预习课第10讲 弧、弦、圆心角、圆周角暑假讲义2025-2026学年九年级数学上册（人教版2024）

第10讲 弧、弦、圆心角、圆周角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆心角、弧、弦的关系 【题型二】 圆周角定理 【题型三】 圆周角定理推论 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.掌握弧、弦、圆心角的关系； 3.掌握圆周角定理及其推论. 1 圆心角、弧、弦的关系 (1)定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. (2)推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2 圆心角和圆周角的概念 ① 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角； ② 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角； ③ 弦心距：圆心到弦的距离. 3 圆周角定理及其推论 (1)定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)推论 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； ② 直径所对的圆周角是直角； ③ 圆内接四边形的对角互补. 【题型一】 圆心角、弧、弦的关系 相关知识点讲解 圆心角、弧、弦的关系 (1)定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 如图，若，则，. (2)推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 如图，若，，三个条件中两个成立，则另一条件成立. 【典题1】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 2（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，则等于（   ）    A． B． C． D． 3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 5（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 【题型二】 圆周角定理 相关知识点讲解 ① 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角； ② 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，. 【典题1】（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2（2025年广东省东莞市中考三模数学试题）如图，是的直径，若，则的度数为 A． B． C． D． 3（2025·云南昭通·二模）如图，是的弦，点在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4（2025·四川自贡·二模）已知点、、、、在上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．54° 【题型三】 圆周角定理推论 相关知识点讲解 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 如图，若，则. ② 直径所对的圆周角是直角； 如图，若是直径，则. ③ 圆内接四边形的对角互补. 如图，是圆内接四边形，则，. 【典题1】（2025·河南周口·二模）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 变式练习 1（2025·福建泉州·三模）如图，是的直径，点C、D都在上，弦与相交于点Q．若，，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．3 2（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4（2025年广东省河源市初中学业水平检测二轮数学模拟试卷（5月））如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5（吉林省松原市前郭县2024~2025学年下学期九年级第四次模拟数学试题）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型四】 综合问题 【典题1】（2025·湖北武汉·三模）如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式练习 1（2025·广东东莞·三模）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如图： 以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，若的半径为，则的周长为 ． 2（上海市杨浦区2024—2025学年下学期九年级质量调研（二）数学试题）如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足． (1)求证：； (2)过点作于，求证： 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为    A． B． C． D． 2（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 3（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点，，均在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4（2025·陕西榆林·二模）如图，五边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5（2025·山西吕梁·二模）如图，点都在⊙O上，且四边形为菱形，连接并延长，交⊙O于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7（2025·安徽合肥·三模）如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 8（2025·安徽芜湖·三模）如图，内接于于，交于另一点E，交于，已知，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【B组---提高题】 1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3（2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 弧、弦、圆心角、圆周角 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 圆心角、弧、弦的关系 【题型二】 圆周角定理 【题型三】 圆周角定理推论 【题型四】 综合问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握弧、弦、圆心角、圆周角的概念； 2.掌握弧、弦、圆心角的关系； 3.掌握圆周角定理及其推论. 1 圆心角、弧、弦的关系 (1)定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. (2)推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 2 圆心角和圆周角的概念 ① 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角； ② 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角； ③ 弦心距：圆心到弦的距离. 3 圆周角定理及其推论 (1)定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)推论 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； ② 直径所对的圆周角是直角； ③ 圆内接四边形的对角互补. 【题型一】 圆心角、弧、弦的关系 相关知识点讲解 圆心角、弧、弦的关系 (1)定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 如图，若，则，. (2)推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 如图，若，，三个条件中两个成立，则另一条件成立. 