（预习篇）第十四讲 整式的加减（5个知识点+21个考点讲练+难度分层训练 共62题）小升初衔接暑期学习精讲练-2025年苏科版数学七年级上册

第十四讲 整式的加减 （5个知识点+21个考点讲练+难度分层训练 共62题） 树立目标 针对学习 2 新课轻松学 2 知识梳理 易错点拨 3 知识点梳理01：整式 3 知识点梳理02：合并同类项 4 知识点梳理03：去括号 5 知识点梳理04：整式的加减 5 知识点梳理05：代数式的化简求值 6 易错点拨01：去括号时出现的错误 6 易错点拨02：合并同类项时出现的错误 6 易错点拨03：整式加减运算顺序错误 7 优选题型 考点讲练 7 考点讲练01：同类项的判断 7 考点讲练02：已知同类项求指数中字母或代数式的值 8 考点讲练03：合并同类项 9 考点讲练04：去括号 11 考点讲练05：添括号 12 考点讲练06：整式的加减运算 15 考点讲练07：整式的加减中的化简求值 17 考点讲练08：整式加减中的无关型问题 18 考点讲练09：整式加减的应用 20 考点讲练10：单项式的判断 21 考点讲练11：单项式的系数、次数 22 考点讲练12：写出满足某些特征的单项式 24 考点讲练13：单项式规律题 25 考点讲练14：多项式的判断 26 考点讲练15：多项式的项、项数或次数 28 考点讲练16：多项式系数、指数中字母求值 30 考点讲练17：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 31 考点讲练18：整式的判断 32 考点讲练19：数字类规律探索 33 考点讲练20：图形类规律探索 35 考点讲练21：带有字母的绝对值化简问题 36 真题汇编 能力强化 39 基础夯实 巩固知识 39 培优提升 能力强化 46 课程标准 课标解读 1、 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 2、 掌握代数式的列法 1.理解代数式分类及定义 现有三张卡片 问题1：用它们拼成各种形状不同的四边形，我们来算一算拼成的四边形的周长~ 周长=上长+下长+左长+右长 周长=下长+左长+剩余两边的长 =a+(b+a+b)+a+a =(b+a)+(b+a)+b+b =4a+2b =2a+4b 1.这两个四边形周长的和是? 2.这两个四边形周长的差是? 两个四边形周长的和： (4a+2b)+(2a+4b) =6a+6b 两个四边形周长的差： (4a+2b)-(2a+4b) =2a-2b 去括号、合并同类项，像这样的计算，就是整式的加减。 整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。 整式加减的一般步骤：1.去括号；2.合并同类项。 知识梳理 知识点梳理01：整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点梳理02：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 知识点梳理03：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点梳理04：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点梳理05：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 易错点拨 易错点拨01：去括号时出现的错误 括号前是负号时未改变括号内各项的符号： 易错点：学生在去括号时，如果括号前是负号，经常忘记将括号内的每一项都变号。 例如：从表达式-(a+b)中去括号，应得到-a-b，但学生可能会错误地写成-a+b。 括号前有数字因数时未与括号内每一项相乘： 易错点：学生在处理括号前有数字因数的情况时，容易忘记将数字因数与括号内的每一项都相乘。 例如：从表达式3(a+b)中去括号，应得到3a+3b，但学生可能会错误地写成3a+b。 易错点拨02：合并同类项时出现的错误 未正确理解同类项的定义： 易错点：学生容易将次数相同或字母相同但字母的指数不同的项误认为是同类项。 例如：ab和a^2b不是同类项，但学生可能会误合并它们。 合并同类项时系数处理不当： 易错点：学生在合并同类项时，容易忽略系数的符号，或将系数相加时出错。 例如：合并-3a和5a时，应得到2a，但学生可能会得到-2a或8a。 合并后未保持字母及其指数不变： 易错点：在合并同类项后，学生可能会改变字母或其指数。 例如：合并3ax^2和2ax^2时，应得到5ax^2，但学生可能会错误地写成5ax或其他形式。 易错点拨03：整式加减运算顺序错误 未遵循“先去括号，再合并同类项”的顺序： 易错点：学生在进行整式加减运算时，容易忽略运算顺序，先进行合并同类项再去括号，导致错误。 考点讲练01：同类项的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·期末）图是嘉淇的作业，她的得分是（   ） 判断题，每题2分 1.与是同类项（√） 2.是整式（×） 3.单项式的系数是（√） 4.多项式的次数是2（×） 5.的原数中有5个0（√） A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 【答案】C 【思路引导】本题考查了同类项、单项式、多项式、整式，根据相关知识逐一判断即可． 【规范解答】解：1. 与是同类项，嘉淇判断正确； 2. 是整式，嘉淇判断错误； 3. 单项式的系数是，嘉淇判断正确； 4. 多项式的次数是3，嘉淇判断正确； 5. 的原数中有2个0，嘉淇判断错误， 所以嘉淇作对3道题，她的得分是（分）， 故选：C． 【训练】（24-25六年级上·山东烟台·期末）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查同类项，合并同类项，单项式的次数，根据新定义，结合同类项以及合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：中x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”；故①正确； “等次单项式”的次数必为偶数，不可能是奇数；故②错误； 两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，可能为0，故③错误； 若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则，y的最大为4，则它们中必有同类项．故④正确； 故选B． 考点讲练02：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同； （1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 【规范解答】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项， ∴ 解得． （2）解：∵， ∴， ∴． 【训练】（24-25六年级上·山东东营·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此列出方程，求解即可． 【规范解答】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 考点讲练03：合并同类项 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【思路引导】（）根据合并同类项法则计算即可； （）把代数式变形为，再代入已知计算即可； （）①把已知相加即可求解；②把已知代入进行化简，最后再把的值代入计算即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，掌握整体思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴ ． 【训练】（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了合并同类项、去括号等知识点，熟练运用合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则、去括号法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意； B．与不是同类项、不能合并，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．与不是同类项、不能合并，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 考点讲练04：去括号 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若是有理数，则一定是负数 B．