暑假预习专题04 集合的运算（3知识+9题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题04 集合的运算 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”“U”“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 3.会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想.(难点) 知识点1 交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 求两个集合的交集的方法 (1)对于有限集,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)对于无限集,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 知识点2 并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 知识点3 全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 题型一、交集的概念及运算 例1已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1-1（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 1-2（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 1-3（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 题型二、根据交集结果求集合或参数 例2（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 2-1集合，，若，则实数 ． 2-2（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 2-3已知集合，． (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 题型三、并集的概念及运算 例3（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 3-1已知集合，则 ． 3-2（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 3-3（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 题型四、根据并集结果求集合或参数 例4（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 4-1（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 4-2（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 . 4-3已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 4-4（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 题型五、根据并集结果求集合元素个数 例5设集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 5-1已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5-2已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 5-3满足条件 的集合的个数是 ． 5-4集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 题型六、补集的概念及运算 例6设全集，若集合，则 ． 6-1（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 6-2（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 6-3（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 6-4（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则 . 6-5（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 6-6（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ． 6-7（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 题型七、根据补集运算确定集合或参数 例7若全集，，，则的值是 ． 7-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 7-2设，，，则实数的值是 . 7-3设，，，则实数的值是 . 7-4（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 7-5（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 7-6（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 7-7已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 题型八、交并补混合运算 例8（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 8-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 8-2（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 8-4（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则 ． 8-5（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，全集，集合，，若，求的值. 题型九、根据交并补混合运算确定集合或参数 例9若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 9-1（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 9-2已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 9-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 9-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 9-5已知全集，，，且，求的值． 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 7．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 8．（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题04 集合的运算 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”“U”“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 3.会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想.(难点) 知识点1 交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 求两个集合的交集的方法 (1)对于有限集,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)对于无限集,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 知识点2 并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 知识点3 全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 题型一、交集的概念及运算 例1已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 1-1（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【答案】 【分析】由集合交集可得答案. 【详解】由交集定义，结合，则. 故答案为： 1-2（24-25高一上·上海虹口·期末）已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 1-3（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合 ，则 【答案】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案. 【详解】依题意，. 故答案为： 题型二、根据交集结果求集合或参数 例2（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 【答案】/0.0625 【分析】利用可得，再结合两个集合的约束条件求出即得. 【详解】由，得，因此方程与为同一方程， 则，解得， 所以. 故答案为： 2-1集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意． 【详解】，则，所以，，此时满足题意． 故答案为：． 2-2（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果. （2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1） （2） 2-3已知集合，． (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据真子集定义即可求出的取值范围； （2）根据子集定义即可求出的取值范围. 【详解】（1）若是的真子集，根据真子集定义，的范围要完全在的内部，且，故． （2）若，即， 由图知． 题型三、并集的概念及运算 例3（24-25高一上·上海金山·期末）集合，，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 3-1已知集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合B，再应用并集定义计算即可. 【详解】． 故答案为：. 3-2（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 3-3（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】 【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 题型四、根据并集结果求集合或参数 例4（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据集合并集的定义即可求. 【详解】因为，， 所以. