精品解析：上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题　

2024学年第二学期七年级学业质量调研 数学学科 （考试时间90分钟，满分100分） 考生注意： 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C. 面积相等的两个三角形是全等三角形 D. 一条线段有且仅有一条垂直平分线 3. 已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出 的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，厘米，那么的长度有可能是（ ） A. 8厘米 B. 7.2厘米 C. 6厘米 D. 5.4厘米 5. 一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为． 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 6. 如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “a与b的3倍的和不大于12”，根据题意列出的不等式是_______． 8. 命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是______命题 填“真”或“假” 9. 已知：如图，直线 交于点O，平分 ，，那么_______度． 10. 已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是 的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 11. 已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 12. 如果一个圆柱体的底面半径缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，那么它的侧面积的值将_______．（填“变大”或“变小”或“不变”） 13. 如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是_______． 14. 如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 15. 已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 16. 某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车_______分钟． 17. 定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 18. 已知：的三条边都不相等， ，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 三、解答题（本大题共8题，满分64分） 19. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 20. 已知：如图，在中，已知分别平分和 ，经过点M的直线平行于，交 分别于点D、E，， ． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 21. 如图，直线与直线 分别相交于点． 请你从① ；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 22. 水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升 立方厘米，π的值取3） 23. 已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 24. 已知：如图，点D在线段上， ， ，平分．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 25. 小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个 的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 26. 已知：如图1，点D是的中点， ，平分 ，点F在线段上，且 ． （1）求证： ； （2）如图2，连接，交于点G，如果 ，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期七年级学业质量调研 数学学科 （考试时间90分钟，满分100分） 考生注意： 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 已知 ，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐一分析选项． 【详解】解：因为 ， 两边乘以负数时，不等号方向改变，得 ， 所以A不成立； 因为 ， 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得 ， 所以B成立； 因为 ， 两边除以正数时，不等号方向不变，得， 所以C不成立； 因为 ， 当 和 为负数时，例如 ， ，此时 但，不成立， 所以D不符合题意． 故选：B． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C. 面积相等的两个三角形是全等三角形 D. 一条线段有且仅有一条垂直平分线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判断， 根据“正确的命题是真命题”逐一分析各选项是否为真命题，即可解答． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但它们不是对顶角，所以A不是真命题； B. 只有当两直线平行时，同位角才相等，题中未说明平行，所以B不是真命题； C. 面积相等的三角形不一定全等，例如底和高不同但面积相等的三角形，所以C不是真命题； D. 线段的垂直平分线过中点且垂直，由几何公理可知其唯一存在，所以D是真命题． 故选：D． 3. 已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明 ， ，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； 添加条件 ，则，即，则可利用证明 ，故A不符合题意； 添加条件，则可利用 证明 ，故B不符合题意； 添加条件 ，不可以利用证明 ，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明 ，故D不符合题意； 故选：C． 4. 在中，厘米，那么的长度有可能是（ ） A. 8厘米 B. 7.2厘米 C. 6厘米 D. 5.4厘米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的边角关系， 根据三角形中“大角对大边”的性质，结合已知条件分析的可能长度． 【详解】解： 在中，，由大角对大边定理可知，的对边大于的对边，已知厘米，因此厘米， 所以只有D选项5.4厘米满足此条件． 故选：D． 5. 一张直角三角形纸片，两条直角边长分别为a和，将纸片先绕长为b的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体甲；再绕长为a的直角边所在直线旋转一周，得到圆锥体乙，关于这两个圆锥体，有下列两个结论： ①甲、乙的侧面积之比为；②甲、乙的体积之比为． 对于结论①和②，下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①②都正确 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，圆锥的体积， 分别计算绕不同直角边旋转形成的圆锥的侧面积和体积，再求比值判断结论是否正确． 【详解】解：绕长为 的直角边旋转，底面半径，高，母线， 所以甲的侧面积，甲的体积； 绕长为 的直角边旋转，底面半径，高，母线， 所以乙的侧面积，乙的体积． 则侧面积之比：，故结论①正确； 体积之比：，故结论②正确． 综上，①②均正确． 故选：B． 6. 如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴ ， ∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. “a与b的3倍的和不大于12”，根据题意列出的不等式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，a与b的3倍的和为 ，不大于12，即小于等于12，据此可得答案． 【详解】解：“a与b的3倍的和不大于12”，根据题意列出的不等式是， 故答案为；． 8. 命题“等腰三角形两腰上的高线相等”的逆命题是______命题 填“真”或“假” 【答案】真 【解析】 【分析】正确的命题即为真命题，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：等腰三角形两腰上的高线相等的逆命题是如果一个三角形两条边上的高线相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题． 故答案为真． 【点睛】本题考查互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 9. 已知：如图，直线 交于点O，平分 ，，那么_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角的意义，角平分线的有关计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先根据邻补角和对顶角的意义求出，再根据角平分线求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴∴， ∵平分 ， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知：如图，在中，，分别是斜边上的高和中线，是的平分线，某同学想直接得到点B到直线的距离，那么他应该测量线段_______的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得： ， ∴ ， ∴点B到直线的距离为线段的长， 故他应该测量线段的长； 故答案为：． 