去括号： C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是三次三项式 【答案】C 【思路引导】本题主要考查负数，去括号，单项式和多项式的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据定义进行判断即可． 【规范解答】解：若是有理数，则可能是正数、、负数，故不一定是负数，故选项A错误； ，故选项B错误； 单项式的系数是，次数是5，故选项C正确； 多项式是五次三项式，故选项D错误； 故选C． 【训练】（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握有理数和整式的加减运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点讲练05：添括号 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，添括号，合并同类项，正确理解并应用整体思想是解题的关键． （1）根据合并同类项的法则计算出的结果，再把结果中的a用替换即可得到答案； （2）先求出的结果，再根据求解即可； （3）先求出的值，再根据求解即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）∵代数式的值为4， ∴， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 【训练】（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将变形为，然后将代入求值即可； （2）将变形为，然后将，代入求值即可； （3）将变形为，然后将，代入求值即可． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 【考点剖析】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，添括号等知识点，对原式进行适当变形并运用整体代入法求值是解题的关键． 考点讲练06：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)不变，值为，理由见解析． 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值非负性，整式的加减，有理数的分类，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得，，又是最小的正整数，则，从而求解； （）根据折叠的性质进行解答即可得； （）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示，，，即可得． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵是最小的正整数， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（）得，，， ∴点表示数，点表示数，点表示数， ∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕与数轴的交点所表示的数为，点与数对应的点重合， 故答案为：，； （3）解：不变，值为， 由题意可得秒钟后点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【思路引导】本题考查了由点在数轴上的位置判断式子的符号，绝对值化简，整式加减等； （1）由数轴得，，，逐一进行判断，即可求解； （2）由（1）得去绝对值，再进行整式加减运算，即可求解； 能根据点在数轴上的位置判断式子的符号，并能熟练进行绝对值化简是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由数轴得 ，，， ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得 原式 ． 考点讲练07：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 【答案】(1) (2) (3)这五个数之和还是中间数的5倍 (4)能为2025，不能为2045 【思路引导】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案； （2）用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （4）分别计算出2025和2045除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【规范解答】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵，且个位数字为9的数字都在第最右边一列， ∴中间的数字为409，此时不满足题意， ∴十字框中五个数之和不能为2045． 【训练】（24-25七年级上·北京·期中）先化简后求值：，其中． 【答案】，5 【思路引导】本题考查整式的加减化简求值，根据整式的加减法则进行化简，再代入求值即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴原式． 考点讲练08：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）已知，，其中为常数，若整式的值与的取值无关，求当满足时，求的值． 【答案】2 【思路引导】本题考查整式加减中的无关型问题，根据的值与的取值无关，得到中含有项的系数为0，求出的值，非负性求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解： ， 整式的值与x的取值无关， ∴， ，        ， ∴， ；        ． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式的和中不含某项的条件；求出多项式的和为，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得 不含， ， 解得：， 故答案为：． 考点讲练09：整式加减的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·山东济南·期中）如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【答案】(1)米； (2)围栏的造价是2700元． 【思路引导】本题考查代数式求值，列代数式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据周长的定义求解； （2）利用（1）中结论计算即可． 【规范解答】（1）解：由图形可得阴影部分的周长为 （米）． （2）解：当时， （米）， （元）． 答：围栏的造价是2700元． 【训练】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用代数式表示 (1)棱长为的正方体的表面积． (2)某游乐园成人票价是儿童票价的倍，已知儿童票价为，则购买张成人票和张儿童票共花费多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了列代数式，正确理解题意列出式子是解题的关键． （1）根据正方体的表面积求解即可； （2）根据票价乘以对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和即可得到答案； 【规范解答】（1）解：正方体的表面积为； （2）解：∵儿童票价为，成人票价是儿童票价的倍， ∴成人票价是， ∴购买张成人票和张儿童票共花费：； 考点讲练10：单项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍，证明见解答 (2)方框中对角两数之和相等，理由见解答 【思路引导】本题考查了列代数式，设出其中一个数，用该数表示出另外的数是解题的关键． （1）方框中9个数之和为方框正中心的9倍，设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，，将9个数相加，可得出9个数之和为，结合，即可证出方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）方框中对角两数之和相等，设最小的数为a，则另外3个数分别为，，，将两对角上的两个数相加，即可证出结论． 【规范解答】（1）解：方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 证明：设方框正中心的数为x，则另外8个数分别为，，，，，，，， ∴9个数之和为 ， ∵， ∴方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）解：方框中对角两数之和相等，理由如下： 设最小的数为a，则另外3个数分别为，，， ∵， ， ∴方框中对角两数之和相等． 