专题19圆心角与圆周角（9大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题19圆心角与圆周角（9大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.弧、弦、圆心角的关系（重点） 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等． 要点归纳： 运用弧、弦、圆心角之间的关系，轻松证明相等问题 (1)在同圆或等圆中，证明等孤的问题目前可以有三种途径，一是由垂径定理得到等孤，二是证明弧 所对的圆心角相等，三是证明孤所对的弦相等. (2)在同圆或等圆中，当证明等弦、等角的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要 善于利用孤、弦、圆心角三者的相关定理. 知识点2.圆周角 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 要点归纳： (1)圆周角定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条孤联系在一起的，故不能把“一条孤所对的”去掉 (2)同一条孤所对的圆周角有无数个，它们都相等，但注意不要误以为“同一条弦所对的圆周角都相等”，一条弦(非直径)所对的圆周角有两类，它们是相等或互补的关系，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补 知识点3.圆内接多边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接 1.圆内接四边形的对角互补． 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 温馨提示： (1)内接与外接是相对的概念，描述的是图形的位置关系. (2)每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 方法总结：圆中求角的四个常用思路 (1)同孤所对的圆周角相等； (2)一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (3)圆内接四边形的对角互补； (4)同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角. 18圆心角与圆周角 【类型一】圆心角与圆周角的概念 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 【类型2】弧、弦、圆心角之间的关系 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据弧、弦、角的关系即可判断． 【详解】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确； ②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确； ③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确； ④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确； 故选：D 【点睛】本题考查弧、弦、角的关系．熟记相关结论是解题关键． 【类型3】有关弧、弦、圆心角的计算 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，弧与圆心角之间的关系，根据，则可得到． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 9．（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质（等弧对等弦）、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等弧对等弦和三角形内角和定理是解题的关键．本题根据同圆中弧相等则对应的弦相等，得出，从而判定为等腰三角形，再利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为来计算的度数． 【详解】解： （同圆中，等弧所对的弦相等） 是等腰三角形，（等腰三角形两底角相等） ，且（三角形内角和定理） 故选： ． 10．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 12．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 【类型4】有关弧、弦、圆心角的证明 13．（21-22九年级上·吉林·期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】由知，得到，即可得出． 【详解】解：， ，即， ． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 15．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用，，得出，，即可得，即可证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 16．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，勾股定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意得，进而问题可求证； （2）连接，垂径定理得到，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， 即， ； （2）解：连接， ，， ． ． 【类型5】圆周角定理 18．（2025·广西钦州·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵是的直径，， ∴． 故选：B． 19．（2025·青海西宁·二模）如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半，根据，所对的弧都是弧，即可解答． 【详解】解：∵，所对的弧都是弧，， ∴， 故选：B． 20．（2025·陕西商洛·二模）如图，是的内接三角形，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握圆周角定理、平行线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，由圆周角定理求出的度数，再由三角形内角定理和等腰三角形的性质求出的度数；根据平行线的性质得到的度数，最后根据计算的度数即可． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 21．（2025·四川南充·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆周角定理，根据已知可得，根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型6】圆周角定理的推论 22．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 23．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，为的直径，C，D为上两点，，连接，，则的度数为（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理的推论，熟悉相关知识点是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得出，再结合及圆周角定理可求的度数． 【详解】为的直径， ， 又， ， ． 故选：C． 24．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，是的直径，，为上同侧的两点，连接，，，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，先由等弧所对的圆周角相等求出，再求出，然后再根据等弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选D． 25．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 如图，连接，根据为的直径，得出，从而求出，根据得出，即可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【类型7】圆周角的有关计算与证明 26．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，的三个顶点都在上，，，为的直径，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，等边对等角求出，圆周角定理得到，，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：，， ， ， 又为直径， ， ， ． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 【类型8】圆内接四边形 28．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 29．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 30．（2025·安徽安庆·二模）如图，是直径，点、、在半圆上，若，则 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 连接，根据直径所对的圆周角为90度可得，进而可得，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径，点在半圆上， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， ， 故答案为：． 【类型9】圆有关角的综合计算与证明 31．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形的性质． （1）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可； （2）在优弧上取一点，连接、，根据三角形的内角和，求出，根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出，再根据圆内接四边形的性质，即可． 【详解】（1）解：在优弧上取一点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 在优弧上取一点，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 32．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了圆周角定理和应用，以及弧长的计算方法，要熟练掌握． （1）根据是 的直径，，，推出，即可推得． （2）连接、，根据，，求出，再根据，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：∵是 的直径， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长度． 33．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C． (1)求证：； (2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，首先证明四边形是矩形，推出，即可解决问题； （2）证明四边形是平行四边形，推出，根据题意计算即可； 【详解】（1）证明：连接， 是直径， ， ， ， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 矩形面积最大时，四边形的面积最大， 当时，矩形面积最大， 此时矩形面积最大值为：， 故四边形的面积最大值为． 