11. 已知：如图，，三角尺的直角顶点在直线b上，，的度数为_______． 【答案】##46度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义可得 的度数，再由平行线的性质即可得到的度数． 【详解】解；如图所示，∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如果一个圆柱体的底面半径缩小为原来的，高扩大为原来的2倍，那么它的侧面积的值将_______．（填“变大”或“变小”或“不变”） 【答案】不变 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面积计算，设原来圆柱的底面半径为 ，原来的高为h，则现在的底面半径为r，高为，根据圆柱侧面积计算公式分别计算出变化前后的侧面积即可得到答案． 【详解】解：设原来圆柱的底面半径为 ，原来的高为h，则现在的底面半径为r，高为， 原来圆柱的侧面积为，现在圆柱的侧面积为， ∴变化前后圆柱的侧面积不变， 故答案为：不变． 13. 如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 14. 如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 15. 已知：如图，在中，，点D在边上，，图中共有_______个等腰三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用，根据等腰三角形的判定方法，等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴ ，， ∴，， ∴ 、 为等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形共3个． 故答案为：3． 16. 某城市一种共享单车的收费标准是：前15分钟收1.5元，往后每15分钟收1元，不满15分钟按15分钟算．一位同学电话手表中现有5元钱，在不欠费的前提下他用这些钱最多能骑行这种单车_______分钟． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了有理数的四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意可得，前15分钟收1.5元，依次往后可以行驶3个15分钟，总共花费4.5元，即可求解最多行驶时间． 【详解】解：由题意得，（分钟）， 故答案为：60． 17. 定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 18. 已知：的三条边都不相等， ，将沿直线翻折，点C恰好落在点E处，边的延长线与射线相交于点D，如果为直角三角形，那么的度数为_______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据为直角三角形分情况讨论是解题的关键．根据题意可分解析中图1，图2，图3，图4共四种情况，据此根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当 ，则， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，此时不符合题意； 如图2所示，当 时， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴； 如图3所示，当 时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 如图4所示，当，则， 由折叠的性质可得； 综上所述，的度数为 或或 ， 故答案为： 或或 ． 三、解答题（本大题共8题，满分64分） 19. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 ， 20. 已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交 分别于点D、E，， ． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______）． _______． （_______）． 同理可得_______． 周长 _______． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；； 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 21. 如图，直线与直线 分别相交于点． 请你从① ；②；③中选择其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并进行证明． 你选择作为已知条件的是：_______，作为结论的是_______．（填序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，选择①②作为条件，③作为结论，由垂直定义得到，再由平行线的判定即可得证，熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键． 【详解】解：你选择作为已知条件的是：①②，作为结论的是：③． 证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：①②，③． 22. 水是生命之源，有研究表明初中生按体重每日需水量为毫升/千克．根据小明的实际体重，扣除食物水分，营养师建议他每日直接饮水量为升；如果他用圆柱形水杯喝水（底面圆的直径为6厘米，高为10厘米），且每次盛满水并喝完，那么他每日需用这样的杯子喝多少杯水？（1升 立方厘米，π的值取3） 【答案】6杯 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱的体积计算，先计算出圆柱底面圆半径，进而求出圆柱的体积，再用需要的水的体积除以圆柱的体积即可得到答案． 【详解】解： 厘米， 立方厘米， 杯， 答：他每日需用这样的杯子喝6杯水． 23. 已知：如图，是等边三角形，点O是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，由等边三角形的性质得到，根据线段中点的定义得到 ，则可证明得到 ，进而可证明． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵点O是的中点， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ ， ∴，即． 24. 已知：如图，点D在线段上， ， ，平分．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和角平分线的定义可证明，再证明 ，即可证明，得到，据此可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和可推出，再由平角的定义可得，则，据此可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴． 25. 小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个 的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 【答案】（1）3； （2）B； （3）见解析 （4）8 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据题意作出图形结合等腰三角形的定义即可得到答案； （2）根据等腰三角形的等腰可得，则以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （3）作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （4）作出（1）（2）（3）的图形即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，一共有3个点符合题意， 由作图方法可得，故底边为； 【小问2详解】 解：∵作为的底边， ∴， ∴以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问4详解】 解：如图所示，一共有8个点符合题意； 26. 已知：如图1，点D是的中点， ，平分 ，点F在线段上，且 ． （1）求证： ； （2）如图2，连接，交于点G，如果 ，． ⅰ）当时，求四边形的面积； ⅱ）延长至点P，使，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①18；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点，先证明，然后证明，再证明，则，由得到 ； （2）①过点作 于点，则，由三线合一得到，根据平行线间的距离相等得到，，则，那么，则，再由即可求解； ②连接 ，过点 作交 延长线于点，则 ，先证明，再证明，再证明，则，根据平行线的距离相等得到，则，那么． 【小问1详解】 证明：延长交于点， ∵ ， ∴ ∵平分 ， ∴， ∴ ， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①过点作 于点，则 ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接 ，过点 作交 延长线于点，则 ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $