精品解析：河南省南阳市社旗县2024—2025学年八年级数学下学期4月期中考试

2025年春期八年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 2. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 解分式方程时，去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数 y=-2x-3的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值________． 12. 若分式的值为0，则的值为_______． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 14. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为___________． 15. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使以，，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），那么点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 18. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 19. 某乡准备修一条长15千米的乡村公路．该工程将由甲工程队或乙工程队单独完成．甲工程队每天比乙工程队多修路0.5千米． （1）设乙工程队每天修路千米．请用含的代数式填表： 工程队 甲 乙 单独完成所需天数/天 （2）已知甲、乙两工程队每天的修路费用分别为1万元、0.8万元，若甲和乙单独完成这项工程所需费用相同，求单独完成这项工程甲工程队比乙工程队少用的天数． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 21. 为了学生的身体健康，学校新进了一批课桌椅，可以根据人的身高调节高度，配套课桌椅的高度都是按一定的关系科学设计的．桌椅的高度配套时，以每档的椅高的值为横坐标，桌高的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描点如图： （1）你认为桌高y与椅高x满足什么函数关系？请你求出这个函数的关系式（不要求写出x的取值范围）. （2）小明测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，说明理由；如果不配套，请说明可以如何调整桌子或椅子的高度使得它们配套． 22. 项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤：（1）选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． （2）每工作1h记录1次油箱内的油量． （3）分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间x/h 0 1 2 3 4 5 油箱内油量y/L 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： （1）通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内油量y（单位：L）是工作时间x（单位：h）的______函数．（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求出该挖掘机油箱内油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）若该挖掘机油箱内剩余12L油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 23. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期八年级期中教学质量评估试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：==． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘以或同除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题关键． 2. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】是绝对值小于1的正数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此可得． 【详解】0.00000065=6.5×10−7 故选：B 【点睛】本题考查的是绝对值小于1的正数如何用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：． 4. 解分式方程时，去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 5. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 6. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 7. 一次函数 y=-2x-3的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵y=-2x-3， ∴k＜0，b＜0， ∴y=-2x-3的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．一次函数图象的四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 8. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵， ∴当时，x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到，并结合分式方程的解满足最简公分母不为，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解是负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：． 10. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由图象知，客人距离厨房门口，选项说法正确，故不符合题意； B、由图象得，慧慧比聪聪晚出发，选项说法正确，故不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，选项说法不正确，故符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴，解得， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，由题意得出，由此即可得解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， x的值可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若分式的值为0，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件得出，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，掌握分式值为0的条件是解题的关键． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 14. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两点关于原点对称的坐标特征，待定系数法求正比例函数解析式，解题关键是掌握两点关于原点对称的坐标特征． 先根据两点关于原点对称，求出其中一个点的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，点和点， ∴，， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴这个正比例函数的表达式为， 故答案为：． 15. 