【典题1】（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，，如图： ， ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变式练习 1（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系．根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理对选项逐个进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵相等的弧所对的圆心角相等，故A选项正确； ∵在同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，故B选项不正确； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故C选项不正确； ∵同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧相等，故D选项不正确． 故选：A． 2（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，得到，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，是的直径，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到，根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴． 故选：C 4（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的长为（    ） A．8 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弦之间的关系，等边三角形的性质与判定，连接，根据圆心角与弦之间的关系和平角的定义可证明，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 5（2025九年级下·四川巴中·学业考试）如图，内接于，，是的半径，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 由已知条件，可设，则，，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∴可设，则， ， ， ， ， 故选：D． 6（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则线段的长为   A．5 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ，， 点是弧的中点， ， ， ， ，设， 在中，则有， 解得， ， 故选：C． 【题型二】 圆周角定理 相关知识点讲解 ① 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角； ② 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 如图，. 【典题1】（2025·陕西榆林·二模）如图，是一张饭桌的桌面示意图，五位同学沿着饭桌周围就坐，其就坐的位置可分别看成是上的、、、、五点，同学与同学之间的连线恰好经过圆心，若．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理．首先连接，由圆周角定理即可得的度数、的度数，然后由圆周角定理即可得解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 变式练习 1（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 2（2025年广东省东莞市中考三模数学试题）如图，是的直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是关键． 根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， 故选：A ． 3（2025·云南昭通·二模）如图，是的弦，点在上，连接，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理求解，即可解题． 【详解】解：， ， 故选：C． 4（2025·四川自贡·二模）已知点、、、、在上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．54° 【答案】C 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：连接，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型三】 圆周角定理推论 相关知识点讲解 ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 如图，若，则. ② 直径所对的圆周角是直角； 如图，若是直径，则. ③ 圆内接四边形的对角互补. 如图，是圆内接四边形，则，. 【典题1】（2025·河南周口·二模）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据半圆（直径）所对的圆周角是直角得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，再结合计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； 故选：D． 【典题2】（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 变式练习 1（2025·福建泉州·三模）如图，是的直径，点C、D都在上，弦与相交于点Q．若，，，则的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，含30度的直角三角形的性质，连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2； 故选B． 2（2025·吉林松原·模拟预测）如图，是⊙的直径，点为⊙上一点，连接，过点作交⊙于点，连接、，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握“同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”和“直径所对的圆周角为直角”．由是⊙的直径，得，根据，易得，由，可得，由圆周角定理得，即可求的度数． 【详解】解：是⊙的直径， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3（2025·云南昆明·二模）如图，已知四边形是的内接四边形，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点．根据圆周角定理得出，求出的度数，再根据圆内接四边形的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 4（2025年广东省河源市初中学业水平检测二轮数学模拟试卷（5月））如图，，，为的弦，连接，，，若，则下面结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由角的和差可判定A选项；如图：在圆上取一点D，连接，则，由圆的内接四边形的性质可得，进而求得即可判断B选项；由同弧所对的圆周角相等可得，再结合可判断C选项；由等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得，再结合即可判断D选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即A选项正确，不符合题意； 如图：在圆上取一点D，连接，则， ∴， ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵ ∴， ∵，即， ∴，即C选项正确，不符合题； ∵，， ∴ ∴， ∴，即D选项错误，符合题意． 故选：B 5（吉林省松原市前郭县2024~2025学年下学期九年级第四次模拟数学试题）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，所以可得，根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：C． 【题型四】 综合问题 【典题1】（2025·湖北武汉·三模）如图，内接于，，于点，连接交于点，并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．解题的关键是构造辅助线，利用圆的性质和全等相似三角形的性质，逐步推导出所需证明的结论． （1）连接，证，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形的性质得出即可求解； （2）延长交于点，连接，根据同弧所对的圆周角相等得出，所以 ，设，则．