34．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知⊙O的半径为2，弦，，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】本题考查等边三角形和等腰直角三角形．解题的关键是根据题意作出图形，利用等边三角形的判定和性质得到，然后根据狗狗股定理的逆定理得到，进而得到即可解题． 【详解】①如答图①，连接，，． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如答图②，同理得，， ∴． 综上，的度数为或． 35．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知中，，以为直径的交于D，交于E． (1)如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 【答案】(1)．理由见解析 (2)相同．理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理的推论、三线合一的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据同圆或等圆所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，即可得出结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据圆内接四边形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：相同，证明如下： 如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵是圆内接四边形的外角， ∴， ∴． 36．（2021·福建福州·二模）如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据圆周角定理证得为直径，进而，再利用等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接．根据已知和（1）中结论，结合等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，再利用圆周角定理得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． 三点共圆，且， 为直径， ，即 又 即是的中点． （2）证明：连接． ， 则， 又， ， ． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，，如图： ， ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】连接，根据作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】解：连接， 根据作图，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①②③正确，④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，圆心角与弧，弦的关系，平行线的判定，三角形三边关系定理，熟练掌握作图和圆的性质是解题的关键． 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作交延长线于点，连接、，由垂直平分半径，得到，，在中利用余弦的定义推出，则有，根据点C是弧的中点，得出，解求出、的长，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，作交延长线于点，连接、， 垂直平分半径， ，， ， 在中，， ， 点C是弧的中点， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ． 故选：D． 5．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等求出相关角的度数． 先根据等弧所对圆周角相等求出和，再利用圆内接四边形的外角等于内对角求出． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点．根据圆周角定理得出，求出的度数，再根据圆内接四边形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 8．（2025·山东淄博·二模）如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】连接，取中点H，连接；易得是等边三角形，则；又，由，当点F在上时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由勾股定理得； ∵，中点为H， ∴， ∵， ∴当点F在上时，最小，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，构造辅助线是解题的关键． 二、填空题 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 10．（2025·河南·二模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解． 【详解】解：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 故答案为：． 11．（2025·海南·模拟预测）如图，等边三角形内接于圆O，点是上的一个三等分点（即），则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、圆周角定理．熟练掌握等边三角形的性质、圆周角定理是解决本题的关键，连接，由等边三角形的性质可得，再由可得,由圆周角定理得出,再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， , , ． 故答案为：． 12．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 【答案】50 【分析】根据是圆的直径，可得到直角三角形（直径所对的圆周角是直角），由点是弧的中点，可利用等弧所对的圆周角相等这一性质，结合的的度数求出的度数．本题考查圆周角定理（直径所对圆周角是直角、等弧所对圆周角相等）以及三角形内角和定理．解题的关键在于利用圆的性质，通过连接辅助线，结合已知角度，逐步求出的度数 【详解】解：连接 ∵是的直径， ∴． 在中，∵，， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴． ． 故答案为：50． 13．（2025·四川南充·一模）如图，四边形内接于，若，则在其他小于平角的8个角中，可以确定度数的有 个． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，以及圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，即可得出结果． 【详解】∵ ∴ ∵四边形内接于 ∴． ∴可以确定度数的有2个． 故答案为：2． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点E在上，且．经过点A，D，E，与交于点G，与交于点F，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，理解题意，作出辅助线进行求解是解题关键． 连接，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，为等边三角形，再由各角之间的关系及等量代换得出，利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：60． 三、解答题 15．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    【答案】 【分析】根据“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”可得，再利用含角的直角三角形的特征即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆中“弧、弦、角的关系”等知识点．熟记相关结论即可． 16．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及圆周角定理，根据圆周角定理可得，，进而可求证结论，熟练掌握圆周角定理及等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：， ，， 是等边三角形． 17．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的半径为，圆周角，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定，作所对的圆周角，连接、，利用圆内接四边形的性质得，再根据圆周角定理得到，则可判断为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得，掌握圆周角定理，添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：作所对的圆周角，连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 在中，，， 根据勾股定理得，． 18．（2010·浙江·中考模拟）如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果； （2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． 19．（20-21九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得到，则，然后根据圆周角定理得到，从而得到结论； （2）作直径，连接，如图2，先利用垂直定义得到，再利用圆周角定理得到，，，然后根据等角的余角相等得到结论． 【详解】（1）， ， 即， ， ， ； （2）作直径，连接，如图2，   ， ， ， ，， ， 为直径， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且．    (1)若于，于，问：四边形是何特殊四边形？并说明理由． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形为矩形，连接、，如图，再根据垂径定理得到，，则利用得到，接着根据勾股定理计算，然后根据正方形的判定方法可判断四边形是正方形； （2）先计算出，从而得到，，再利用正方形的性质得到，然后根据勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形． 理由如下： ∵，，， ∴，，，四边形为矩形， 连接，，    ∵，， ∴，， 而，∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，，即的半径为． 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长． 21．（2023·河南鹤壁·三模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．    (1)求证：； (2)若⊙O的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再根据角平分线的定义得到，然后利用等角的余角相等得到结论； （2）过O点作于H点，连接，如图，根据垂径定理得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明四边形OAEH为矩形得到，，所以，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 即； （2）解：过O点作于H点，连接，如图，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，．    故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补及圆周角定理是解题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19圆心角与圆周角（9大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.弧、弦、圆心角的关系（重点） 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等． 要点归纳： 运用弧、弦、圆心角之间的关系，轻松证明相等问题 (1)在同圆或等圆中，证明等孤的问题目前可以有三种途径，一是由垂径定理得到等孤，二是证明弧 所对的圆心角相等，三是证明孤所对的弦相等. (2)在同圆或等圆中，当证明等弦、等角的问题时，除利用三角形全等及其他相关的性质外，一定要 善于利用孤、弦、圆心角三者的相关定理. 知识点2.圆周角 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 要点归纳： (1)圆周角定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条孤联系在一起的，故不能把“一条孤所对的”去掉 (2)同一条孤所对的圆周角有无数个，它们都相等，但注意不要误以为“同一条弦所对的圆周角都相等”，一条弦(非直径)所对的圆周角有两类，它们是相等或互补的关系，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补 知识点3.圆内接多边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接 1.圆内接四边形的对角互补． 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角） 温馨提示： (1)内接与外接是相对的概念，描述的是图形的位置关系. (2)每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 方法总结：圆中求角的四个常用思路 (1)同孤所对的圆周角相等； (2)一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 (3)圆内接四边形的对角互补； (4)同圆的半径相等，在以两半径为边的三角形中，等边对等角. 【类型一】圆心角与圆周角的概念 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【类型2】弧、弦、圆心角之间的关系 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，已知，则与的关系是（　　）    A． B． C． D．不确定 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型3】有关弧、弦、圆心角的计算 7．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，则（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·陕西安康·期末）如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·广东江门·期中）在中，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（2025·云南楚雄·三模）如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 12．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【类型4】有关弧、弦、圆心角的证明 13．（21-22九年级上·吉林·期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：． 14．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 15．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）已知，如图，在中，，，求证：． 16．（24-25九年级下·广东茂名·阶段练习）如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：． 17．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在中，弦，于，于． (1)求证：． (2)若的半径为5，，求的长． 【类型5】圆周角定理 18．（2025·广西钦州·二模）如图，是的直径，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·青海西宁·二模）如图，是直径，是上一点，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·陕西商洛·二模）如图，是的内接三角形，且．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（2025·四川南充·二模）如图，点、、、都在上，若，，则的度数为 ． 【类型6】圆周角定理的推论 22．（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，为的直径，C，D为上两点，，连接，，则的度数为（   ） A．40° B．50° C．60° D．70° 24．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，是的直径，，为上同侧的两点，连接，，，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 25．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 【类型7】圆周角的有关计算与证明 26．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，的三个顶点都在上，，，为的直径，且，求的长． 27．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【类型8】圆内接四边形 28．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽安庆·二模）如图，是直径，点、、在半圆上，若，则 ． 【类型9】圆有关角的综合计算与证明 31．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，是的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． (1)当时，求的度数； (2)猜想与之间的关系，并给予证明． 32．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上，，垂足为D，，分别交于点F，G． (1)求证： ； (2)若，求弧的长度． 33．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径且，A为上一个动点（不与点D、E重合），线段经过点E，且，F为上一点，，的延长线与的延长线交于点C． (1)求证：； (2)当点A在上运动时，求四边形的最大面积． 34．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知⊙O的半径为2，弦，，求的度数． 35．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知中，，以为直径的交于D，交于E． (1)如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 36．（2021·福建福州·二模）如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求证：． 一、单选题 1．（2025·湖南长沙·三模）如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知锐角，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接（2）分别以点，D为圆心，长为半径作弧，交于点（3）连接，．下列四个结论：①；②；③；④．所有正确的结论是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 4．（2025·江苏泰州·三模）如图，在圆O中，点C是弧的中点，垂直平分半径，且，则长为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 8．（2025·山东淄博·二模）如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题 9．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则 ． 10．（2025·河南·二模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 11．（2025·海南·模拟预测）如图，等边三角形内接于圆O，点是上的一个三等分点（即），则的度数为 ． 12．（2025·北京海淀·二模）如图，为的直径，点在上，点为的中点，连接．若，则 ． 13．（2025·四川南充·一模）如图，四边形内接于，若，则在其他小于平角的8个角中，可以确定度数的有 个． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图，在中，，，点D为的中点，点E在上，且．经过点A，D，E，与交于点G，与交于点F，则的度数为 °． 三、解答题 15．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．    16．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，．求证：是等边三角形．    17．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，的半径为，圆周角，求的长． 18．（2010·浙江·中考模拟）如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 19．（20-21九年级上·福建厦门·期中）如图，四边形内接于，连接、相交于点E．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 20．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，且．    (1)若于，于，问：四边形是何特殊四边形？并说明理由． (2)若，，求的半径． 21．（2023·河南鹤壁·三模）如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．    (1)求证：； (2)若⊙O的半径为5，，求的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$