1.2 集合间的基本关系 （教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 人教A版2019必修第一册 1.2集合间的基本关系 目录 CATALOG 01.两个集合之间的关系 03.典型例题分析 02.子集与真子集 04.小结及随堂练习 学习目标 理解集合之间包含与相等的含义； 能识别给定集合的子集，了解空集含义； 能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养 01 两个集合之间的关系 集合间的基本关系 导入新知 同学们，大家平时都喜欢在社交媒体上分享生活、 交流互动，对吧？比如微信、QQ、微博等。 问题1：如果你的好友圈A中的所有好友都在班级群B中，那么这两个“好友圈”之间有什么关系呢？ 今天，我们就从这些熟悉的社交媒体中的“好友圈”说起。 假设我们有以下两个“好友圈”： 好友圈A：你的好友列表，包括小明、小华、小强、小李。 好友圈B：你所在的班级群成员列表，包括小明、小华、小强、小李、小王、小赵等。 导入新知 再来看一个例子，假设你有一个特别的兴趣小组，比如“篮球爱好者群”，成员包括小明、小华、小强。同时，你还有一个更大的“体育爱好者群”，成员包括小明、小华、小强、小李、小王。 问题2：这两个群之间的成员关系又是什么样的呢？ 其实，这些“好友圈”和“兴趣群”之间的关系，就是我们今天要学习的集合间的基本关系。就像好友圈A和班级群B、篮球爱好者群和体育爱好者群一样，集合之间也存在着包含、相等等关系。 今天，我们就来深入探究集合间的基本关系，看看这些关系在数学中是如何定义和应用的。 导入新知 我们知道，两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢? 问题1：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系? 集合A小 集合B大 集合相等 (1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}； (2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合； (3)A={等边三角形}，B={等腰三角形}； (4)A={4，6，8}，B={8，4，6}； (5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1} 集合间的包含关系：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素。 02 子集与真子集 集合间的基本关系 新知1. 包含关系与子集 1.1包含关系与子集的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A). 并称集合A为集合B的子集. 记作A⊆B(或B⊇A). 读作A包含于B(或B包含A). 如：{1,2}⊆{1,2,3,5} 1.2符号语言： 1.3图形语言： 对任意的x∈A，总有x∈B，则A⊆B A B A(B) 1880年Venn首次采用 也称韦恩图或文氏图. Venn图： 用平面上封闭曲线的内部代表集合. {0,1,2}⊆{x∈N|x<3} = 问题2：观察下面几个例子，类比实数间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗? 由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形，因此，集合E，F都是由等腰三角形组成的集合．即集合E中任何一个元素都是集合F中的元素，同时，集合F中任何一个元素都是集合E中的元素．这样，集合E的元素与集合F的元素是一样的． 一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说： 若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？ 新知1. 包含关系与子集 新知1. 包含关系与子集 读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”） 例如，在(1)中，A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5} 我们有4B，4 A；我们还有 . 所以集合A是集合B的真子集. 牛刀小试 判断集合的子集（真子集）的个数 牛刀小试 判断集合的子集（真子集）的个数 新知1. 包含关系与子集 即 ⊆A . 是任何非空集合的真子集. ∈ ∉ 牛刀小试 判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 牛刀小试 根据集合的包含关系求参数 新知1. 包含关系与子集 注： 包含关系刻画的是集合与集合间的关系； 而属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 牛刀小试 判断两个集合的包含关系 深化概念 0，{0}，三者之间有什么关系? 例：在以下写法中，正确的个数为( ). ①0＝{0} ②0∈{0} ③0⊆{0}； ④0＝ ⑤0∈ ⑥0⊆； ⑦＝{0} ⑧∈{0} ⑨⊆{0}． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 新知1. 包含关系与子集 1.4性质： ①任何一个集合是它本身的子集.即 ②规定：空集是任何集合的子集.即 ▲空集：不含任何元素的集合，记作 . ③传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C. B={1,2,4,8} 【练习】写出集合{a,b}的所有子集. 【判断】①A={1,2,3},B={x|x是8的约数},则A是B的子集.( ) ②A={x|x是长方形},B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}, 则A是B的子集.( ) 牛刀小试 判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 牛刀小试 判断元素与集合的关系、空集的性质及应用、子集的概念 新知2. 集合相等 2.1集合相等的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 且集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素， 则说集合A与集合B相等.记作A=B. 2.2符号语言： 2.3图形语言： 如：{x||x|=1}={x|x2=1} 若A⊆B且B⊇A，则A=B. A(B) 牛刀小试 根据两个集合相等求参数 新知3. 真包含关系与真子集 3.1真包含关系与真子集的概念： 若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 但集合B中存在一些元素不是集合A中的元素， 则说集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A). 并称集合A是集合B的真子集. 3.2符号语言： 3.3图形语言： 3.4性质：①空集是任何非空集合的真子集. ②传递性. A B 牛刀小试 判断集合的子集（真子集）的个数、 判断元素与集合的关系 牛刀小试 根据元素与集合的关系求参数 总结新知 元素与集合的关系 集合与集合的关系 A B A(B) 实数间的大小关系 集合间的关系 a≤b a = b a≤a 若a≤b，b≤c，则a≤c 若a < b ，b < c ，则a < c (a=b或a<b) (a≤b且b≤a) 总结新知 空集 子集 C B A 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 任何一个集合是它本身的子集 应用新知 判断集合间关系的方法 (1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将两个(或多个)集合表示出来,再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系. (2)元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系. (3)图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断两个(或多个)集合间的关系. 应用新知 观察与推理——元素个数与子集个数的关系 (1)写出 的所有子集； (2)写出集合{a}的所有子集； (3)写出集合{a,b}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集. 你从中发现了什么规律？ 集合 元素个数 子集个数 真子集 个数 非空子集 个数 空集 0 {a} 1 {a,b} 2 {a,b,c} 3 {a,b,c,…} n 1 2 4 8 0 1 3 7 集合A有n(n≥0)个元素,则A的子集有2n个, A的真子集或非空子集有2n-1个, A的非空真子集有2n-2个(n≥1). 应用新知 探究已知集合的子集个数 1.假设集合A中含有n (n∈N*)个元素,则: (1)A的子集个数是2n; (2)A的非空子集个数是2n-1; (3)A的真子集个数是2n-1; (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举 法解决.