【训练】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．6是单项式 B．的系数是，次数是3 C．任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点与它对应 D．是四次三项式 【答案】D 【思路引导】本题主要考查整式，熟练掌握单项式和多项式是解题的关键．根据单项式和多项式的定义进行判断即可． 【规范解答】解：6是单项式，故选项A正确，不符合题意； 的系数是，次数是3，故选项B正确，不符合题意； 任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点与它对应，故选项C正确，不符合题意； 是二次三项式，故选项D错误，符合题意； 故选D． 考点讲练11：单项式的系数、次数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路引导】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键； 根据单项式的定义一一判断即可； 【规范解答】解：在代数式，，，，，，中， 单项式有：，，，共个， 故选：D 【训练】（22-23七年级上·广西河池·期中）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的一次项系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1) ， ， ； (2)请你画出数轴，并把点，，表示在数轴上； (3)请你通过计算说明线段与之间的数量关系． 【答案】(1)，，； (2)见解析； (3)． 【思路引导】此题主要考查了多项式、单项式，数轴，有理数概念等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据多项式、正整数与单项式的概念即可求出答案； （）根据数轴的特点即可求解； （）根据数轴的特点求出，的长即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是多项式的一次项系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：如图所示， ， （3）解：，， ∵ ∴． 考点讲练12：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（23-24七年级上·四川南充·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式与单项式的相关概念，求代数式的值，根据题意可得，，即可求出、的值，代入计算即可得解，熟练掌握多项式与单项式的相关概念是解此题的关键． 【规范解答】解：∵多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴，， 解得：，， ∴． 【训练】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【思路引导】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【规范解答】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 考点讲练13：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【答案】 1350 【思路引导】本题考查的是数字类的规律探究，单项式的规律探究，通过观察输出结果，得到当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即可求解． 【规范解答】解：输入1，得到a， 输入2，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入4，得到，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得到，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得到，项的系数与次数都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入9，得，项的系数与次数均为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有1350个， 故答案为：，1350． 【训练】（24-25七年级上·山东聊城·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是单项式的规律探究，从符号规律可得以，循环，可以用表示，系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示，的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示，从而可得答案． 【规范解答】解：∵一组单项式：，，，，… ∴从符号规律可得以，循环，可以用表示， ∴系数的分子是奇数，可以用表示，系数的分母是的正整数指数幂，可以用表示， ∴的指数是偶数，可以用表示，的指数是正整数，可以用表示， ∴得出第n个单项式是； 故答案为：． 考点讲练14：多项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（   ） A．没有系数，次数是 B．不是单项式，也不是整式 C．是多项式 D．是三次二项式 【答案】D 【思路引导】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的次数的定义，整式的定义，据此依次对各选项进行分析判断即可．掌握相应的概念是解题的关键． 【规范解答】解：A．的系数是，次数是，故此选项不符合题意； B．不是单项式，是整式，故此选项不符合题意； C．不是多项式，故此选项不符合题意； D．是三次二项式，故此选项符合题意． 故选：D． 【训练】（24-25七年级上·河北保定·期中）如下是嘉淇的答卷，他的得分是（   ） 填空题（每小题2分）姓名：嘉淇 1．35000用科学记数法表示为 2．用四舍五入法精确到的近似数是 3．是（填“是”或“不是”）单项式 4．比较大小：（填“”或“”） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了有理数的大小比较，近似数，科学记数法，单项式和多项式的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据科学记数法判断1，根据近似数的定义判断2，根据单项式和多项式的定义判断3，根据有理数比较大小的方法：绝对值越大的反而越小判断4． 【规范解答】解：1、35000用科学记数法表示为，故原说法错误； 2、用四舍五入法精确到的近似数是，故原说法正确； 3、是多项式，不是单项式，故原说法错误； 4、比较大小：∵， ∴，故原说法正确； 综上，正确的有2个，共4分， 故选：B． 考点讲练15：多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（24-25七年级上·河北廊坊·期末）老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式的二次项系数．如图： 已知两个多项式，，试求． 然后告知该题的正确答案是． (1)请求出中被遮挡的二次项系数． (2)老师又给出了一个多项式，并要求求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，进而求出的答案为．现请你修正小马虎的错误，求出“”的正确答案． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的加减混合运算，多项式项的系数； （1）由题意得，求出，即可求解； （2）先由求出，再计算，即可求解； 掌握整式加减运算的步骤是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得 ， 中被遮挡的二次项系数为； （2）解：由题意得 ， ． 【训练】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： (1)若，则　 ； (2)若，求出关于x的方程的解； (3)已知关于x的二次多项式，经过处理后的一次多项式，求m的值． 【答案】(1)； (2)； (3)6 【思路引导】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，再移项、系数化1解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到求解即可． 【规范解答】（1）解：若，则， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， ， ． 