精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二下学期第四次月考数学试题

2024－2025学年第二学期高二年级第四次月考数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第70%分位数为92 D. 平均数为90.25 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 2. 复数的模为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 详解】. 所以复数的模为. 故选：D. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】当时，，故不是不等式的解， 不等式可化为，因为，故， 所以且， 所以且， 又， 所以. 故选：B. 4. 已知：，：方程有实数根，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程有实数根，则满足，解得， 所以是方程有实数根的充分不必要条件， 即是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，利用正切二倍角公式求出答案. 【详解】因为，若，所以， 则，所以． 故选：A． 6. 已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程的性质令可得； 【详解】由题意知，，解得，所以实数的取值范围是． 故选：A． 7. 已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 479 B. 480 C. 291 D. 290 【答案】B 【解析】 【分析】令，由基本量法求出通项，再由等差数列的前项和公式求出结果即可； 【详解】因为是数列的前项和，，且数列是公差为1的等差数列，令，可得， 所以， 所以． 故选：B． 8. 若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的值，再根据平移变换求出的最小值. 【详解】因为时函数取得最大值，则，解得. 所以， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到， ，函数为奇函数，则， 所以，当时，有最小值. 故选：D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解. 【详解】因，可得，即，解得或， 又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确； 数列的通项公式为，所以B正确； 则，所以C不正确； 由，则，，所以，所以D正确. 故选：ABD. 10. 下列选项正确的是（ ） A ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】结合导数的求导法则依次求解． 【详解】对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，由，得，故D项错误； 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以，即. 故答案为：. 13. 已知（为常数）在处取极值，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的导函数，求出导函数的零点即可得到极值点. 【详解】，因在处取得极值，所以，所以，，当时，无极值，时满足题意，所以. 故答案为0. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念． 14. 已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值. 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用题意可得，进而可得的值； （Ⅱ）利用题意可得，再利用正切的二倍角公式即可. 【详解】（Ⅰ）∵，∴， ∴. （Ⅱ）∵， ∴. 【点睛】本题考查了两角差的余弦，二倍角的正切，属于基础题. 16. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点求出即得. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算得证. 【小问1详解】 由椭圆：的离心率，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：， 由消去，得， 设，显然， 则，， 所以 . 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据中位线的性质可得，又，得，结合线面平行的判定定理即可证明； (2)建立如图空间直角坐标系，设，利用向量法分别求出平面、平面的法向量，根据空间向量数量积的定义求出面面角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系计算即可. 【小问1详解】 因为分别为的中点，所以， 在直角梯形中，因为，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 小问2详解】 由平面，平面，得，又， 建立如图空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，即， 设平面的法向量为， 则， 取，则，即， 设平面与平面所成角为， 则， 所以. 18. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解； （2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间； （3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. 【小问1详解】 ，则， 由已知，解得 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 所以，， 则在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，得， ①时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②时，，则在上单调递增； ③时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 方法一： 等价于 当时， 令 令，则在区间上单调递增 ∵， ∴存在，使得，即 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增 ∴ ∴，故 方法二： 当时， 令，则， 令，则 当时，；当时， ∴在区间上单调递减，上单调递增． ∴，即 ∴， 【关键点点睛】 解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 19. 有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取） （1）若，，求； （2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. 【答案】（1） （2）的最大值为，此时的值为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，要摘到那颗最大的麦穗，有两种情况，最大的麦穗是第3颗和最大的麦穗是最后1颗，分情况分析两种情况的可能性，结合古典概型即可求出结果； （2）记事件表示最大的麦穗被摘到，根据条件概率和全概率公式求出，再利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况. 要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况. ②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况. 故所求概率为. 【小问2详解】 记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗. 因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以. 以给定所在位置的序号作为条件，. 当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时. 当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时， 此时. 由全概率公式知. 令函数，. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以当，时取得最大值，最大值为，此时， 即的最大值为，此时的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期高二年级第四次月考数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第70%分位数为92 D. 平均数为90.25 2. 复数的模为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知：，：方程有实数根，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 设向量，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则（ ） A. 479 B. 480 C. 291 D. 290 8. 若函数在处取得最大值，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. D. 设函数且，则 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是中点，则 D. 当取最小值时， 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知（为常数）在处取极值，则的值为______________. 14. 已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为______. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值. 16. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点. （1）求的方程： （2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面AB，且分别为中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 19. 有一位老师叫他学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取） （1）若，，求； （2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$