特别地,设有限集合A,B中分别含有m个,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A⊆C⊆B,则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 应用新知 反思感悟：求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 8 应用新知 （2）因为若 x 是长方形，则 x 一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 应用新知 判断集合间关系的常用方法 03 题型强化训练 集合间的基本关系 能力提升 题型一： 集合间的基本关系 【解析】 小结： 1.∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合； 2.{0}是含有一个元素的集合； 3.空集是集合的真子集，所以∅⊆{0}； 4.空集是非空集合的真子集。 B 能力提升 题型二： 由集合间的关系解决参数问题 利用集合间的关系 求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 能力提升 题型二： 由集合间的关系解决参数问题 m≤-2 2a-1=﹣3时，a+3=2，N={x|﹣3<x<2}; a+3=4时，2a－1=1，N={x|1<x<4}. 解得﹣1≤a≤1. -1≤a≤1或a≥4 关键： 1.连续数集借助数轴分析 2.考虑真子集是否为空集 3.不等式左右端点值比较 4.判断临界情况是否符合 04 小结及随堂练习 集合间的基本关系 课堂小结 二、集合相等: 若AB且BA, 则A=B. 三、真子集: 如果集合AB，但存在元素x∈B且xA，就称集合A是集合B的真子集(proper subset) , 记作 AB (或 BA) 四、空集: 不含任何元素的集合叫做空集(empty set) , 记作. 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 一、子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就称集合A为集合B的子集(subset)，记作 AB(或 BA). 课堂小结 集合间的基本关系 作业 教科书习题1.2 --- 第2,3,4,5题 练习 ＝ ＝ 练习 注：连续数集借助数轴分析 练习 ＝ 练习 D C B A 练习 答案不唯一，举出符合题意的一个子集即可． 练习 练习 A B x 0 1 2 a 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项. 【详解】因为 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\25356\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml3944\\wps284.png" \* MERGEFORMATINET 元素个数为2，故其子集个数为， 故选：D. 【练习2】已知集合 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\25356\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml3944\\wps279.png" \* MERGEFORMATINET ，则的真子集共有个 A．3 B．4 C．6 D．7 【分析】写出集合 【详解】因为，所以其真子集个数为. 故选：D. 【练习3】已知集合，则正确的是 A．0⊆A B． C． D． 【解析】对A， 对B，，故B错误； 对C，空集是任何集合的子集，即，故C错误； 对D，由于集合是集合A的子集，故D正确. 故选D 【练习4】已知集合，，若，则（ ） A．-3 B．-2 C．3 D．-2或3 【解析】因为 若，则，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，则或-2，因为，所以. 故选C. 【练习5】设集合，，，，则（ ） A． B． C． D． 【解析】 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\25356\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml3944\\wps363.png" \* MERGEFORMATINET ，，，， 对于集合，当时，，； 当时，，． ， 故选：B． 【练习6】（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A选项， 对于B选项，，B选项正确； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，而不是，D选项错误. 故选：AB. 【练习7】（多选题）下列关系式正确的为( ) A． B． C． D． 【解析】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确； B：空集里面没有元素，故B错误； C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误； D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒ 故选：AD﹒ 【练习8】若集合，，且，则（ ） A．0 B．1 C． D．0或1 【分析】根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值. 【详解】 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\25356\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml3944\\wps389.png" \* MERGEFORMATINET ，，或1， 显然，. 故选：A. 【练习9】同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ） A．6个 B．7个 C．15个 D．16个 【解析】 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\25356\\AppData\\Local\\Temp\\ksohtml3944\\wps289.png" \* MERGEFORMATINET 时，；时，；时， ；时，；，， ∴非空集合M为，，，，，，，共7个． 故选：B 【练习10】已知集合 ，且 是 中的一个元素，则 （    ） A． B． 或3 C． D． 或 【解析】集合 ，且 . ①当 时， ，此时， ，集合 中的元素不满足互异性， 故不符合题意，舍去； ②当 时， （舍）或 . 若 ，则 ，此时集合 ，符合题意， 综上所述， .故选：A. 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊆A 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 变式1：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 【答案】 8 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2， 且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有两个元素：{1,2}，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有8个． 【解析】(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集 合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数， 集合B的代表元素是有序实数对， 故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}， 故N⊆M. 变式2：指出下列各对集合之间的关系： A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【练习1】下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}； ②{0,1,2}⊆{2,1,0}； ③ ⊆{0,1,2}； ④ ＝{0}； ⑤{0,1}＝{(0,1)}； ⑥0＝{0}． A．1　 　B．2 C．3 D．4 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}⊆{0,1,2}； 对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集； 对于③，空集是任何集合的子集； 对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ⊆{0}； 对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等； 对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． 【练习2】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤5，,m＋1≤2m－1，))解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． {m|2≤m≤3}． 【练习3】若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x≥m}，若A⊆B，则实数m 的取值范围是 ． 【变式】若集合M＝{x|－3＜x＜4}，N＝{x|2a－1＜x＜a+3}，若N M实数a的取值范围是 ． $$