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 4-1（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足则实数的值为 ． 【答案】1或或0 【分析】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【详解】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或 故答案为：1或或0 4-2（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故答案为：. 4-3已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 【答案】(1) (2)不存在． 【分析】（1）先求，然后结合数轴和，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）由（1）知的范围，从而可以得出，这与矛盾，从而得解. 【详解】（1）因为，所以或． 因为．（如图） 所以，所以．即的取值范围是． （2）由（1）知当时，，而， 所以，这与矛盾． 即这样的不存在． 4-4（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【详解】（1），或， 所以或， 即； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知. 题型五、根据并集结果求集合元素个数 例5设集合，，则中元素的个数为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先求出，数出元素的个数即可. 【详解】，， ，则中元素的个数为4. 故选：D 5-1已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据并集的概念和运算即可. 【详解】由， 得，共6个元素. 故选：C 5-2已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 5-3满足条件 的集合的个数是 ． 【答案】 【解析】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案. 【详解】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素. 所以或，或，或； 满足条件的集合M的个数是4． 故答案为：． 5-4集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 【答案】11 【分析】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素， 所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为. 故答案为：. 题型六、补集的概念及运算 例6设全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】结合题意，由补集的运算直接求出即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 6-1（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，且，则. 故答案为： 6-2（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【答案】； 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 6-3（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【答案】 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 6-4（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】，，， ， . 故答案为：. 6-5（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论． 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：． 6-6（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ． 【答案】 【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解. 【详解】由题意得，， ∵ ∴， ∴. 故答案为：. 6-7（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 题型七、根据补集运算确定集合或参数 例7若全集，，，则的值是 ． 【答案】2或8 【分析】由即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得或. 故答案为：2或8. 7-1（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的交集运算和补集运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以， 又全集，所以. 故答案为：. 7-2设，，，则实数的值是 . 【答案】8 【分析】根据全集，补集概念得即可解决. 【详解】由题知：，，， 所以 ，得 ， 故答案为：8. 7-3设，，，则实数的值是 . 【答案】或 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】解：因为，，， 所以，解得或. 故答案为：或. 7-4（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 7-5（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，， 所以， 解得，或， 当时，，，不是的子集， 不成立，所以； 当时，，，，成立； 所以. 7-6（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 【答案】存在实数a，使得.理由见解析. 【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【详解】存在实数a，使得.理由如下： 由题意， 所以或， 又因为当时，，不符合条件，故舍去； 当时，，，符合条件； 综上，存在实数a，使得. 7-7已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 题型八、交并补混合运算 例8（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 8-1（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 【答案】 【分析】首先求并集，再求补集. 【详解】，所以. 故答案为： 8-2（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【分析】根据题意画出韦恩图即可得知. 【详解】，，作出韦恩图，如图所示：    则. 故答案为： 8-4（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则 ． 【答案】． 【分析】结合交集、补集的定义，即可求解． 【详解】全集，， 则， 集合， 则． 故答案为：． 8-5（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，全集，集合，，若，求的值. 【答案】 【分析】首先得到计算出，然后再根据补集的概念得出计算出. 【详解】，所以且，所以， 把代入到集合中，则集合， 所以，即，所以，把代入集合， 则集合，符合， 所以符合题意， 综上，，. 题型九、根据交并补混合运算确定集合或参数 例9若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 9-1（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合 . 【答案】 【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故， 故答案为： 9-2已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用交集的定义直接求解，再求出集合的补集，然后由，列不等式组可求出实数b的取值范围. 【详解】因为，，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以． 故答案为：；． 9-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 9-4（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 9-5已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 2．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集； ②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对①，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断；对②，根据交集，并集运算，真子集的关系判断；对③，根据子集的定义判断；对④，设，，讨论，求解判断. 【详解】对于①，因为0是集合中的元素，所以，故①错误； 对于②，当时，，此时不是的真子集，故②错误； 对于③，当时，，且，故③错误； 对于④，，当，时，则除以4的余数为0， 当时，则除以4的余数为1， 综上，除以4的余数为0或1，故④正确. 所以真命题个数为1. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 故选：D 4．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，， (1)试求实数a的取值范围，使； (2)若为整数集，是否存在正数，满足？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在,理由见解析； 【分析】（1）解不等式可得集合，再对实数a的取值范围进行分类讨论即可得出论； （2）由（1）中的结论并根据交集结果分类讨论即可求得结果. 【详解】（1）解不等式可得， 解不等式可得或， 因此可得； 当时，，不合题意； 当时，解得， 若，可得，解得； 当时，解得， 若，可得，解得； 综上可知，实数a的取值范围为或； （2）由（1）可知或， 显然，且； 因此只需满足即可， 又因为a为正数， 可知时，，因为 可得，解得，此时无解； 因此不存在满足题意的 6．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或, 故答案为：或或 【点睛】思路点睛：解决集合新定义问题，要合理利用集合的性质，正确理解新定义，剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 【答案】或 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且， 可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得； 综上所述：或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类. 8．（24-25高一上·上海·期中）若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$