1.1菱形的性质与判定第3课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.1 菱形的性质与判定 第3课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题,并掌握菱形面积的求法;(重点) 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法.（难点） 知识回顾 菱形的性质： 边 角 对角线 对称性 对边平行，四条边都相等. 对角相等，邻角互补. 对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角. 既是中心对称图形，也是轴对称图形(2条对称轴). 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . 知识回顾 A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 菱形的判定: A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 情境引入 问题：如图，有一块菱形的草地 ABCD，其对角线 AC 与 BD 相交于点 O，已知 AC = 8m，BD = 6m，现在要在这块草地上种植鲜花，每平方米的种植成本是 50 元，那么种植这块草地的鲜花总成本是多少？ A B C D O 分析：要求出种植这块草地的鲜花总成本，需要先求出这块菱形草地ABCD的面积. 思考：如何求出菱形ABCD 面积？你有什么方法？ 问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? A B C D 新知探究 探究一：菱形的面积 能.过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. E 思考：菱形被它的一条对角线分成两个什么样的三角形？它们之间有什么关系？ 两个等腰同底的等腰三角形，它们两个全等. 新知探究 A B C D O 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC(BO+DO) =AC·BD. 你有什么发现？ 问题2：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC把菱形ABCD分成等腰三角形ABC和等腰三角形ADC,试用两个等腰三角形的面积和推导菱形的面积. 新知探究 菱形的面积： 知识归纳 方法一：菱形的面积 = 底×高. S菱形ABCD=BC·AE. A B C D E O 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半. S菱形ABCD=AC·BD. 新知探究 解:(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E， ∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直), ∴AC=2AE=2×12=24(cm). 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 例 求:(1)对角线AC的长度; (2)菱形ABCD的面积. D B C A E ∴DE=BD=5(cm)(菱形的对角线互相平分), ∴AE=(cm). 新知探究 (2)菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△ABD的面积 =2×△ABD的面积 =2××BD×AE =2××10×12 =120(cm²). D B C A E 应用菱形面积公式求解： S菱形ABCD的面积=×AC×BD =×24×10=120(cm²). 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm D A B C E 新知探究 B 做一做 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ 新知探究 探究二：菱形的性质与判定的综合应用 是菱形. F E A C D B 新知探究 分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD. 你能写出证明过程吗？ 新知探究 F E A C D B 证明：∵由题意知AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC， 分别过A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB=∠AFD=90°, 由题意得AE=AF， ∴△ABE≌△ADF(AAS)， ∴AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 2.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD. 若测得AB＝5 cm，则四边形ABCD的周长为 cm. 新知探究 20 新知探究 解决菱形问题的常用方法： 知识归纳 ①转化为直角三角形，利用勾股定理求解； ②转化为等腰三角形，利用三线合一求解； ③有60°角的菱形能转化为等边三角形求解. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8 cm．求：（1）两条对角线的长度； 例1 典例分析 解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC=×180°=60°， ∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形. ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， ∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm， OB=(cm). ∴BD=2OB= cm； 典例分析 （2）S菱形ABCD=AC•BD =×2× = （cm2）． （2）菱形ABCD的面积． 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 例2 A B C O D 典例分析 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴OA ===. ∴AC=2OA=6（菱形的对角线相互平分）. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD=BD =×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 巩固练习 基础巩固题 1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　) A.4　　         B.2.4　　      C.4.8  　　  D.5 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC和CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为（     ） A.        B.        C.        D.3. C B 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（A　） A. （3，4） B. （4，3） C. （2，3） D. （2，4） 3.已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（D　） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 巩固练习 基础巩固题 D A 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形. 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形. 根据两人的作法可判断(　　) A.甲正确，乙错误              B.甲错误，乙正确 C.甲、乙均正确                D.甲、乙均错误 巩固练习 基础巩固题 C 7.如图，两张宽度均为2 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 cm. 6.如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　     （填序号）. 巩固练习 基础巩固题 ② 16 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； A B C D E F 巩固练习 基础巩固题 (1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. 巩固练习 基础巩固题 (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为， ∴菱形的面积为4×=. (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． A B C D E F 课堂小结 菱形的性质与判定3 菱形的面积 解决菱形问题的常用方法： ①转化为直角三角形，利用勾股定理求解； ②转化为等腰三角形，利用三线合一求解； ③有60°角的菱形能转化为等边三角形求解. 菱形的性质与判定的综合应用 方法一：菱形的面积 = 底×高. 方法二：菱形的面积= 对角线乘积的一半. 作业布置 1.必做题：习题1.3第1-4题。 2.探究性作业：习题1.3第5题。 感谢聆听! $$