精品解析：上海市普陀区2024--2025学年下学期八年级数学期终考试卷

2024学年第二学期八年级数学学科期终考试卷 （100分钟完成，满分100分） 一、单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，属于整式方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 一次函数的图像经过原点 B. 关于的方程有解 C. 直线与坐标轴有2个交点 D 投掷一枚骰子，恰好数字6朝上 4. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 在甲车出发2小时后两车相遇 D. 乙比甲车先到达地 6. 如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是___________． 8. 将一次函数的图像向上平移3个单位，平移后得到的新的函数解析式是___________． 9. 已知直线与直线平行，那么___________． 10. 方程的根是___________． 11. 方程的根是___________． 12. 已知关于x方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_______． 13. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 14. 在一个不透明的盒子中放入编号为1、2、3、4、5、6、7的七个球，它们除标号以外完全相同．充分混合后，从中取出一个球，标号为奇数的概率是___________． 15. 如图，在中，分别是的中点，且平分．如果，那么的长等于___________． 16. 平行四边形两邻边长分别为20和16，两条长边的距离是10，那么两条短边的距离等于___________． 17. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________． 18. 如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 三、简答题（本大题共有4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 如图，在中，点、、分别是边、、的中点． （1）写出图中所有与相等的向量：___________； （2）填空：___________； （3）求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 22. “半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，在中，，分别为边，中点，延长至点，使得，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2），如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 24. 如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． （1）直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； （2）点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； （3）直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 25. 小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． （1）折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； （2）转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期八年级数学学科期终考试卷 （100分钟完成，满分100分） 一、单项选择题（本大题共有6题，每题2分，共12分） 1. 下列函数中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】此题考查了一次函数．形如（、为常数，且）的函数为一次函数．根据一次函数的定义判断即可． 【分析】解：A. ，分母含，不符合一次函数形式； B. ，符合（，），是一次函数； C. ，不符合一次函数形式； D. ，含的二次项，不符合一次函数形式． 故选：B． 2. 下列关于的方程中，属于整式方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式方程的定义，解题关键是理解整式方程的定义． 根据整式方程的定义，需逐一分析各方程再作判断． 【详解】解：是整式方程，故A符合； 不是整式方程，故B不符合； 不是整式方程，故C不符合； 不是整式方程，故D不符合， 故选：A． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 一次函数的图像经过原点 B. 关于的方程有解 C. 直线与坐标轴有2个交点 D. 投掷一枚骰子，恰好数字6朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然发生的事件．逐一分析各选项是否符合必然事件的定义． 【详解】解：A：一次函数的一般式为，当且仅当时图像经过原点．若，则不过原点，因此该事件是随机事件． B：方程的解需分情况讨论．当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数解；当且时，方程无解．因此该事件可能发生也可能不发生，非必然． C：直线与y轴交于，与x轴交于，必定与坐标轴有2个交点，属于必然事件． D：骰子有6个面，数字6朝上的概率为，属于随机事件，非必然． 故选：C． 4. 下列式子中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的基本性质，包括相反向量、模长及向量运算．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A、与互为相反向量，故．但选项右侧为标量0，而非零向量，因此错误． B、向量的模长为非负数，而为负数或零，显然（除非模长为0，但一般非零），故错误． C、，则，显然不等于，故错误． D、向量与方向相反、长度相等，满足，故正确． 故选：D． 5. 甲、乙两车沿着相同路线从地前往地，两车行驶的路程与甲车出发后的时间的对应关系如图所示，那么下列结论中错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为 B. 乙车的平均速度为 C. 在甲车出发2小时后两车相遇 D. 乙比甲车先到达地 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实际问题的函数图象，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 根据图象中的信息逐项求解即可． 【详解】由图象可得，甲车的平均速度为，故A正确； 乙车的平均速度为，故B正确； 根据题意得， 解得， ∴在甲车出发2.5小时后两车相遇，故C错误； 由图象可得，乙比甲车先到达地，故D正确； 故选：C． 