专题12二次函数与一元二次方程（7大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题12二次函数与一元二次方程（7大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【课前热身】 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 知识点2、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【课前热身】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 3．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 4．（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【类型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数的图像与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积． 【类型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 4．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 5．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 6．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【类型3】二次函数与x轴的交点个数 7．设二次函数，是常数，． （1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，并说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标． 8．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 9．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【类型4】二次函数与一元二次方程 10．（24-25九年级上·贵州·期中）已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 11．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 12．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【类型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 13．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 15．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 【类型5】根据图象求不等式的解集 16．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 17．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 19．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【类型6】求二次函数的函数值的范围 20．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 21．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，则当时，的取值范围是 22．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数． (1)用你喜欢的方法将化成的形式． (2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； ______ ______ ______ ______ ______ … (3)当时，的取值范围为______． 23．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【类型7】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 24．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 25．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 26．（2025·河南信阳·模拟预测）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄石·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 6．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图1，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为．类似地，如图2是函数和函数的图象，由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 10．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点在第三象限，设，则的取值范围是 ． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 13．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 三、解答题 14．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)若该二次函数图象经过点，求二次函数的解析式； (2)若该二次函数图象与轴的两个交点的距离为5，求的值． 15．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 16．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 18．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 19．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 20．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数（是常数）的图象经过． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过， ①在（1）的条件下，当时，，求的值； ②若，恒有，求的取值范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12二次函数与一元二次方程（7大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 方法归纳： 　　 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式 当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，． ∴ 即 （△＞0） 【课前热身】 1．（2025·辽宁大连·二模）抛物线与轴相交于点，点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与轴交点的横坐标，就是当时，一元二次方程的根，所以只需找出抛物线与轴交点横坐标即可．本题考查二次函数与一元二次方程的关系这一知识点．解题关键在于理解抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，通过已知抛物线与轴交点坐标，直接得出方程的根． 【详解】解：∵当时，抛物线对应的方程为， ∴方程的解就是抛物线与轴交点的横坐标． ∴点和点的横坐标分别为和， ∴关于的一元二次方程的根是，， 答案选A． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最小值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 5．（22-23九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求二次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)二次函数图象与轴的交点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次与坐标轴的交点，掌握以上知识及其计算是关键． （1）把点代入计算即可求解； （2）二次函数，令，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵此函数的图象经过点， ∴将代入， ∴； （2）解：二次函数，令，则有， 解得， 故二次函数图象与x轴的交点坐标为． 知识点2、抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 注：a＜0的情况请同学们自己完成． 要点归纳： 抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号． 【课前热身】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与不等式的解集，解题的关键是当函数图象在轴的上方时，，即可得到答案． 【详解】由函数图象可知，当或时，函数图象在轴的上方，即， ∴的解集为：或， 故选：D． 3．（22-23九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围． 4（24-25九年级上·广东韶关·期中）如图，是二次函数的图象． (1)求二次函数解析式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键． （1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解； （2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集． 【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过， 代入二次函数解析式得 解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由图象可知图象与的交点为， 不等式的解集为． 5．