广东省普宁市勤建学校2024-2025学年高一6月学科竞赛数学试题

答案 1 C 2A 3D 4B 5B 6B 7A 8B 9ACD 10BC 11 BCD 1. C【详解】因为集合，共个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故答案是：C 2．A 【详解】由题意可知母线与圆锥底面的夹角为 ， 设底面半径为r，圆锥的高为h，母线长为l，则① ， 则圆锥的表面积为 ，将①代入，解得 ， 圆锥的体积为 ； 故选：A. 3 .D 【详解】略 4．B 【分析】根据空间中线线、线面和面面位置关系的判定定理和性质定理判断即可； 【详解】解：对于①根据可知①正确；对于②垂直于同一平面的两个平面可能平行也可能相交，所以②错误； 对于③如果一个平面内两个相交直线和另一平面平行，两个平面才平行，所以③错误； 对于④根据线面垂直的定义可知正确，所以正确的有2个， 故选：B． 5. 【答案】B 【详解】由三点共线，得：， 又， 所以有，解得. 故答案为：B. 6.【答案】B 【分析】取的中点，的中点，的中点，根据面面平行的判定定理，得到平面平面，确定线段扫过的图形是，再由题中数据，得到是直角，进而即可求出结果. 【详解】取的中点，的中点，的中点，则，， ∴平面平面， ∴平面，线段扫过的图形是 ∵，∴， ∴，∴是直角， ∴线段长度的取值范围是. 7．A 【详解】 和都是等边三角形； ,且∠AEC=60°， ; 所以D在底面ABC上的投影F为底面的外心； 所以四面体ABCD外接球的球心O一定在DF上； ; ;且F为底面的外心 ; ； 设四面体ABCD外接球的半径为R，中： ； 故选：A. 8.【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象,由图象判断出,根据,将转化为,令,再根据对勾函数性质即可求解. 【详解】作出函数的图象如图所示: 因为,且,由图可知, 因为函数的图象关于对称, 所以, 又因为, 所以, 则①, 令,则, 因为,所以, 所以①式可化为:, 根据对勾函数的性质,函数在是增函数,在是减函数, 又, 所以的取值范围是. 故选:B. 9. 【答案】 ACD 10.【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项. 【详解】解：由函数（）， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合， 由，得，即， 则，，，， 即， ，C正确； 对于A，，， ， 当时，在区间上有且仅有个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A错误； 对于B，周期，由，则， ， 又，所以的最小正周期可能是，故B正确； 对于D，，， 又， 又，所以在区间上不一定单调递增，故D错误； 故选：BC． 11．BCD 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 12.【答案】 【解析】 【分析】根据降幂公式、余弦两角和与差公式化简求值即可得答案. 【详解】 故答案为：. 13.【答案】 【分析】由题意可证得平面，则为直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】因为在直三棱柱中，平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 因为，， 所以为等腰直角三角形， 所以， 所以直线与平面所成的角为， 故答案为： 14.【答案】18 【解析】 【分析】构造函数，利用奇函数性质求值即可. 【详解】令，则为奇函数， 又，故， 由，得， 故. 故答案：18 15.（1）在上单调递减，证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用单调性定义：设并证明的大小关系即可. （2）由（1）及函数不等式恒成立可知：在已知区间上恒成立，即可求的取值范围． 【详解】（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设， 4分 ∵， ∴，，， ∴， ∴在区间上单调递减； 7分 （2）由（2）可知在上单调减函数， ∴当时，取得最小值，即， 对任意时，都成立，只需成立， ∴，解得：． 13分 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     4分 所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                     6分        （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            11分 同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 15分 17.【答案】（1）最大值，最小值1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由周期求出，再利用正弦函数性质求出最值即得. （2）由（1）的信息，求在上使成立的值仅只两个的的范围. 【小问1详解】 依题意，， 由的最小正周期是，得，解得， 4分 于是， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以的最大值为，最小值为1. 6分 【小问2详解】 由，得，当时，， 10分 由在内有且仅有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 15分 18．(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换公式进行化简求值. （2）根据正弦定理和三角形的面积公式进行求解. 【详解】（1）解：由题意得： 由正弦定理得， 所以， 3分 所以 又因为，所以. 所以 ，； 7分 （2）若，由正弦定理，得， 则，， 12分 则， 所以. 17分 19.(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）是奇函数，由恒成立，求a的值； （2）在上是连续增函数，结合由零点存在定理可证； （3）把零点代入函数解析式，有，由零点所在区间得，化简变形可得结论. 【详解】（1）由题意， ， 恒成立， 即， 化简得 ， 解得. 5分 （2）由题意， ， ∵，  ∴和在上都是连续增函数， ∴在上是连续增函数，                    又， ， 所以，由零点存在定理可知在上有唯一的零点. 10分 （3）由可知 ， 即， 由（2）可知 ， ∴， ，即，所以. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 勤建学校高一年级学科竞赛 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合，的所有子集构成的集合记为集合，则集合的非空真子集一共有多少个. A. 3 B. 4 C. 14 D. 16 2．若圆锥的表面积为，圆锥的高与母线长之比，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3.已知 3 2i 是关于 x 的方程 2x 2  px  q  0 的一个根，则 q  p （ ） A. -5 B. -1 C. 12 D.14 4．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则（ ） A. 9 B. C. D.13 6．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且，则线段长度的取值范围是 A． B． C． D． 7．四面体ABCD中，E为BD的中点，且∠AEC=60°，则四面体ABCD外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数若,且,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，可以作为基底，则 B．若，则 C．若，则 D．若与的夹角为，则或9 10. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A. 在区间上有且仅有个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 11．已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. __________. 13．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．    14. ，且则______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 16．如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 17. 设实数，函数. （1）若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； （2）若在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 19．已知函数， 其中为常数，且. (1)若是奇函数， 求a的值； (2)证明：在上有唯一的零点； (3)设在上的零点为，证明：. 试卷第1页，共3页 学科竞赛数学试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$