在 中，，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，． ，，， ， ， ． ， ， ；    （2）延长交于点，连接， ， ， ， ．设，则． 在 中，， ， 或（舍）， ， ．    变式练习 1（2025·广东东莞·三模）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如图： 以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点； ②延长交于点C； 即点A，B，C将的圆周三等分． (1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，若的半径为，则的周长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）根据作法作出图形即可； （2）由（1）知：垂直平分，，则，，然后根据直角 三角形的性质与勾股定理求出，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点A，B，C即为所求： 证明：连接，，如图， 由作法可知：， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴等边三角形， ∴， ∴， 即点A，B，C将的圆周三等分． （2）解：由（1）知：垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理的推论，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2（上海市杨浦区2024—2025学年下学期九年级质量调研（二）数学试题）如图，、、、四点内接于圆，且对角线与垂直，满足． (1)求证：； (2)过点作于，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等，结合，即可证明； （2）作直径，连接、，和交于点，根据垂径定理可知，推出是的中位线，得到；然后根据直径所对圆周角为直角和可证的，结合四边形是圆的内接四边形，可推出，得到，进而得到，即，得证． 【详解】（1）证明：， ， 和为所对圆周角， ， ． （2）证明：作直径，连接、，和交于点，如图所示， 则， 又， ， 是的中位线， ； 为直径，为圆上的一点， ， ， ， ， ， 又四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，圆的内接四边形的性质，三角形的中位线的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判断与性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键． 根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得． 【详解】解： ，， ． 故选：A． 2（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（   ） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质． 连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答． 【详解】解：连接，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴直径． 故选：B 3（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点，，均在上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由圆周角定理得，由三角形内角和定理得，求出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 4（2025·陕西榆林·二模）如图，五边形内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查圆内接四边形的性质及平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 由题意知，四边形内接于，得出，确定，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5（2025·山西吕梁·二模）如图，点都在⊙O上，且四边形为菱形，连接并延长，交⊙O于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．证明是等边三角形，得，再根据同弧所对圆周角等于圆心角得一半即可得出结论. 【详解】解：∵在四边形为菱形中， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 6（2025·河南周口·三模）如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接．若的半径为，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，先证明，进而得，从而即可得解． 【详解】解：连接， ∵是的直径，于点， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B 7（2025·安徽合肥·三模）如图，是的直径，于点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)16 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 8（2025·安徽芜湖·三模）如图，内接于于，交于另一点E，交于，已知，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆内接三角形相关性质、全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是通过作辅助线，利用圆的性质找到角与边的关系，进而证明三角形全等和计算线段长度． （1）连接，先由推出，进而得到角相等关系，再结合已知，利用判定定理证明，从而得出． （2）延长交于，连接、，通过角的等量代换得到，结合得出，再根据已知边长和直径所对圆周角是直角，利用勾股定理求出直径，进而得到的长． 【详解】（1）证明：如图，连接 ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于，分别连接， ，，， ， ， ， ， ，， ， 是直径， 由勾股定理，得， ． 【B组---提高题】 1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 2（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方形的性质，共圆的判定是关键． 连接，根据中位线的判定和性质得到，点共圆，圆心为的中点，记为，当三点共线时，最小，此时最小，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 3（2025·湖南岳阳·二模）如图1，已知为等腰的外接圆，，点是上的一个动点，连接，并延长至． (1)求证：是的角平分线； (2)如图2，过点作，垂足为点，，垂足为点，若，，求线段的长； (3)如图3，以为直角边作等腰，连接，并满足动点移到线段上，连接并延长交于点，连接交于点，当的大小发生变化而其他条件不变时， 的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不变， 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，推出，即可得到结论； （2）先证明，得到，再证明，得到，求出，根据勾股定理求出，得到； （3）的值不发生变化；过点作于，作于，延长交于点,连接，证明，推出为等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）证明：， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， 是的角平分线 ； （2）解：， ， 在和中， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ． （3）解：的值不发生变化， 如图：过点作于，作于，延长交于点,连接， 为的直径， , ,, , , 垂直平分, ， 为直角边的等腰， ， ， 在和中， ， ， 又， ， ,,, , 四边形是矩形， ， ， ， , ， ， 为等腰直角三角形， ∴， ∴． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$