考点讲练16：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了整式的加减、多项式的次数等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）k为最大的负整数时，得到，即可得到，再计算即可． 【规范解答】（1）解：∵是二次二项式， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵k为最大的负整数时， ∴ ∴，， ∴ 【训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式，代数式求值，掌握两个多项式恒等，相同项的系数相等是解题的关键． 根据题意，得出，由相同项的系数相等得出a，b，c，d的值，然后再分别代入计算即可． 【规范解答】解：∵（a、b是常数）与恒等， ∴ ∴，，，， ∴． 故答案为：． 考点讲练17：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图是由边长分别为 4 和 3 的长方形与边长为的正方形拼成的图形． 用含有 x 的代数式表示图中阴影部分的面积并化简后按x的降幂排列． 【答案】 【思路引导】本题主要考查列代数式以及整式的加减，阴影部分的面积可看作是长方形的面积与正方形的面积之和减去三个三角形的面积，据此可求解． 【规范解答】解：阴影部分的面积： 【训练】（24-25七年级上·河南南阳·期中）以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【答案】D 【思路引导】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键． 分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案． 【规范解答】解：A．和m都是单项式，故该选项正确，不合题意； B．单项式的系数是，故该选项正确，不合题意； C．多项式的次数是4，故该选项正确，不合题意； D．多项式按的降幂排列为，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 考点讲练18：整式的判断 【典例精讲】（21-22七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查整式的相关概念，根据单项式的系数，多项式的项数和次数，常数项，整式的概念逐一进行判断即可． 【规范解答】解：的系数是；故①错误； 多项式是三次三项式；故②错误； 的常数项为；故③错误； 在，，，，0中，整式有，，0，共3个；故④正确； 故选A． 【训练】（24-25七年级上·四川成都·期中）在下列说法中，正确的是（   ） A．不是整式 B．系数是2，次数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是8 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的认识、单项式的次数和系数以及多项式的次数，熟练掌握相关定义是解题的关键； 整式包括单项式和多项式，单项式的数字因数是系数，字母的指数和是次数，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、是整式，此选项不符合题意； B、系数是，次数是，此选项不符合题意； C、是单项式，此选项符合题意； D、多项式的次数是，此选项不符合题意； 故选：C 考点讲练19：数字类规律探索 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，有理数混合运算，根据已知等式得出一般规律是解题关键． （1）根据已知等式分析即可； （2）根据（1）所得规律裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解：， 则 【训练】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 【答案】8 【思路引导】本题考查的是数字的规律探究，能根据所给条件得出时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【规范解答】解：由“运算”的含义，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行F②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），…， 即第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为，第次运算结果为，…， 可以发现第次运算结果为，第次运算结果为， 从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数， 这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为． 考点讲练20：图形类规律探索 【典例精讲】（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是 ． 【答案】33 【思路引导】本题考查图形的变化类．熟练掌握图形变化规律，列代数式，是解决问题的关键． 根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题． 【规范解答】解：由图可得， 图案①有：根小木棒； 图案②有：根小木棒； 图案③有：根小木棒；…； ∴第n个图案有：根小木棒． ∴当时，． ∴第⑧个图案有：33根小木棒． 故答案为：33． 【训练】（24-25七年级上·重庆·期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，……依此规律，第8个图案有（    ）个黑棋子 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】D 【思路引导】本题考查图形类规律探究，找出规律是解题的关键．观察图形可知后一个图形比前一个图形多5个黑棋子，进行求解即可． 【规范解答】解：观察图形可知后一个图形比前一个图形多5个黑棋子， ∴第个图案中有个黑棋子， ∴第8个图案有（个）黑棋子， 故选：D． 考点讲练21：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据数轴可得，则，据此去绝对值后，根据整式的加减计算法则求解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查了绝对值的性质，由可得同时为正数或两负一正，进而由，，代入计算即可判断①；由得同时为负数或两正一负，分别计算即可判断②；分和化简代数式，进而求出最大值和最小值即可判断③；由得或，再分别计算可判断④，综上即可求解，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【规范解答】解：①∵， ∴，，， 又∵， ∴同时为正数或两负一正， 当同时为正数时， ； 当两负一正时， ； ∴的值为或，故①错误； ②∵， ∴同时为负数或两正一负， 当同时为负数时， ； 当两正一负时， ， ∴的值为或，故②正确； ③当时， ， 此时最大值为，最小值为； 当时， ； ∴时，的最大值是，最小值是，故③正确； ④当时，则或， 当时，，与矛盾，不合题意； 当时，，， ∴，或，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，说法正确的有个， 故选：． 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了整式的加减．如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这两个单项式为同类项，可以进行合并，逐项判断即可． 【规范解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了单项式和多项式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【规范解答】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．多项式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．多项式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【答案】D 【思路引导】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），据此即可判断． 