如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，如果要使以，，为顶点的三角形与全等（点不与点重合），那么点的坐标是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，根据A、B、C的坐标和全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴D1的坐标是（-2，-1），D2的坐标是（4，-1），D3的坐标是（4，3）， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再算除法，最后计算加法即可； （）先算分式除法，再算分式减法即可． 【详解】（）解： ； （）解：原式 ． 17. 下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号；任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减，解题关键是掌握异分母分式的加减的法则． 任务一：根据异分母分式的加减法则是对解题过程逐一分析，再作出判断； 任务二：根据异分母分式的加减法则计算； 任务三：谈谈异分母分式的加减学习需要注意的地方． 【详解】任务一：解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号， 故答案为：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号； 任务二： ； 任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量． 18. 如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点A，点B的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题： （1）分别把点，点代入，可求出点A，B的坐标，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入中，得：， ∴点A的坐标为， 把点代入中，得：， ∴点B的坐标为， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数的解析式为， 【小问2详解】 解：根据一次函数和反比例函数图象，得： 当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， ∴的解集为或． 19. 某乡准备修一条长15千米的乡村公路．该工程将由甲工程队或乙工程队单独完成．甲工程队每天比乙工程队多修路0.5千米． （1）设乙工程队每天修路千米．请用含的代数式填表： 工程队 甲 乙 单独完成所需天数/天 （2）已知甲、乙两工程队每天的修路费用分别为1万元、0.8万元，若甲和乙单独完成这项工程所需费用相同，求单独完成这项工程甲工程队比乙工程队少用的天数． 【答案】（1）填表见解析 （2）1.5天 【解析】 【分析】（1）乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，用总长度除以每天修的长度，即可得出所需要的天数； （2）根据甲和乙单独完成这项工程所需费用相同，列出方程，解方程得出x的值，然后再分别求出甲、乙工程队单独完成所需要的天数，然后求出单独完成这项工程甲工程队比乙工程队少用的天数即可． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 甲工程队单独完成所需天数为， 乙工程队单独完成所需天数为， 填表如下： 工程队 甲 乙 单独完成所需天数/天 【小问2详解】解：由题意，得：， 解得， 经检验是所列方程的根且符合实际， 单独完成这项工程甲工程队所需天数（天）， 乙工程队所需天数（天）， （天）， 答：单独完成这项工程时，甲工程队比乙工程队少用1.5天． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，注意解分式方程要进行检验． 20. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】（1） （2） 画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： 【小问3详解】 解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 21. 为了学生的身体健康，学校新进了一批课桌椅，可以根据人的身高调节高度，配套课桌椅的高度都是按一定的关系科学设计的．桌椅的高度配套时，以每档的椅高的值为横坐标，桌高的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描点如图： （1）你认为桌高y与椅高x满足什么函数关系？请你求出这个函数的关系式（不要求写出x的取值范围）. （2）小明测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，说明理由；如果不配套，请说明可以如何调整桌子或椅子的高度使得它们配套． 【答案】（1）是一次函数关系. （2）不配套.将椅子的高度升高2cm才能配套. 【解析】 【分析】（1）设,利用图中的数据，建立方程组，即可求解． （2）令（1）中的或，求出函数值或自变量的值，再进行比较，作出判断即可． 【小问1详解】 解：是一次函数关系. 设函数表达式为. 把代入得： ，解得， 所以，函数表达式为． 【小问2详解】 解：不配套. 理由如下： 方法1：把代入得， 所以，桌子和椅子的高度不配套. ，将桌子的高度降低才能配套. 方法2：把代入得， 所以，桌子和椅子的高度不配套. ，将椅子的高度升高才能配套. 【点睛】此题考查一次函数的应用，难度中等，本题只需仔细分析题意，利用方程组即可求解． 22. 项目式学习 项目主题：探究某挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 项目背景：某挖掘机生产商为测试该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间，对该挖掘机进行了试验． 研究步骤：（1）选定试验挖掘机，在该挖掘机工作前将油箱加满并记录油箱内的油量． （2）每工作1h记录1次油箱内的油量． （3）分析数据，形成结论． 数据记录： 工作时间x/h 0 1 2 3 4 5 油箱内油量y/L 120 108 96 84 72 60 问题解决：请根据此项目实施的相关材料回答下列问题： （1）通过分析数据可知，在一定范围内该挖掘机油箱内油量y（单位：L）是工作时间x（单位：h）的______函数．（填“一次”“二次”或“反比例”） （2）求出该挖掘机油箱内油量y与工作时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． （3）若该挖掘机油箱内剩余12L油时，必须停止工作，前往加油站加油，求该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间． 【答案】（1）一次 （2）； （3）该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间为9h． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意得出函数解析式解题的关键． （1）根据题意可得在一定范围内该挖掘机油箱内油量y（单位：L）是工作时间x（单位：h）的一次函数； （2）利用待定系数法求出解析式即可； （3）把代入（2）中的解析式，求出值即可求解． 【小问1详解】 解：由表格知，每工作1 h，油箱内油量减少12 L， 所以在一定范围内该挖掘机油箱内油量y（单位：L）是工作时间x（单位：h）的一次函数； 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设该挖掘机油箱内油量y与工作时间x的函数解析式为， 把，和，代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为， 当，， 解得， ∴自变量x的取值范围为； 即； 【小问3详解】 解：当，， 解得， 答：该挖掘机在油箱加满油的情况下的最长工作时间为9h． 23. 某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． （1）求纪念品A、B的单价分别是多少元？ （2）商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】（1）纪念品A、B的单价分别是元和元 （2）A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【小问1详解】 解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． 【小问2详解】 解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $