到结果． 【规范解答】解： ， 故选B． 【考点评析】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 【举一反三练2】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【思路点拨】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【规范解答】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川宜宾·期末）化简下列式子： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主经考查了整式的加减．熟练掌握去括号，合并同类项，符号的变化，运算顺序，是解决问题的关键． （1）把同类项合并即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【规范解答】（1） ． （2） ． 考点讲练4：去括号 【精讲题】（2024七年级上·江苏·专题练习）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 【举一反三练1】（23-24七年级上·安徽·期末）下列式子变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了合并同类项，去括号法则，掌握合并同类项是解题的关键． 根据合并同类项以及去括号法则的运算进行判断即可； 【规范解答】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C 【举一反三练2】（23-24七年级上·山西大同·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）小辉同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 计算：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ①老师说小辉同学的解法是错误的，则他从第______步开始出错，错误的原因是 ； ②请直接写出正确的化简结果． 【答案】（1）；；（2）①二，括号外面是“—”号，去括号后，括号内第三项符号未改变；② 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）根据整式加减运算的步骤逐步判定和计算即可解答． 【规范解答】解：       ,                          当时，． 解：（2）①二，括号外面是“-”号，去括号后，括号内第三项符号未改变 ②． ． 【举一反三练3】（22-23七年级上·浙江台州·期中）化简： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算，掌握去括号法则成为解题的关键． （1）先去括号、然后再合并同类项即可； （2）先去括号、然后再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点讲练5：添括号 【精讲题】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值． 【规范解答】解： ， 把，代入， 则： ， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）下列多项式变形，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【思路点拨】本题考查了添括号和去括号； 根据添括号和去括号的法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A.，原式错误； B.，变形正确； C.，变形正确； D.，原式错误； 故选：BC． 【举一反三练2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）下列代数式添括号正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了添括号，根据添括号法则：若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号；进行运算即可判断求解，掌握添括号法则是解题的关键． 【规范解答】解：A、，故该选项错误，不合题意； B、，故该选项错误，不合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不合题意； 故选：C． 【举一反三练3】（23-24七年级上·四川眉山·期中）阅读材料： 已知代数式，求的值． 解：由， 得， 即， 因此，所以． 根据以上材料，解答下列题目： 已知代数式，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题考查代数式求值．利用整体代入法求值，是解题的关键． 【规范解答】解：由， 得：， 即：， 因此， 所以． 考点讲练6：整式的加减运算 【精讲题】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【思路点拨】本题考查有理数混合运算，合并同类项，熟练掌握有理数混合运算和合并同类项法则是解题的关键． （1）先化简，再用有理数加减法法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可； （3）先运用乘法分配律计算，再计算加减即可； （4）运用合并 同类项法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【举一反三练1】（23-24七年级上·山西大同·期中）小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【规范解答】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知：，． (1)化简：； (2)若，，求的值； 【答案】(1)； (2)54 【思路点拨】本题考查整式的加减运算，代数式求值： （1）根据整式的加减运算法则，进行计算即可； （2）把，，代入（1）中结果进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）当，时，上式， 的值为54． 【举一反三练3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 嘉琪采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，求代数式的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【思路点拨】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可得、，然后把可得化成，然后整体代入计算即可． 【规范解答】解：（1）由可得， 则． 故答案为：1； （2）由可得， 则； （3）由、可得、， 则． 考点讲练7：整式加减的应用 【精讲题】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图2，3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．设图2中阴影部分图形的周长为，图3中两个阴影部分图形的周长的和为， (1)用含m，n的式子表示图2阴影部分的周长 (2)若，求m，n满足的关系？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查整式加减的应用： （1）观察图形，可知，阴影部分的周长等于长方形的周长，计算即可； （2）设小卡片的宽为x，长为y，则有，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解，根据，即可求m、n的关系式． 