专题17第23章旋转单元测试（培优提升卷）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题17第23章旋转单元测试（培优提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）“一窗一景致，一窗一姿容，一窗一风韵，一窗一境界”，窗棂是中国传统建筑文化的审美中心之一．下列的古建窗户图案中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标．掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选A． 3．（24-25八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是正确作出图形，利用图象法解决问题．把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【详解】解：如图，绕原点逆时针方向旋转90°，得到的点的坐标为． 故选：D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，由旋转的性质得到的度数，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴ ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，找旋转中心，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质，可知对应点到旋转中心的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得，只有， 故B，C，D都错误，A正确， 故选：A． 7．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，且，，在同一条直线上，则线段的长为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，且，，在同一条直线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的设计，根据中心对称图形的定义进行设计即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：如图所示，一共有3种涂色方案， 故选：B．    9．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作轴于点D，结合，，得到，，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，再由即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∵每旋转6次为一个循环 ∵， ∴第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选C． 10．（2025·山东临沂·二模）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得，，，证明是等腰直角三角形，结合射线绕点O逆时针旋转后交于点F，得是等腰直角三角形，再证明，故在中，，即，结合垂线段最短，得当时，此时有最小值，，，当与或重合时，此时有最大值，即，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 即是等腰直角三角形， ∵射线绕点O逆时针旋转后交于点F， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴， 故①是符合题意的； ∵， ∴， ∵， 则， 即， ∵ ∴在中，， 即， 故②是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴， 当时，此时有最小值， ∵是等腰直角三角形， 则， ∴ 即的最小值为； 故③是符合题意的； ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵当时，此时有最小值，即， ∴对应的的最小值为， 当与或重合时，此时有最大值， 即， ∴对应的的最大值为， ∴， 故④是符合题意的； 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转性质，垂线段最短，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是 【答案】10 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键． 关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出和，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．根据中心对称的定义和性质判断即可． 【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称， 则①这两个图形一定是可以重合的，此结论正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确； ③将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合；此结论错误； ④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误； 故答案为：①②． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有 种． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 【详解】解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 14．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质以及三角形三边关系，利用关于原点成中心对称图形的性质得出，进而利用三角形三边关系得出答案．熟练掌握中心对称图形的性质以及三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，， ∴， ∴在中，由三角形三边关系可知的范围是： 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16．（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质．根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次减少， ∴， ∴， ∴， ∵， 当时，，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 18．（2025·安徽滁州·三模）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出与关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)若以点为旋转中心按逆时针旋转后得到的对应点为的对应点为，在网格中画出旋转后的图形． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题考查了作关于原点对称的图形，作旋转图形，理解旋转图形的作法是解答关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标得到，，的坐标，顺次连接求解； （2）根据旋转的性质分别求出，的坐标，顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：如图所示，为求，由图可知． （2）解：由题意，画图如下，为所求作的图形． 19．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 20．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【详解】（1）证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（2025·浙江杭州·二模）在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： (1)老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； (2)把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，旋转的性质，矩形的判定的知识，关键是得出． （1）由三角形中位线定理可得，，由旋转可得，，所以四边形是矩形． （2）取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，可证明，则四边形就是矩形． 【详解】（1）证明：∵点D，E为，的中点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得，， ∴四边形是矩形． （2） 取边，的中点F，G，连接，作，沿剪一刀，再沿剪一刀，把绕点逆时针旋转得到，此时点与点重合，把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．理由如下： ∵点，分别为，的中点 ∴ ∵ ∴ 由题意：， ∴， ∵ ∴ ∴四边形为矩形． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知关于的二次函数． (1)当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)在（1）的条件下，为该函数图象上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图象上，求的值； (3)当该函数图象经过点时，若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）将的值代入函数解析式即可； （2）根据（1）中的结论，即可求得的值； （3）根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的数学思想即可求得与的大小． 【详解】（1）解：当，时， ， 该函数图象的顶点坐标是，对称轴为直线； （2）解：点关于原点对称的点的坐标是， 则， 解得：； （3）解：函数的图象经过点， ， ， ， 函数的对称轴为直线， 当时，， ，，是该函数图象上的两点， ， 当时，， ，，该函数图象上的两点， ， 综上所述：当时，；当时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、关于原点对称的点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 23．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17第23章旋转单元测试（培优提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25八年级下·河南焦作·期中）“一窗一景致，一窗一姿容，一窗一风韵，一窗一境界”，窗棂是中国传统建筑文化的审美中心之一．下列的古建窗户图案中，属于中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点绕原点逆时针旋转，得到的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，绕点逆时针旋转一定角度后得到，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，且，，在同一条直线上，则线段的长为（   ） A．6 B． C． D．3 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 9．（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东临沂·二模）如图，正方形的边长为2，对角线、交于点O，E为上任意一点，射线绕点O逆时针旋转后交于点F，连接，则以下结论：①；②；③的最小值为；④，正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若点与点关于原点成中心对称，则的值是 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是 （填序号）． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有 种． 14．（23-24八年级下·湖南株洲·阶段练习）与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 ． 16．（2025·江西上饶·一模）如图，小轩同学用计算机软件绘制函数的图象，发现该图象关于点成中心对称．若点，，，，…，都在函数图象上，且这20个点的横坐标从0开始依次减小，则的值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 18．（2025·安徽滁州·三模）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出与关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)若以点为旋转中心按逆时针旋转后得到的对应点为的对应点为，在网格中画出旋转后的图形． 19．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 20．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求四边形是菱形时的长． 21．（2025·浙江杭州·二模）在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中，其中，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形． 小明的剪法是：找到边，的中点D，E，连结DE，沿剪一刀，再把绕点顺时针旋转得到，此时点与点重合，则四边形就是矩形．请利用所学的数学知识，完成下列问题： (1)老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法； (2)把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知关于的二次函数． (1)当，时，求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)在（1）的条件下，为该函数图象上的一点，若关于原点的对称点也落在该函数图象上，求的值； (3)当该函数图象经过点时，若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 23．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$