暑假预习专题11 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解（6知识+7题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题11 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 题型一、解不含参数的一元一次不等式 例1（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 1-1（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 1-2（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是 . 1-3（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则的取值范围为 ． 题型二、解含参数的一元一次不等式 例2（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 2-2（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 2-3（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 题型三、一元二次不等式的概念及辨析 例3（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 3-1（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式：形如 的不等式统称为一元二次不等式，其中、、为实数，且． 3-2（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 3-3（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式在求解时应当注意些什么？ 3-4（20-21高一上·上海·课后作业）解下列不等式： （1）；          （2）；         （3） 题型四、解不含参数的一元 二次不等式 例4（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 4-1（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4-2（24-25高一上·上海金山·阶段练习）设，则方程的解集为 ． 4-3（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 4-4（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 题型五、解含有参数的一元 二次不等式 例5（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 5-2（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 5-4（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 题型六、由一元二次不等式的解确定参数 例6（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 6-1（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 6-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为 . 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 6-4（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 题型七、一元二次方程根的分布问题 例7（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 7-1（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 7-2（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 7-3（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 7-4（24-25高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 1.（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 2．（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 5． （24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 1．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 3．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题11 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 一元一次不等式的求解 在含有未知数的不等式中,能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集,求一元一次不等式解集的过程称为一元一次不等式的求解或解一元一次不等式. 形如 的式子叫做一元一次不等式，有四种形式：、、 、 . 一元一次不等式组的求解 将含有相同未知数的多个不等式联立起来,就得到不等式组，求一元一次不等式组解集的过程称为一元一次不等式组的求解. 最简单的一元一次不等式组的四种解集的情况 不等式组 图示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小小大 中间找 大大小小 是空集 含参一元一次不等式(组)的求解 含参不等式求解通常需要对参数进行分类讨论，引起分类讨论的原因在于不等式的性质，注意讨论时要考虑周全. 特殊一元二次不等式的求解 定义 设a , b , c为实数，且 ，形如 或 的不等式统称为一元二次不等式． 特别地，形如 的求解，遵循＂大于分两边，小于夹中间＂的原则． （1）＂元＂是指不等式中所要求解的未知数．一元就是指未．知数个数为 1 ，这里即 ，但不等式中也可以包含其他字母，如 、、 等，这里的 、、 为系数，即为常数． （2） ＂次＂是指不等式的最高次项的次数，这里的最高次项为 ，次数为 2 ，即二次．注意二次项系数不为 0 ，即 ．若 ，则二次项不存在，不等式实质为一元一次不等式 （其中 ）．在解题的要注意，若未说明二次项系数不为 0 ，则需分类讨论，求不等式的解集． 利用一元二次方程的判别式讨论一元二次不等式的解集 设方程 的判别式 0 或 ，其两根记为 、 ，且 ，一元二次不等式的求解结果总结成下表： 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 解集为 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 一元二次方程 的两根为 、 且 ，其解按照 可分三种情况．相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 类别 . 二次函数 的图像 一元二次方程 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 . 题型一、解不含参数的一元一次不等式 例1（24-25高一上·上海·期末）不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 1-1（24-25高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 1-2（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，当时，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用并集和解不等式的知识求解即可. 【详解】当时，则 又则解得， 则实数a的取值范围是 故答案为： 1-3（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用不等式性质得解. 【详解】由于，根据不等式性质得到. 故答案为：. 题型二、解含参数的一元一次不等式 例2（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 2-1（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 2-2（24-25高一上·上海·期中）若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 2-3（24-25高一上·上海·随堂练习）解关于的不等式，其中． 【答案】答案见解析 【分析】对一次项系数进行分类讨论，分三类求对应解集. 【详解】原不等式整理为． 当时，解得，解集为， 当时，解得，解集为， 当时，则，为任意实数，解集为． 题型三、一元二次不等式的概念及辨析 例3（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 3-1（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式：形如 的不等式统称为一元二次不等式，其中、、为实数，且． 【答案】（，或） 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的定义，即可求解. 【详解】略： 3-2（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为. （1）的取值范围为 ； （2）用表示，为 ； （3）不等式的解集为 ； （4） 0；（填“”或“”） （5）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据解集判断；再结合韦达定理得出关系；求解一次不等式；根据解集判断不等关系；消参解一元二次不等式即可. 【详解】（1）关于的不等式的解集为，因为解集在两根之外，所以. （2）由题可知-3，4是的两根， 由根与系数的关系可得所以 （3）由（2）得，即，所以，即的解集为. （4）由于关于的不等式的解集为，故时，.