精品解析：安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学2025年高一自主招生考试数学试卷

安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学2025年高一自主招生考试数学试卷 本试卷满分100分，考试时间70分钟，所有答案务必写到答题卷上 一、选择题（每题5分，共20分．） 1. 若 是实数，化简的结果为（ ） A B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，零指数幂运算法则，绝对值意义，正确应用运算法则是解题关键．根据二次根式性质，二次根式加减运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 2. 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 3. 【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确的是（ ） A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有解，可得，当时，当时，，解不等式组即可解答． 本题考查抛物线与x轴的交点，根的判别式，不等式组的应用，函数性质的应用，关键是函数性质的应用． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程在内有解， ∴抛物线和直线有交点， ∴或， 解得， 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（每题5分，共30分） 5. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解因式即可． 本题考查了综合法分解因式，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6. 不等式对于一切实数都成立，则的最大值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得要使不等式对于一切实数都成立，则需满足，进而根据二次函数的最值问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴当时，函数的最小值是当时取得，即为9； 当时，函数的最小值是当时取得，即为5； ∴， ∴， 即a的最大值为5． 7. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 8. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则重心坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，一次函数的应用，取的中点F，的中点D，连线，交于点G，点G即为所求．根据中点坐标得出，，利用待定系数法分别求出直线和的解析式，联立两直线的解析式求出其交点G即可． 【详解】解：取的中点F，的中点D，连线，交于点G，点G即为所求． ∵，点， ∴， 即，， 设的解析式为：，的解析式为：， 根据题意：，， 解得：，， ∴的解析式为：，的解析式为：， 联立：， 解得： 即， 故答案为： 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，，，进而得到，，推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 三、解答题（共50分） 11. 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 【答案】无人机离湖面的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，设，根据题意得出，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意 设， 在中， ∴， ∵ ∴， 在中， ∴ 解得： 答：无人机离湖面的高度为米 12. 对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． （1）计算：； （2）若，求这个三位数． 【答案】（1）148； （2）274． 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出，分别讨论求出，，从而可得结论． 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： a，b均正整数 若，则，a不为整数，此种情况不成立 若，则此时， 综上这个三位数为274 13. 如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______； （4）当时，______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【小问1详解】 解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 14. 命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）成立，矩形B的两边长为，， （2）成立，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法． （1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可； （2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：当，，时， 此时矩形B的周长为18，面积为6， 设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， ∴， 解之得：，； ∴此时命题成立． 【小问2详解】 解：若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为，面积为，设矩形B的长为x，则宽为． 根据题意列方程，得：， 即， 根据求根公式得：， ∵， ∴ 又， ∴， ∴存在矩形B， ∴此命题成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省淮北市淮北师范大学附属实验中学2025年高一自主招生考试数学试卷 本试卷满分100分，考试时间70分钟，所有答案务必写到答题卷上 一、选择题（每题5分，共20分．） 1. 若 是实数，化简结果为（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 或 3. 【问题】关于x的一元二次方程在的范围内有解．求m的取值范围． 【提示】如图，此问题可以转化为研究函数与直线的相关问题． 几名学生的答案如下： 甲：；乙：；丙：． 下列判断正确是（ ） A. 甲正确 B. 乙和丙合在一起正确 C. 乙正确 D. 甲和丙合在一起正确 4. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 5. 因式分解：______． 6. 不等式对于一切实数都成立，则最大值为____． 7. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 8. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 9. 如图，平面直角坐标系中，已知点，点，则的重心坐标为_______． 10. 定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是_______． 三、解答题（共50分） 11. 为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 12. 对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（a，b，c均为正整数）．若规定：对进行F运算，得到整数．例如，． （1）计算：； （2）若，求这个三位数． 13. 如图，在反比例函数图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． （1）当时，______； （2）当时，______； （3）当时，______； （4）当时，______． 14. 命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）． （1）当，，时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由． （2）判断命题的真假，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$