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数的解析式，二次函数与不等式，解题的关键是利用待定系数法求解析式和根据图象得出取值范围． （1）利用二次函数的解析式求出点和点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）通过观察图象的交点和图象的位置关系，即可得出当时，x的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 【类型1】二次函数与x轴的交点坐标问题 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：的对称轴为， ，关于直线对称 ∴A点的坐标是， 线段的长度； 故选：D． 3．（22-23九年级上·辽宁大连·期中）已知二次函数的图像与轴交于，两点，且点在点左侧．若该二次函数的顶点为点，连接，，求的面积． 【答案】 【分析】二次函数的图像与轴交于，两点，顶点为点，由此可求出，，的坐标，并求出的底和高，由此即可求解． 【详解】解：，图像与轴交于，两点，且点在点左侧，顶点为点， ∴，，， 函数图像如下，    ∴，的高是点纵坐标的绝对值，即， ∴，即的面积为． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，掌握二次函数图像在平面直角坐标系中的位置，与坐标轴的交点是解题的关键． 【类型2】二次函数与y轴的交点坐标问题 4．（2025·山东滨州·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 6．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【类型3】二次函数与x轴的交点个数 7．设二次函数，是常数，． （1）判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，并说明理由； （2）若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标． 【答案】（1）交点的个数有两个或一个； （2），． 【分析】（1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，的值即可得到函数图象与轴交点的坐标． 【详解】解：（1）令，则， △， 方程有两个不相等实数根或两个相等实根． 二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个； （2）二次函数图象的对称轴是直线， ， ， 二次函数为， 令，则， 解得，， 这个函数图象与轴交点的坐标为，． 8．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 9．（2025·浙江·三模）已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 【类型4】二次函数与一元二次方程 10．（24-25九年级上·贵州·期中）已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． （1）令，求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标，令，求出x的值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）求得抛物线的对称轴，进而求得和时的函数值，即可求得结果． 【详解】（1）抛物线与坐标轴的相交 有以下情况 ①与轴相交，解得：． 此时交点为：， ②与轴相交，此时交点为： 抛物线与坐标轴的交点坐标：，，． （2）∵的对称轴为 当时，y有最大值， 当时， ， 当时， ∴当时，的取值范围为： 11．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 12．（2025·天津和平·一模）已知二次函数（c为常数）． (1)若该二次函数的图象与x轴有两个公共点，求c的取值范围； (2)若该二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，求一元二次方程的解： (3)在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为，求c值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据二次函数与x轴的交点问题可进行求解； （2）把点代入二次函数解析式得出c的值，进而求解方程即可； （3）由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，开口向下，然后根据开口向下，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越大可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：把点代入二次函数得：， ∴， ∴一元二次方程为， 解得：； （3）解：由可知：开口向下，对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，函数取得最大值，当时，函数有最小值， ∴， ∴． 【类型5】根据图象判断一元二次方程解的情况 13．（2025·广西崇左·三模）如图是二次函数 的图象，图象上有两点分别为，，则关于x的方程 的一个根可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线和x轴交点，理解抛物线和一元二次方程的关系是解答关键． 观察函数图象可得的点对应的横坐标在和之间，进而求解． 【详解】解：从函数图象看，的点对应的横坐标在和之间， 而在和之间被选项中的数为， ∴的方程的一个根可能为． 故选：D． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线经过点，且． (1)求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； (2)证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 【答案】(1)抛物线顶点的坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； （2）证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 【类型5】根据图象求不等式的解集 16．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 17．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 19．（24-25九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线和直线相交于点和． (1)求和的值； (2)求抛物线的对称轴； (3)结合图象直接写出满足的的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象交点，求抛物线的对称轴，图象解不等式等； （1）将点和代入一次函数解析式，即可求解； （2）将点、的坐标代入二次函数的解析式，由，即可求解； （3）根据图象求解即可； 掌握抛物线的对称轴公式，能根据图形解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线和直线相交于点和， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：∵点和在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 抛物线的对称轴为：直线； （3）解：由图象得： 当时，． 【类型6】求二次函数的函数值的范围 20．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 21．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，则当时，的取值范围是 【答案】/ 【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当时取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为1 当时，当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键． 22．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数． (1)用你喜欢的方法将化成的形式． (2)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； ______ ______ ______ ______ ______ … (3)当时，的取值范围为______． 【答案】(1) (2)图象见详解 (3) 【分析】本题主要考查的是抛物线解析式的转化，描点法画二次函数图象，求函数值的取值范围等知识点，解题的关键是熟悉函数图象的特征和描点法． （1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式； （2）利用描点法画出二次函数图象； （3）利用二次函数的图象和解析式进行求解． 【详解】（1）解： （2）解：列表如下 在坐标系中画以下点的坐标 用一条平滑的曲线将五个点连接，如下图 （3）解：根据二次函数图象的性质可得，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 23．（24-25九年级上·湖北随州·阶段练习）抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）令，求解出的的值即点和点的横坐标； （2）化为顶点式即可求解； （3）先求出点的坐标，利用当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方，结合图象即可求解； （4）求出函数的最小值，及和时，的值，再结合函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：令中， 得， ∴， ∵当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴根据图象可得或， 故答案为：或； （4）解：∵，， ∴当时，取最小值， 又∵当时，，当时，， ∴结合图象可得当时，的取值范围为， ∴的取值范围为． 【类型7】二次函数与方程、不等式的计算与证明综合问题 24．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数图像与轴的交点问题，以及二次函数图像的性质．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由二次函数的图像与直线有两个交点，知函数的最小值小于，列式计算即可； （2）根据图像与x轴有交点，，列式计算即可； （3）根据当时，，即可证明． 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 25．（2025·安徽安庆·模拟预测）抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 26．