6. 如图，在等腰梯形中，，点为中点，联结，作交于点．如果，且，那么的长为．（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，过点A作于，过点D作于H，延长交于，可证明得到，，则，据此可求出，进而得到；求出，得到，则；证明四边形是矩形，得到，再证明，可得，则可求出． 【详解】解：如图所示，过点A作于，过点D作于H，延长交于 ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∴，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ． 故选：D． 二、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分） 7. 直线的截距是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，关键是明白截距的概念，以及求法．根据函数的截距就是，进行作答即可． 【详解】解：依题意，直线的截距是1， 故答案：1． 8. 将一次函数的图像向上平移3个单位，平移后得到的新的函数解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象的平移，根据函数图象平移的原则“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将一次函数的图像向上平移3个单位，平移后得到的新的函数解析式是， 故答案为： 9. 已知直线与直线平行，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了两条直线平行的条件：值相等，值不相等，解题的关键是熟练掌握两直线平行的条件． 根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 解得， 故答案：． 10. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 方程的根是___________． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了解无理方程，先把原式整理得，再运用因式分解法进行解方程，最后验根，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验：，，故是方程增根，舍去； ∴原方程的根为 故答案为： 12. 已知关于x的方程，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是_______． 【答案】y2-y-1=0 【解析】 【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变形为：， 去分母，得：y2-y-1=0， 故答案为：y2-y-1=0． 【点睛】本题考查了换元法．换元法解方程一般四步：设元（未知数），换元，解元，还元． 13. 一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°##720度 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为=6， 所以这个正多边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°， 故答案为：720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度． 14. 在一个不透明的盒子中放入编号为1、2、3、4、5、6、7的七个球，它们除标号以外完全相同．充分混合后，从中取出一个球，标号为奇数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商成为解题的关键． 随机摸出一个小球共有7种等可能结果，其中摸出标号为奇数的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：在一个不透明的盒子中放入编号为1、2、3、4、5、6、7的七个球，充分混合后，从中取出一个球，标号为奇数的有1、3、5、7共4种，所以标号为奇数的概率是． 故答案为：． 15. 如图，在中，分别是的中点，且平分．如果，那么的长等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可得出，结合平行线的性质和角平分线的定义得出，即可证，即得出． 【详解】解：∵点分别是的中点， ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质．熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 平行四边形两邻边的长分别为20和16，两条长边的距离是10，那么两条短边的距离等于___________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质，理解两条长边的距离和两条短边的距离即为分别以长边和短边为底时该平行四边形的高是解题关键．根据平行四边形面积的求法列方程求解即可． 【详解】解：设两条短边的距离为h， 以长边为底，该平行四边形的面积为；以短边为底，该平行四边形的面积为， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其“短距”是否为1即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ∵， ∴点A的“短距”为1， ∵两点为“等距点”， ∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1， ∵点B在第三象限， ∴点B的横纵坐标都为负， 在中，当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为1，符合题意； 当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为0，不符合题意； ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 三、简答题（本大题共有4题，每题6分，满分24分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握分式方程和一元二次方程的解法和步骤是解题关键．将原分式方程化为整式 方程，再根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 经检验：是原方程的增根，舍去：是原方程的解 所以原方程的解是． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考出了解方程组，将原方程化成成为解题的关键． 先将原方程组化成，然后运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 原方程组化为， 得：，解得：； 把代入②可得：，解得：， 该方程组的解为． 所以原方程组的解是． 21. 如图，在中，点、、分别是边、、的中点． （1）写出图中所有与相等的向量：___________； （2）填空：___________； （3）求作：．