【规范解答】（1）解：由图可知，阴影部分的周长等于长方形的周长， 故； （2）设小长形卡片的宽为x，长为y，则， ∴， 所以两个阴影部分图形的周长的和为： ， 即为 ∵， ∴ 整理得：． 【举一反三练1】（23-24七年级下·重庆渝北·开学考试）把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分周长的和是 ．（用含x或y的代数式来表示） 【答案】4x 【思路点拨】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意，列式计算即可． 本题考查了列代数式，正确列出代数式是解题的关键． 【规范解答】设小长方形的长为a，宽为b，根据题意得：阴影部分周长和为： ， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级上·福建三明·期中）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依此类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形．如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是______阶方形． （2）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【拓展】 （3）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，请画出长方形及剪裁线的示意图，并写这个长方形是几阶方形． 【答案】（1）2；（2）见详解；（3）作图见详解，是5阶方形 【思路点拨】本题考查了四边形的阅读理解题，考查了学生的阅读理解能力；给出一个新的定义，按此定义理解并解决问题，这类题的关键是找重点语句：依次找最大正方形，且最后余下的也是一个正方形；有个正方形，就是阶方形；运用了数形结合的思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化． （1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形； （2）有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； （3）先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以矩形是5阶方形． 【规范解答】解：（1）由图3可知，邻边为1和的长方形经过两次操作剩下边长为的正方形，故为2阶方形， 故答案为：2； （2）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： （3），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为5阶方形． 【举一反三练3】（23-24七年级上·山西大同·期中）今有某登山队在一次登山活动中，以大本营为基地，开始向海拔距大本营300米的顶峰冲刺，规定他们向上走为正，他们的六次行程记录如下（行程单位：米）： (1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？ (2)登山时，登山队员在登山全程中都使用了氧气瓶，且每人向下行走每米要消耗氧气升，向上行走每米还要多消耗升，请你计算一下登山过程中每人消耗氧气多少升？（用含的代数式表示） 【答案】(1)没有登上顶峰，40米； (2)升． 【思路点拨】本题主要考查了有理数加法的应用、有理数混合运算的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先将行程相加再结合题意即可解答； （2）将向上和向下消耗的氧气相加即可． 【规范解答】（1）解： （米） （米） ． 答：他们最终没有登上顶峰，他们离顶峰还差40米. （2）解： ． 答：登山过程中每人消耗氧气升． 考点讲练8：整式的加减中的化简求值 【精讲题】（22-23七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)， (2)，45 【思路点拨】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值； （2）原式去括号合并得到最简结果，把，的值代入计算即可求出值． 【规范解答】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）原式 ， 当，时，原式． 【举一反三练1】（22-23七年级上·广西防城港·期中）设． (1)当时，求的值； (2)若，则________． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】（1）原式去括号合并同类项得到最简结果，把x、y的值代入计算即可求出值． （2）根据化简的结果整体代入即可 此题考查了整式的加减-化简求值，以及整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 【规范解答】（1） 当时，原式； （2）由，得到 【举一反三练2】（24-25七年级上·全国·单元测试）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，准确应用去括号法则、合并同类项法则，代入数值准确计算是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可； （2）先去括号，再合并同类项，最后再求值即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式 ； （2）解： ， 当，时，原式 ． 【举一反三练3】（2024七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【思路点拨】此题主要是考查了整式的化简求值，实数的非负性．先将原式去括号，合并同类项，再利用实数的非负性得出x，y的值，代入原式可得结果． 【规范解答】解： ． ∵， ∴，， ∴． ∴原式 ． 考点讲练9：整式加减中的无关型问题 【精讲题】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（    ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念． 代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到、的值，即可判断②；代入多项式列绝对值方程求解即可判断③；代入多项式，得到，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断④． 【规范解答】解：，， ①， ， ， 或，①错误； ② ， 的值与x的值无关， 的值与x的值无关， ，， ，， ，②正确； ③ ，， 当时，， 当时，， 当时，， 若，即， 当时，满足条件，③正确； ④， ， ， 若关于x的方程的解为整数，则符合条件的非负整数m有1、2、3，共3个，④正确， 故结论中正确的是②③④， 故选：C． 【举一反三练1】（22-23七年级上·山西吕梁·期末）（1）先化简，再求值：，其中，，． （2）已知，，若中不含一次项和常数项，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先根据整式的加减计算法则求出的结果，再根据中不含一次项和常数项，即一次项系数和常数项都为0求出m、n的值，再把所求式子去括号，并合并同类项化简，最后代值计算即可． 【规范解答】解：（1） ， 当，，时，原式； （2）∵， ∴ ， ∵中不含一次项和常数项， ∴， ∴， ∴ ． 【举一反三练2】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于x、y的多项式的值与x取值无关，求的值． 【答案】， 【思路点拨】此题考查了整式加减中无关型问题，整式的化简求值，正确理解无关型问题的解题方法是解题的关键． 