【规范解答】解：A、与所含字母不同，错误，不符合题意； B、不是整式，错误，不符合题意； C、与相同字母的次数不同，错误，不符合题意； D、与是同类项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 【答案】 2 3 【思路引导】本题考查合并同类项，根据题意，易得两个单项式为同类项，进而得到，进行求解即可． 【规范解答】解：∵单项式与 的和是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴， ∴； 故答案为：2，3 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 【答案】 31 【思路引导】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键． 先找出第一列每一行的规律，再找出第一行每一列规律，观察然后再找出第行，第列是第 1 行，第列与第行，第 1 列两数和的一半，然后求第6行，第6列的数字即可． 【规范解答】解：第一列各行数为， 第一行各数为， 第 1 行，第列的数字为，第行，第 1 列的数字为， 第行，第列的数字为． ∴第6行，第6列的数字为， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【规范解答】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【规范解答】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1)5 (2) (3)9 (4) (5) (6) (7) (8) 【思路引导】本题考查有理数的混合运算与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用运算法则和运算律． （1）利用有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数进行计算； （2）将除法转换成乘法，计算即可； （3）利用有理数的加减混合运算法则计算； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （5）利用乘法分配律进行简便计算； （6）合并同类项，同类项的系数相加，字母和指数不变； （7）先找出同类项，再分别合并同类项； （8）先找出同类项，再分别合并同类项． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：； （7）解： ； （8）解： ． 9．（24-25七年级上·青海西宁·期中）阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)4 【思路引导】本题考查了整式的加减运算的应用，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题思路，把看作一个整体，再进行合并同类项，即可作答． （2）先去括号再合并同类项得，再把代入进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴． 10．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用x（，且x为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含x的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查整式加减的应用，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键； （1）根据题意和图形，可以用含x的代数式表示出本周二和下周三； （2）根据题意和图形，可以S关于a的函数关系式． 【规范解答】（1）解：由图可得， 如果本周三对应的日期用x（，且x为整数）表示，那么本周二可以表示为，下周三对应的日期可以表示， 故答案为：，； （2）解：由图可得， ， 即S与a之间的关系式为． 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 【答案】D 【思路引导】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及整式的定义．逐一分析各选项是否符合相关概念即可． 【规范解答】解：A． 单项式的系数为1，次数为1，原说法错误； B． 的系数是，次数是和的指数之和，原说法错误； C． 多项式的项应为、、，原选项未正确标注项的符号，错误； D． 可拆分为，属于多项式，是整式，正确． 故选：D． 12．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第100个图案中三角形的个数有（   ） A．300 B．301 C．302 D．303 【答案】B 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律第个图案需要三角形的个数是是解题的关键，不难看出第个图形中三角形的个数为：，从而可求解． 【规范解答】解：第1个图案三角形的个数为：4， 第2个图案三角形的个数为：， 第3个图案三角形的个数为：， ， 第个图案需要三角形的个数为：， 第100个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）正整数按下图的规律排列．则第10行，第11列的数是（   ） A．109 B．110 C．111 D．112 【答案】B 【思路引导】此题考查了数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键． 探究规律，利用规律即可求解． 【规范解答】解：由第1行，第2列的数是， 由第2行，第3列的数是， 由第3行，第4列的数是， 由第4行，第5列的数是， 由第5行，第6列的数是， 根据规律：第10行第11列的数是， 故选：B． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 【答案】3775 【思路引导】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，假设两个数中较大的数为，则：，得到50个值的和为50组数中较大的数的和，进而得到最大值为从51开始到100这50个数的和最大，进行计算即可． 【规范解答】解：设两个数中较大的数为，即：， ∴， ∴50个值的和为50组数中较大的数的和， ∴这 50个值的和的最大值是； 故答案为：3775． 15．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）联欢会上，小明按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室．则第16个气球是 颜色． 【答案】黄 【思路引导】此题考查的是事物间隔的排列规律．根据题干按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球串起来，可以得出这组气球按照颜色排列的周期规律是解决此类问题的关键． 【规范解答】解：， 所以第16个气球是第3周期的第4个，是黄气球； 故第16个气球是黄气球． 故答案为：黄． 16．（23-24七年级上·广西河池·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值 ． 【答案】88 【思路引导】本题考查了数字的变化规律，解题关键是根据相邻第几个数就是从小到大几个连续正整数的和求解． 【规范解答】解：因为：，，，，， ， 故答案为：88． 17．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，（A，B为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)9 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键． （1）先计算得，即得，，即得答案； （2）将，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：，， ， 的结果中不含一次项和常数项， ，， ，； （2）解：当，时， ． 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 【答案】(1) (2)，， (3) 【思路引导】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值和整式的加减； （1）根据数轴上，左边的数小于右边的数即可解答； （2）根据有理数的加法，减法，乘法法则判断符号，即可求解． （3）根据点在数轴上的位置和绝对值化简解答即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得：； （2）解：由数轴可知，，，且， ∴，，； 故答案为：，，； （3）解：由数轴可知，，，且， ∴，， ∴ ． 19．