（2025·河南信阳·模拟预测）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2025·广东清远·一模）抛物线与轴相交的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令，求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ∴抛物线与轴相交的坐标为， 故选B． 2．（24-25九年级下·海南儋州·阶段练习）已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点情况、根的判别式以及二次函数的性质，解题关键是牢记“当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴有个交点；当时，抛物线与轴没有交点”，根据抛物线与轴的交点情况的含义判断即可． 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解． 【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·湖北黄石·模拟预测）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系以及二次函数图象的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用函数图象的性质来确定系数的取值和关系，根据函数的图象以及顶点坐标判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：①根据图象开口向下可知，与轴交点坐标位于轴正半轴可知， ， 故①正确； ②根据顶点坐标可知，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间， 则另一交点在和之间， 当时，代入得：，观察图象可知，即， 故②正确； ③根据顶点坐标公式可得，，整理得， 故③正确； ④一元二次方程，可看作抛物线与直线相交情况，经过观察图象可知抛物线和这条直线无交点， ∴一元二次方程没有实根， 故④正确． 故选：D． 5．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点． ①该二次函数的最小值为；                ②当时，随的增大而减小； ③该抛物线的顶点坐标为；        ④两点之间的距离是4 以上说法中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，抛物线与轴皎点问题，理解二次的图象和性质是解答关键． 先求出二次函数解析式，再变形为顶点式，求出二次函数的最小值来判断①，根据抛物线开口方向和对称轴来判定②，根据顶点坐标来判断③，令时，求出的坐标，进而求出两点之间的距离即可求解④． 【详解】解：将和代入抛物线解析式得 ， 解得， 抛物线解析式为， 二次函数的最小值是，故①正确， ， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴为， 当，随的增大而减小，故②正确； 顶点坐标是，故③错误． 令时，， 解得，， ， 两点之间的距离是，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：C． 6．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义、二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次函数的定义得到，由二次函数的图象与轴有交点，利用求出的取值范围即可． 【详解】解：二次函数， ，即， 二次函数的图象与轴有交点， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是且． 故选：D． 7．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图1，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为．类似地，如图2是函数和函数的图象，由图象可知，不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在二次函数的图象下方或二者交点处时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得不等式的解集为或， 故选：D． 二、填空题 9．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 11．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象与轴的一个交点是，顶点在第三象限，设，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，涉及解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据二次函数的图象与轴的一个交点是，得到，继而表示出顶点坐标，根据顶点在第三象限，得到不等式，求出的取值范围，再根据不等式的性质即可求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点是， ∴， ∴， ∴， ∴顶点为：，即， ∵顶点在第三象限， ∴， 则或， ∴， ∴恒成立， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·辽宁沈阳·二模）关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，一元二次方程次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意令，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：关于的二次函数（是常数）的图象与轴只有一个公共点， 令，则， ， ， ， 故答案为：． 13．（2025·河北唐山·二模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 三、解答题 14．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）已知二次函数． (1)若该二次函数图象经过点，求二次函数的解析式； (2)若该二次函数图象与轴的两个交点的距离为5，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过二次函数图象经过某一点来求函数解析式，可将点的坐标代入，算出的值． （2）设，是二次函数图象与轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系得到，，由两个交点的距离为5，即可得出即，解得． 【详解】（1）该二次函数图象经过点（2,1）， ， ， 二次函数解析式为． （2）设，是二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标， ，， 两个交点的距离为5， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，注意函数与轴的交点的横坐标就是方程的根． 15．（23-24九年级上·陕西商洛·阶段练习）已知二次函数．求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点． 【答案】见解析 【分析】根据函数表达式，求出对应方程的，再对的值进行判断即可． 【详解】解：证明：令， 则， 该二次函数图象与轴有两个交点． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键． 16．（2025·河南周口·二模）如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 17．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 18．（2025·江苏南京·模拟预测）已知二次函数是常数，且，函数与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … (1)直接写出m的值______； (2)求出函数表达式； (3)直接写出关于x的不等式的解集：______． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，则当和时，函数值相等，从而确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a即可； （3）先确定抛物线和直线的交点坐标为，，然后利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， ∵时，， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式可设为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （3）解：联立， 解得：或， ∴抛物线和直线的交点坐标为，， 如图，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上面， ∴关于x的不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 19．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的解析式为（b为常数）． (1)若当时，，求b的值： (2)若函数图象经过点，且，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，将已知点代入，化简求值，即可解答． （1）将，代入二次函数的解析式，即可解答． （2）将点代入二次函数的解析式，得，即，由，可得，再将t代入，化简，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式中， 得， ∴； （2）∵函数图象经过点， ∴将该点坐标代入，得，即， ∴，即， ，即， 又∵，， ∴，，解得． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·浙江台州·二模）已知二次函数（是常数）的图象经过． (1)当时，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象经过， ①在（1）的条件下，当时，，求的值； ②若，恒有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①先求得，即可得，再代入求解即可；②先得出抛物线开口向上，可得时，恒有，从而得出对称轴，得出不等式，再求解即可． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 二次函数的图象经过， ， 解得， 二次函数的表达式是； （2）解：①当时，， ， ， ， ② 抛物线开口向上， ，恒有， ∴点M到对称轴的距离大于点 N到对称轴的距离， ， ， ， 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$