根据整式加减运算法则计算，然后根据取值与x取值无关得含x系数为0求得a、的值，再化简要求的代数式并代入计算即可． 【规范解答】解： ， 由结果与字母x的取值无关， 得到， 解得：， ， 把代入得：． 【举一反三练3】（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式：，其中、为常数，且表示为系数，然后让同学们给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是　 　，　　； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 【答案】(1)4，2 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 先算出整式的结果． （1）根据甲同学的计算结果，算出、的值即可； （2）根据，，代入化简整式即可； （3）根绝最后的结果与取值无关，计算出最后的结果． 【规范解答】（1）解： ． 甲计算的结果为， ，． ，． 故答案为：4，2； （2）解：乙同学给出了，， 计算结果为 ． （3）解：丙同学计算的最后结果与的取值无关， ，． ，． 当，时，丙同学的计算结果． 中等题真题汇编练 1．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）大、小两个长方形如图所示，大长方形的周长比小长方形的周长多（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式加减的应用，用大长方形的周长减去小长方形的周长即可求解． 【规范解答】解： 故选C． 2．（23-24七年级上·江西赣州·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了合并同类项，熟练运用合并同类项的法则是解题关键． 利用合并同类项的法则判断即可． 【规范解答】解：A、，故选项计算错误， B、，正确； C、，不是同类项，不能合并； D、，不是同类项，不能合并； 故选：B 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）下列各式运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则． 根据合并同类项法则逐项计算判定即可． 【规范解答】解：A、3与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2024七年级上·浙江·专题练习）如果，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的乘方，有理数的混合运算，求代数式的值，分别求出、、并代入计算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ， ∴， ∴的值为． 故选：A． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d（，，且a，b，c，d均为整数），如果，那么我们把这个四位正整数叫作“等和数”，例如四位正整数2947，因为，所以2 947叫作“等和数”，已知m是一个“等和数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则 ． 【答案】8365 【思路点拨】因为设这个四位数千位上的数为，十位上的数为，所以根据“等和数”，列出算式，把用表示出来，用含有的式子表示出，再根据能被7整除，列出关于的方程，进行解答即可．本题主要考查了整式的加减混合运算，解题关键是理解题意，列出算式，理解新定义的含义． 【规范解答】解： 由题可得，设这个四位数的十位数为，千位数为，且，， 四位正整数是“等和数”， ， 则， ， 即， 这个四位数为： ， ，， ， 这个“等和数”能被7整除，即这个四位数是7的倍数， 必须是7的倍数， 且为正整数， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，这个“等和数”为：8365． 故答案为：8365． 6．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）如图所示，化简 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查化简绝对值，整式的加减运算，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，然后化简绝对值即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式； 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用n表示六边形一边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，请写出m和n满足的关系式是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小圆圈的变化规律，利用数形结合的思想解答． 观察每个图形的特点，得到第一个图形有1个小圆圈，第二个图形有个小圆圈，第三个图形有个小圆圈，第四个图形有个小圆圈，进而得到图形的规律求解即可． 【规范解答】解：观察每个图形可得， 第一个图形有1个小圆圈， 第二个图形有个小圆圈， 第三个图形有个小圆圈， 第四个图形有个小圆圈， … 列表如下： 边上的小圆圈数 1 2 3 4 5 总数 1 7 19 37 61 ∴m和n之间的关系式为： ， 首位相加得：， ∴， 故答案为： 8．（2024七年级上·全国·专题练习）化简并求值：，其中x、y取值的位置如图所示． 【答案】；13 【思路点拨】根据整式的加减法法则、去括号法则把原式化简，根据数轴确定x、y的值，代入计算即可． 【规范解答】解： ， 由数轴可知：，， 则原式． 9．（23-24七年级上·江西赣州·期末）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【规范解答】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字框中五个数之和？ (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2018吗？ 能为2025吗？ 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍 (2) (3)这五个数之和还是中间数的5倍 (4)十字框中五个数之和不能为2018，十字框中五个数之和能为2025 【思路点拨】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （4）用2018除以5，得2018不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2018，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【规范解答】（1）解：， 则十字框中的五个数之和与中间数15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍. （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ， 因为是小数， 所以十字框中五个数之和不能为2018， ， 因为405是整数，且405在第三列， 所以十字框中五个数之和能为2025． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）解答下列各题： (1)求单项式，，，的和； (2)求与的和； (3)求与的差． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． （1）列出关系式，合并同类项即可得到结果； （2）列出关系式，合并同类项即可得到结果； （3）列出关系式，去括号、合并同类项即可得到结果． 