（24-25七年级上·北京·期中）已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 【答案】(1) (2) (3)0或4 【思路引导】本题考查有理数与数轴，整式的加减计算，熟知“关联点”的定义是解题的关键． （1）求出点A，点B到原点距离和的一半，进而根据“关联点”的定义得出点P到原点的距离，即得出点P表示的数； （2）根据已知可求出点A，点B到原点距离的和，进而确定点B到原点的距离，然后进行计算即可解答； （3）根据题意确定点B表示的数，再求出点A，点B到原点距离的和，即可求出点P到原点的距离，然后分两种情况讨论求解即可：点P在原点的左侧，点P在原点的右侧． 【规范解答】（1）解：∵点表示，点B表示， ∴点、点到原点距离的和的一半为． ∵点P是为点和点的“关联点”， ∴点P到原点的距离为2， ∴点P表示的数为2或， ∴，，，中是点和点的“关联点”的是； （2）解：∵点P为点和点的“关联点”， 且点到原点的距离为， ∴点、点到原点距离的和的一半为5， ∴点、点到原点距离的和为10． ∵点表示， ∴点到原点距离为3， ∴点到原点距离为， ∴点B表示的数为7或； （3）解：∵点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点， ∴点表示的数为， ∴点、点到原点距离的和为， ∴点、点到原点距离的和一半为． ∵点为点和点的“关联点”， ∴点到原点距离为， ∴点P表示的数为或． 分类讨论：当点P位于原点右侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴； 当点P位于原点左侧时，即点P表示的数为， ∴，， ∴． 综上可知的值为0或4． 20．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下面的材料：如图1，如果线段在数轴上，，点所表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）可表示为． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图2，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．    (1)请直接写出A、B、C三点表示的数，并求出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点，点分别以每秒和的速度向右移动至点，点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或4 (3)的值不会随着的变化而变化，理由见解析 【思路引导】此题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上点的移动规律，绝对值的意义，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）先确定点，表示的数，利用公式计算可得的长度； （2）分点在点的左边和右边两种情况，计算即可； （3）用代数式表示出和，再相减即可判断． 【规范解答】（1）解：点表示的数为，表示的数为；点表示的数为：， ； （2）解：点为， 当点在点的左边时，点表示， 当点在点的右边时，点表示， 故答案为：或4； （3）解：的值不会随着的变化而变化，理由如下： 点表示的数是， 根据题意得，表示的数是，表示的数是，表示的数是， ，， ， ． ∴的值不会随着t的变化而变化． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四讲 整式的加减 （5个知识点+21个考点讲练+难度分层训练 共62题） 树立目标 针对学习 2 新课轻松学 2 知识梳理 易错点拨 3 知识点梳理01：整式 3 知识点梳理02：合并同类项 4 知识点梳理03：去括号 5 知识点梳理04：整式的加减 5 知识点梳理05：代数式的化简求值 6 易错点拨01：去括号时出现的错误 6 易错点拨02：合并同类项时出现的错误 6 易错点拨03：整式加减运算顺序错误 7 优选题型 考点讲练 7 考点讲练01：同类项的判断 7 考点讲练02：已知同类项求指数中字母或代数式的值 7 考点讲练03：合并同类项 8 考点讲练04：去括号 8 考点讲练05：添括号 9 考点讲练06：整式的加减运算 10 考点讲练07：整式的加减中的化简求值 11 考点讲练08：整式加减中的无关型问题 12 考点讲练09：整式加减的应用 12 考点讲练10：单项式的判断 13 考点讲练11：单项式的系数、次数 14 考点讲练12：写出满足某些特征的单项式 14 考点讲练13：单项式规律题 15 考点讲练14：多项式的判断 15 考点讲练15：多项式的项、项数或次数 16 考点讲练16：多项式系数、指数中字母求值 17 考点讲练17：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 17 考点讲练18：整式的判断 18 考点讲练19：数字类规律探索 18 考点讲练20：图形类规律探索 19 考点讲练21：带有字母的绝对值化简问题 19 真题汇编 能力强化 20 基础夯实 巩固知识 20 培优提升 能力强化 23 课程标准 课标解读 1、 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 2、 掌握代数式的列法 1.理解代数式分类及定义 现有三张卡片 问题1：用它们拼成各种形状不同的四边形，我们来算一算拼成的四边形的周长~ 周长=上长+下长+左长+右长 周长=下长+左长+剩余两边的长 =a+(b+a+b)+a+a =(b+a)+(b+a)+b+b =4a+2b =2a+4b 1.这两个四边形周长的和是? 2.这两个四边形周长的差是? 两个四边形周长的和： (4a+2b)+(2a+4b) =6a+6b 两个四边形周长的差： (4a+2b)-(2a+4b) =2a-2b 去括号、合并同类项，像这样的计算，就是整式的加减。 整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。 整式加减的一般步骤：1.去括号；2.合并同类项。 知识梳理 知识点梳理01：整式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 4.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 5.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 6.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 7.整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 知识点梳理02：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 知识点梳理03：去括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 知识点梳理04：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 知识点梳理05：代数式的化简求值 1.求代数式的值时，如果代数式中含有同类项和括号，通常先去括号，合并同类项后再计算. 2.整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 易错点拨 易错点拨01：去括号时出现的错误 括号前是负号时未改变括号内各项的符号： 易错点：学生在去括号时，如果括号前是负号，经常忘记将括号内的每一项都变号。 例如：从表达式-(a+b)中去括号，应得到-a-b，但学生可能会错误地写成-a+b。 括号前有数字因数时未与括号内每一项相乘： 易错点：学生在处理括号前有数字因数的情况时，容易忘记将数字因数与括号内的每一项都相乘。 例如：从表达式3(a+b)中去括号，应得到3a+3b，但学生可能会错误地写成3a+b。 易错点拨02：合并同类项时出现的错误 未正确理解同类项的定义： 易错点：学生容易将次数相同或字母相同但字母的指数不同的项误认为是同类项。 例如：ab和a^2b不是同类项，但学生可能会误合并它们。 合并同类项时系数处理不当： 易错点：学生在合并同类项时，容易忽略系数的符号，或将系数相加时出错。 例如：合并-3a和5a时，应得到2a，但学生可能会得到-2a或8a。 合并后未保持字母及其指数不变： 易错点：在合并同类项后，学生可能会改变字母或其指数。 例如：合并3ax^2和2ax^2时，应得到5ax^2，但学生可能会错误地写成5ax或其他形式。 易错点拨03：整式加减运算顺序错误 未遵循“先去括号，再合并同类项”的顺序： 易错点：学生在进行整式加减运算时，容易忽略运算顺序，先进行合并同类项再去括号，导致错误。 