即. （5）由以上分析可知不等式即. 因为，故，所以或.故不等式的解集为. 故答案为： 3-3（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式在求解时应当注意些什么？ 【答案】求解时注意将二次项系数化正，然后结合图像写解集． 【分析】借助相对应的二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，在解一元二次不等式时应该注意开口方向和根的大小，以及解集的表达. 【详解】解形如或的一元二次不等式，一般可分为三步: ①确定对应方程的解; ②画出对应二次函数图象的简图; ③由图象写出不等式的解集. 所以在求解过程中，要注意考虑对应的二次函数图象的开口方向(或)， 如果是二次项系数是负数，则需利用不等式的性质化二次项系数为正系数， 然后再根据对应的一元二次方程的判别式符号、两根的大小关系，来表示一元二次不等式的解集， 此时要注意不等号的方向， 最后一个要特别注意的是判别式为负数或零时，解集的表示形式有空集，全集等特殊形式. 3-4（20-21高一上·上海·课后作业）解下列不等式： （1）；          （2）；         （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集. 【详解】（1）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；          （2）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；         （3）等价于等价于，解得：，所以不等式的解集为. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题. 题型四、解不含参数的一元 二次不等式 例4（24-25高一上·上海金山·期末）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 4-1（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 4-2（24-25高一上·上海金山·阶段练习）设，则方程的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质结合二次不等式的解法求解． 【详解】， 则等号成立的条件为． 故答案为：． 4-3（24-25高一上·上海金山·阶段练习）若不等式的解集是，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知不等式的解集得相应二次方程的根，从而求得，然后再解不等式可得． 【详解】不等式的解集是， 是方程的两根， 由根与系数的关系可得，解得， 则化为，解得． 的解集为． 故答案为：． 4-4（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 题型五、解含有参数的一元 二次不等式 例5（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较的大小即可得解. 【详解】时，，不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 5-1（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 5-2（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以. （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 5-3（24-25高一上·上海·阶段练习）设：实数满足；：实数满足． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用绝对值不等式的几何意义，求出的解即可； （2）先求出的范围，再根据q是p的充分不必要条件，列不等式组求解. 【详解】（1）表示数轴上的数对应的点到数对应点的距离之和， 又数和对应点到数对应点的距离之和为， 所以实数的取值范围是； （2）由得， 又，此时. 由（1）知，， 因为q是p的充分不必要条件， 则有，即，解得. 5-4（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【点睛】方法点睛： 利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系. 不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集. 题型六、由一元二次不等式的解确定参数 例6（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 6-1（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式中化简求解集即可． 【详解】不等式的解集为， 所以和1是的实数根，且， 所以，可得， 所以不等式可化为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 6-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】根据一元二次不等式的解集为， 可得的根为， 则，所以， 不等式为， 解集为或， 故答案为：. 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意可得为方程的根，且，进而结合韦达定理求出，，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，解得，， 则不等式为， 即，即，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 6-4（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 题型七、一元二次方程根的分布问题 例7（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与时讨论，当时，令判别式大于等于零即可； 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 7-1（24-25高一上·上海徐汇·期中）已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解. 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 7-2（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 7-3（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【分析】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【详解】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3 7-4（24-25高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可； （2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； 【详解】（1）由，记； 由，记． 因为是的必要不充分条件，所以，则 且等号不同时成立，解得， 综上，的取值范围为； （2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则 ，解得； 若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立； 当时，，解得，于是的范围是． 若真假，则， 若假真，则， 综上，若一真一假，则． 1.（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】画出数轴即可求解. 【详解】利用数轴，画出，如下图， 由一元一次不等式组的解为，可知. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）求不等式组：的解集，并把解集表示在同一数轴上． 【答案】解集为，图象见解析. 【分析】解一元一次不等式，再求交集即可，最后画出数轴即可. 【详解】解出不等式①②得，解集为， 数轴表示如下． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，关于的不等式的解集为. (1)若，求的取值范围； (2)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可； （2）由题意可得，且方程有两个不相等的负根，然后根据根与系数的关系列不等式组可求得结果. 【详解】（1）当时，或， 当时，恒成立， 当时，不恒成立，舍去， 当时，，得或， 综上，的取值范围为， （2）根据不等式的解集形式可知： 或， 不等式解集的两个端点就是对应方程的根， 即，有两个不相等的负根， 所以， 即，解得， 则的取值范围为. 1．对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，． (1)求，的值； (2)若，解不等式组． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可； （2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题意，可知， ， 解得，； （2）由（1）知，， 因为， 所以，， 所以，， 所以． 所以， ， 由，得， 由，得， 综上，原不等式组的解集为. 2．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的性质对的范围进行分类讨论即可求解； （2）由恒成立，不等式可化为，然后结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求． 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 3．（24-25高一上·上海·期中）设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 2 / 27 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$