【规范解答】（1）解： （2） （3） 培优题真题汇编练 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1）若，则代数式的值为 ． （2）已知的值为5，则的值为 ． （3）若代数式的值是2，则代数式的值等于 ． 【答案】 5 【思路点拨】本题考查了整式的加减的化简求值，熟练掌握去括号合并与合并同类项法则是解本题的关键： （1）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值； （2）由，得到，原式变形后代入计算即可求出值； （3）原式去括号合并变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：（1）∵， ∴原式 ； 故答案为：5； （2）∵， ∴， ∴原式 ； 故答案为：； （3）∵， ∴原式 ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·北京东城·期末）对于整式：、、、，在每个式子前添加“”或“”号，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为．例如：，当时，；当时，． （1）若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数 ； （2）若一种“全绝对”操作的化简结果为（为常数），则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果是解题的关键．（1）根据题意，找出一种“全绝对”操作使操作后化简结果为常数即可求解；（2），凑“全绝对”操作后得到或，去掉绝对值变成的形式求得的取值范围． 【规范解答】解：（1）使操作后化简的结果为常数，即使的系数为， 有， 此常数为， 故答案为：； （2）（为常数）， ， ， 当，时，， 当，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·重庆·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1） ； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为 ． 【答案】 59 3168，8514 【思路点拨】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且均不为0，找到符合条件的、的值，即可获得答案． 【规范解答】解：（1）中，，是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，， ∴ ， ∵为9的倍数，且均不为0， 又∵，在中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623（N为偶数，故舍去）； 当时，满足条件，此时为8514． 综上所述，为3168，8514． 故答案为：3168，8514． 15．（22-23七年级下·山东青岛·期中）小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是．为了探究明白，她又把代入，结果还是．则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m． 【规范解答】解： ， 所以这个结果与n的取值无关，是25， ∵， ∴； 故答案为：． 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）有一行数，，，，现将任意相邻的两个数用左边的数减去右边的数，所得的差写在这两个数中间，得一行新数，，，，，，，称为第一次操作，再做第二次操作……，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ，经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了规律探索；根据所给计算方式炸出规律是解题的关键． 分别计算第一次操作所得数的和、第二次操作所得数的和；找出规律即可求解． 【规范解答】解：由题可得：原来这行数的和为：； 令原来四个数分别为，，，， 原来这行数的和为：； 第一次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第一次操作所得数的和为原来这数行的和加上首数与尾数的差， ∴第一次操作所得数的和为：； 令第一次操作所得数为：，，，，，，， 第一次操作所得数的和为：， 则第二次操作所得数的和为：， 整理为：； 即第二次操作所得数的和为第一次操作所得数的和加上首数与尾数的差， 所以第二次操作所得数的和为：； …， 所以第次操作所得数的和为：； 当时，； 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为； 当时，， 即经过次操作，得到的这一行数的各个数之和为． 故答案为：，． 17．（23-24七年级上·湖北十堰·阶段练习）两堆煤同样多，且都大于1吨，从第一堆中运，从第二堆中运吨，余下的煤（    ） A．第一堆多 B．第二堆多 C．同样多 D．以上都有可能 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查整式的加减运算，设两堆煤各自为x，则第一堆余下的煤为；第二堆余下的煤为；即可得即可． 【规范解答】解：设两堆煤各自为x， ∵从第一堆中运， ∴第一堆余下的煤为； ∵从第二堆中运吨， ∴第二堆余下的煤为； ∵， ∴， 则第二堆多， 故选：B． 18．（22-23七年级上·广西河池·阶段练习）如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍数．设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为，再逐一分析各选项中的数即可． 【规范解答】解：设阴影十字框中正中间的数为x，则这个数的和为 ， 即这个数的和为5的倍数， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C 19．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）一个二次三项式加上它的任意一项，得到一个新的多项式，称为“加系数操作”．例如：对进行“加系数操作”后可以是． 下列说法： ①对进行所有“加系数操作”后的多项式的和是； ②存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同； ③若关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，则对进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查了多项式的项、系数、次数，整式的加法运算．理解题意并正确的计算整式的加法是解题的关键． 对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，可判断①的正误；由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是；即存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，可判断②的正误；由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或，由关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零，可知或或也不可能为零，可判断③的正误． 【规范解答】解：对进行所有“加系数操作”后的多项式的和为，正确，故①符合要求； 由题意知，进行“加系数操作”后可以是； 进行“加系数操作”后可以是； ∴存在不同的二次三项式，对它们进行“加系数操作”后，其结果相同，②正确，故符合要求； 由题意知，对进行“加系数操作”后的多项式的值为或或， ∵关于x的二次三项式（a，b，c为常数）的值不可能为零， ∴或或也不可能为零，③正确，故符合要求； 故选：D． 