（不要求写作法，但要写出结论） 【答案】（1） （2）0 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的定义、三角形法则求向量等知识点，熟练掌握向量的定义以及线性运算是解题的关键． （1）根据中位线的性质得出，，即可求解； （2）根据三角形法则求向量的和即可解答； （3）连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：∵在中，点、、分别是边、、的中点， ∴，， ∴与相等的向量是：、． 故答案为：、． 【小问2详解】 解：∵在中，点、、分别是边、、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解： 如图，即为所求，     ∵， ∴即为所求． 22. “半马苏河步道”是上海市普陀区依托苏州河岸线打造的城市滨水景观廊道，全长21千米．小普和小陀两位同学沿着该步道行走健身，如果小普的平均步行速度比小陀的平均步行速度快1千米/时，并且小普比小陀提前42分钟走完全程，请你分别求出小普和小陀的平均步行速度． 【答案】小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设小普的平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时．根据小普比小陀提前42分钟走完全程为等量关系列出分式方程求解即可得出答案． 【详解】解：设小普平均步行速度是千米时，则小陀的平均步行速度是千米时． 因为42分钟小时， 由题意， 即 即 解得 经检验：都是原方程的根， 但不合题意，应舍去， 所以小陀的平均步行速度（千米/时） 答：小普的平均步行速度是6千米/时，小陀的平均步行速度是5千米/时． 四、解答题（本大题共3题，第23、24题每题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2），如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定及菱形的判定， （1）先证明，进而得出，即可证明结论； （2）联结，得出互相平分，进而得出，即可证明结论； 【小问1详解】 证明：分别为边的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 联结； ∵四边形是平行四边形， 互相平分， ∵， ，即， ∵四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形. 24. 如图，已知点，点，点在轴负半轴上，，点为直线上一点． （1）直线的表达式为___________；直线与轴的夹角等于___________度； （2）点为平面内任一点，如果以点A、、、为顶点的四边形是正方形，直接写出点的坐标是___________； （3）直线与轴交于点，当的面积是面积的2倍时，求出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质、腰直角的判定与性质等知识点，灵活运用二次函数的图象与性质以及数形结合是解题的关键． （1）根据，求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可，再求得，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）分是正方形的边、是正方形的对角线两种情况，分别利用正方形性质即可求解； （3）当点M在y轴的正半轴和负半轴时，分别根据三角形等分点的性质列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ，， ∵， ， ， ∵点C在y轴负半轴上， ∴， 设直线的解析式是， ，解得， ∴直线的解析式为； ∵， ∴直线与轴的夹角等于45． 【小问2详解】 解：①当是正方形的边时，对应的正方形为， ∵点，点， ， ，； ②当是正方形的对角线时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， 线段和线段互相垂直平分， 点P、Q的横坐标为， ，． 综上所述，Q点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图：当点M在y轴的正半轴时，此时点P在第三象限． 设，， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即A为的中点， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 如图：当点M在y轴的负半轴时，此时点P在第三象限． ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ，解得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 25. 小普在综合与实践课上，参加了以“神奇的正方形”为主题的数学活动，通过“折、转、探”等方式研究有关正方形折纸的有趣结论． （1）折一折：如图-1，小普将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，联结．那么___________度；如果，那么的长度等于___________； （2）转一转：小普将图-1中的绕点旋转，使它的两边分别交直线于点． ①如图-2，当点、在边、上，联结．如果，求的面积； ②探一探：联结，射线、分别交对角线所在直线于点、，且点在正方形内部．正方形的边长，联结．如果是等腰三角形，请直接写出线段的长度___________．（用含有字母的代数式表示） 【答案】（1），； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）如图1，延长至点，使，连接，设，证明和，根据勾股定理得：，列方程即可解答； （2）①如图2，延长至点Q，使，连接，过点A作于点E，同理得：，根据勾股定理列方程得，解方程可得a的值，证明，根据三角形的面积公式即可解答； ②分两种情况：i）如图3，，过点M作于点G，则，设；ii）如图4，，正确画图根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，延长至点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠得：， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形是正方形，且边长， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴（舍）， ∴， 故答案为：45，； 【小问2详解】 ①如图2，由旋转得：， 延长至点Q，使，连接，过点A作于点E， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； ②分两种情况： i）如图3，，过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）如图4，， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，线段的长度或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$