考点讲练01：同类项的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·期末）图是嘉淇的作业，她的得分是（   ） 判断题，每题2分 1.与是同类项（√） 2.是整式（×） 3.单项式的系数是（√） 4.多项式的次数是2（×） 5.的原数中有5个0（√） A．10分 B．8分 C．6分 D．4分 【训练】（24-25六年级上·山东烟台·期末）关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 考点讲练02：已知同类项求指数中字母或代数式的值 【典例精讲】（（23-24七年级上·广西河池·期末）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项． (1)求a的值； (2)若，且，求的值． 【训练】（24-25六年级上·山东东营·期末）若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 考点讲练03：合并同类项 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·期中）我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 【训练】（24-25七年级上·广东深圳·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练04：去括号 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．若是有理数，则一定是负数 B．去括号： C．单项式的系数是，次数是5 D．多项式是三次三项式 【训练】（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 考点讲练05：添括号 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁朝阳·期中）【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母a，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为_____；（用含的式子表示） （2）若代数式的值为4，则代数式的值为______； 【灵活运用】应用【知识呈现】中的方法解答下列问题： （3）已知，的值为最大的负整数，求的值． 【训练】（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 考点讲练06：整式的加减运算 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足， (1)_______，_______，_______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为_____，点与数_____对应的点重合； (3)若点、、是数轴上的动点，点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，点与点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着运动时间（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，求出其值． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，有理数a、b、c在数轴上对应A、B、C的位置如图所示： (1) 0， 0， 0， 0（填“<”，“>”，“=”）； (2)化简：． 考点讲练07：整式的加减中的化简求值 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)这个十字框中五个数的和为 ． (2)设中间数为a，用代数式表示十字框中五个数之和为 ． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字框中的五个数之和能为2025吗？这五个数之和能为2045吗？ 【训练】（24-25七年级上·北京·期中）先化简后求值：，其中． 考点讲练08：整式加减中的无关型问题 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）已知，，其中为常数，若整式的值与的取值无关，求当满足时，求的值． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 考点讲练09：整式加减的应用 【典例精讲】（24-25六年级上·山东济南·期中）如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米） (1)用含的式子表示“T”型图形的周长并化简； (2)若，要给“T”型区域围上价格为30元/米的围栏，请计算围栏的造价． 【训练】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用代数式表示 (1)棱长为的正方体的表面积． (2)某游乐园成人票价是儿童票价的倍，已知儿童票价为，则购买张成人票和张儿童票共花费多少？ 考点讲练10：单项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）数学活动：月历中的奥秘 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起来探索吧！ 图1是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题： (1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？你能证明一下吗？ (2)如图2，如果带阴影的方框里的数是4个，请直接写出你发现的结论． 【训练】（24-25七年级上·河南商丘·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．6是单项式 B．的系数是，次数是3 C．任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点与它对应 D．是四次三项式 考点讲练11：单项式的系数、次数 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）在代数式，，，，0，，中，单项式的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【训练】（22-23七年级上·广西河池·期中）在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，并且是多项式的一次项系数，是数轴上最小的正整数，单项式的次数为． (1) ， ， ； (2)请你画出数轴，并把点，，表示在数轴上； (3)请你通过计算说明线段与之间的数量关系． 考点讲练12：写出满足某些特征的单项式 【典例精讲】（23-24七年级上·四川南充·期中）已知多项式是六次四项式，单项式的次数与该多项式的次数相同，求的值． 【训练】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 考点讲练13：单项式规律题 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）斐波那契数列在自然界和计算机科学中有着广泛的应用，如兔子繁殖问题、向日葵的螺旋排列、黄金分割等．受到斐波那契数列的启发，小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．按此规律，当输入9时，输出结果为 ，从1开始一直输入到2025后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有 个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 8 … 输出 a … 【训练】（24-25七年级上·山东聊城·期末）观察下面一组单项式：根据其中的规律，得出第个单项式是 ． 考点讲练14：多项式的判断 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·期末）下列说法正确的是（   ） A．没有系数，次数是 B．不是单项式，也不是整式 C．是多项式 D．是三次二项式 【训练】（24-25七年级上·河北保定·期中）如下是嘉淇的答卷，他的得分是（   ） 填空题（每小题2分）姓名：嘉淇 1．35000用科学记数法表示为 2．用四舍五入法精确到的近似数是 3．是（填“是”或“不是”）单项式 4．比较大小：（填“”或“”） A．2分 B．4分 C．6分 D．8分 考点讲练15：多项式的项、项数或次数 【典例精讲】（24-25七年级上·河北廊坊·期末）老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式的二次项系数．如图： 已知两个多项式，，试求． 然后告知该题的正确答案是． (1)请求出中被遮挡的二次项系数． (2)老师又给出了一个多项式，并要求求出的结果．小马虎在求解时，误把“”看成“”，进而求出的答案为．现请你修正小马虎的错误，求出“”的正确答案． 【训练】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）有一种整式处理器能将二次多项式A处理成一次多项式B，处理方法是：将二次多项式A的二次项系数与一次项系数的差（差为非零数）作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的常数项作为一次多项式B的常数项．例如：，则．根据以上方法，解决下列问题： (1)若，则　 ； (2)若，求出关于x的方程的解； (3)已知关于x的二次多项式，经过处理后的一次多项式，求m的值． 考点讲练16：多项式系数、指数中字母求值 【典例精讲】（（24-25七年级上·湖北孝感·期中）已知多项式，． (1)若A是二次二项式，则k的值为 ； (2)若k为最大的负整数时，化简． 【训练】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）规定：对于两个一元多项式（含字母x）来说，当x任取一个数时，这两个多项式的值都相等，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：如果两个一元多项式与（a、b是常数）是恒等的，那么，；如果（a、b是常数）与恒等，那么 ． 考点讲练17：将多项式按某个字母升幂(降幂）排列 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图是由边长分别为 4 和 3 的长方形与边长为的正方形拼成的图形． 用含有 x 的代数式表示图中阴影部分的面积并化简后按x的降幂排列． 【训练】（24-25七年级上·河南南阳·期中）以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 考点讲练18：整式的判断 【典例精讲】（21-22七年级上·河南信阳·期末）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练】（24-25七年级上·四川成都·期中）在下列说法中，正确的是（   ） A．不是整式 B．系数是2，次数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是8 考点讲练19：数字类规律探索 【典例精讲】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 【训练】．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 考点讲练20：图形类规律探索 【典例精讲】（24-25七年级上·青海西宁·期中）将长度相同的木棒按如图所示的方式摆放，图1中有5根木棒，图2中有9根木棒，图3中有13根木棒，…，按此规律摆放下去，则图8中木棒的根数是 ． 【训练】（24-25七年级上·重庆·期中）如图都是由同样大小的黑棋子按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个黑棋子，第②个图案有9个黑棋子，第③个图案有14个黑棋子，……依此规律，第8个图案有（    ）个黑棋子 A．36 B．37 C．38 D．39 考点讲练21：带有字母的绝对值化简问题 【典例精讲】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算及化简： (1) (2)有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：的值． 【训练】（24-25七年级上·四川南充·期中）下列说法正确的有（   ） ①已知是有理数，，，则的值为； ②若为非零有理数，且，则的值为或； ③已知，则的最大值是，最小值是； ④若且，则式子． A．个 B．个 C．个 D．个 1．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 3．（23-24七年级上·湖北黄石·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）单项式与 的和是单项式，则 ， ． 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 6．（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 8．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算题 (1) (2) (3) (3) (5) (6) (7) (8) 9．（24-25七年级上·青海西宁·期中）阅读材料： “整体思想”是数学中一种重要的思想方法，已知．若把看作一个整体，则． 尝试应用 (1)化简． (2)已知，求的值． 10．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）图1是2024年10月的月历． (1)如图1，如果本周三对应的日期用x（，且x为正整数）表示，那么本周二对应的日期可以表示为_______，下周三可以表示为______（用含x的代数式表示）； (2)如图2，若用m表示阴影部分（5天）中最中间一天的日期，用S表示这5天的日期之和，求S与m之间的关系式． 11．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 12．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第100个图案中三角形的个数有（   ） A．300 B．301 C．302 D．303 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）正整数按下图的规律排列．则第10行，第11列的数是（   ） A．109 B．110 C．111 D．112 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 15．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）联欢会上，小明按照3个红气球，2个黄气球，1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室．则第16个气球是 颜色． 16．（23-24七年级上·广西河池·期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则值 ． 17．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）已知，（A，B为关于x的多项式），的结果中不含一次项和常数项． (1)求m，n的值； (2)求的值． 18．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数，，在数轴上所对应的点的位置如图所示． (1)将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接起来； (2)填空：______；______；______；（填“”或“”） (3)化简：． 19．（24-25七年级上·北京·期中）已知点P，点，点是数轴上的三个点．若点到原点的距离等于点、点到原点距离的和的一半，则称点P为点和点的“关联点”． (1)已知点表示，点B表示，下列各数，，，在数轴上所对应的点分别是，，，，其中是点和点的“关联点”的是 ； (2)已知点表示，点表示，点P为点和点的“关联点”，且点到原点的距离为，求的值； (3)已知点表示数，将点沿数轴正方向移动个单位长度，得到点．当点为点和点的“关联点”时，我们把点P到点B的距离记为，点P到点A的距离记为，直接写出的值是______________． 20．（24-25七年级上·广西南宁·期中）阅读下面的材料：如图1，如果线段在数轴上，，点所表示的数分别为，（），则线段的长（点到点的距离）可表示为． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图2，1个单位长度表示，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向左移动到达点，然后向右移动到达点．    (1)请直接写出A、B、C三点表示的数，并求出线段的长度； (2)若数轴上有一点，且，则点表示的数是什么？ (3)若点以每秒的速度向左移动至点，同时点，点分别以每秒和的速度向右移动至点，点，设移动时间为秒，试探索：的值是否会随着的变化而变化？请说明理由． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$