20．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 21．（23-24七年级下·重庆江北·期末）有依次排列的2个整式：a，，对任意相邻的两个整式，每次都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生第一个整式串：a，2，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串，称为第二个整式串；以此类推．通过下列实际操作： ①第二次操作后整式串为：a，2，a，； ②第12个整式串中，从右往左第二个整式为； ③第2025次操作后，所有的整式的和为； ④第n个整式串比第个整式串少个整式． 以上结论中正确的有（    ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了整式的加减运算法则，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则进行计算即可解答． 【规范解答】第一次操作后的整式串：，，， 第二次操作后的整式串：，，，， 故结论正确． 由题意得：第一个整式串：，，； 第二个整式串：，，，，； 第三个整式串：，，，，，，，，； 第四个整式串：，，，，，，，，，，，，，，，，； ．．．．．． 观察可得：第奇数个整式串，从右往左第二个整式为；第偶数个整式串，从右往左第二个整式为； 即第个整式串中，从右往左第二个整式为； 故结论错误． 第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为，第次操作后，所有的整式的和为， ．．．．．． 依照规律可得第次操作后，所有的整式的和为； 第2025次操作后，所有的整式的和为； 故结论正确． 观察可得：第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式，第个整式串比第个整式串多个整式， ．．．．．． 依照规律可得第个整式串比第个整式串多个整式． 故结论正确； 故选：B． 22．（24-25七年级上·全国·单元测试）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个．例如， (1)计算：； (2)化简： 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数大小的比较，整式的加减运算，掌握作差法比较两数的大小是解题关键． （1）根据负数小于正数，两个负数中绝对值大的反而小，再计算求值即可； （2）利用作差法：括号中的前一项减去后一项，如果差为正数则前一项大，如果差为零则一样大，如果差为负数则后一项大；再根据定义计算求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 23．（2024七年级上·江苏·专题练习）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ； (3)若数列，，，，，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)，，，，（答案不唯一） (3) 【思路点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值．解决（1）（2）的关键是理解理想数列的意义，解决本题（3）的关键是找到、间关系，整体代入求值． （1）根据题中的新定义确定出与的值即可； （2）根据理想数列的定义，先任意写出前两个数，再依次写出其他个数即可； （3）根据理想数列的定义，先用、表示出p、q，再根据得到、间关系，然后整体代入求值即可． 【规范解答】（1）解：根据题中的新定义得： ， ； 故答案为：；； （2）解：当前两个数分别为，时， 则第个数为：， 第个数为：， 第个数为：， 故一个由五个不同正整数组成的理想数列为：，，，，； 故答案为：，，，，（答案不唯一）； （3）解：根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 即或， ∴ ． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的意义，数轴上点的坐标特点，整式化简求值，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）先根据数轴得出，再得出，，，，最后根据绝对值的意义，化简绝对值即可； （2）先根据，得出，，，，然后化简绝对值得出，然后根据整式加减运算法则进行化简，最后代入求值即可． 【规范解答】（1）解：根据a，b，c在数轴上的位置可知：， ∴，，，， ∴ ． （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ， ∴ ． 25．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）阅读材料： 如下图，某校的“图书码”共有位数字，它是由位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤：计算前位数字中偶数位数字的和，即； 步骤：计算前位数字中奇数位数字的和，即； 步骤：计算与的和，即； 步骤：取大于或等于且为的整数倍的最小数，即； 步骤：计算与的差就是校验码，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤中的值和校验码的值； (2)如图，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为，则______（请直接写结果）； (3)如图，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是，这两个数字从左到右分别是______（请直接写结果）· 【答案】(1)，； (2)； (3)，或，． 【思路点拨】（）根据特定的算法代入计算即可求解； （）根据特定的算法依次求出，，，，再根据为的整数倍即可求解； （）根据校验码为结合两个数字的和是即可求解； 本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意，学会探究规律，利用规律是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， 故答案为： ，； （2）解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） 故答案为：，或，． 26．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数和比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若，，则　　0，　　（填，或； (2)如图，图1长方形1的周长　　，图2长方形Ⅱ的周长　　，用求差法比较、的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用5块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用6块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)＞，＞ (2) (3)从省料角度考虑，应选方案二 【思路点拨】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【规范解答】（1）， ， 故答案为：，； （2）图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ， 且， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$