1.2 集合间的基本关系讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合间的基本关系，系统梳理Venn图、子集、真子集、集合相等、空集及子集性质等核心知识点，从图形表示到定义辨析，再到性质应用，构建递进式学习支架。 资料通过自然语言、符号语言、图形语言结合，助力学生用数学语言精准表达集合关系，题型从关系判断到参数求解层层递进，培养逻辑推理与抽象能力，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固练习，查漏补缺。

1.2 集合间的基本关系 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 知识点二、子集 自然语言：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 符号语言：若任意的x∈A，都有x∈B，则（或）. 图像语言：Venn图表示： 知识点三、真子集 自然语言：一般地，如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少存在一个元素不属于集合A，就称集合A是集合B的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集，记作（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 图形语言：Venn图表示： 知识点四、集合相等 自然语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 符号语言：若且，则A=B. 图形语言：Venn图表示： 知识点五、空集 1.空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即. （2）空集是任何非空集合的真子集，即(A≠). 知识点六、子集的性质 1.子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，记作. （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2.真子集的性质 （1）任何一个集合都不是它本身的真子集. （2）空集是任何非空集合的真子集. （3）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 3.有限集合的子集的个数 （1）含有n个元素的集合有2n个子集. （2）含有n个元素的集合有（2n-1）个真子集. （3）含有n个元素的集合有（2n-1）个非空子集. （4）含有n个元素的集合有（2n-2）个非空真子集. （5）若集合A含有n（n≥1）个元素，集合C含有m（m≥n）个元素，且，则符合条件的集合B有2m-n个. 题型一：集合间关系的判断 例1.指出下列各组集合之间的关系： （1）,； （2）,； （3）,； （4）,. 例2.用适合的符号填空： （1）{0,2} {2,1,0}；（2）2 {2,1,0}； （3）{x|-1<x<3} {x|0≤x≤2}；（4）Q R. 跟踪训练： 1.指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 2.已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N B．NM C．MN D．N⊆M 3.用适合的符号填空： （1）{2} N；（2）2 N；（3）{1} {x|x2+1=0}；（4）{1,2} {x|x2-3x+2=0}. 题型二：确定集合的子集、真子集的个数 例1.设集合，则其子集个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.16 例2.满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个． 跟踪训练： 1.设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 2.集合共有 个子集. 3.若集合满足，则集合的个数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 题型三：由集合间的关系求参数 例1.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. 例2.若将例1的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 例3.若将例1的条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 跟踪训练： 1.已知集合,. （1）若,求实数的取值范围； （2）若,求实数的取值范围. 2.已知，，若，求实数的取值范围. 3.已知，，若，求的取值范围. 1.下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 2.已知集合,,,,则( ) A. B. C. D. 3.设集合,,若,则( ) A.2 B.1 C. D. 4.已知集合M＝{x∈Z|<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　 　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} 5.已知集合,,则满足条件的集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.集合{a,b,c}共有 个真子集. 7.已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是 ． 8.判断下列两个集合之间的关系： （1）,; （2）,; （3）,. 1.已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0,1}⊆A 2.(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．4 3.设集合，则其子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 4.若集合满足{a,b,c}{a,b,c,d,e,f}，则集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5.若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m＜0 B．﹣1<m≤0 C．﹣1<m＜0 D．﹣1≤m≤0 6.已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7.设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝ ，b＝ . 8.已知集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝ . 9.已知集合,,且,则 ， . 10.若,则的所有取值组成的集合的真子集个数为 . 11.已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{y|ay+2＝0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为 . 12.已知集合,,若,则实数的取值范围是 . 13.已知集合. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 14.已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 15.已知集合,. （1）若,存在集合使得,求这样的集合; （2）若集合是集合的一个子集,求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合间的基本关系 知识点一、Venn图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 知识点二、子集 自然语言：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 符号语言：若任意的x∈A，都有x∈B，则（或）. 图像语言：Venn图表示： 知识点三、真子集 自然语言：一般地，如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少存在一个元素不属于集合A，就称集合A是集合B的真子集. 符号语言：如果集合，但存在元素x∈B，且，就称集合A是集合B的真子集，记作（或），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 图形语言：Venn图表示： 知识点四、集合相等 自然语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B. 符号语言：若且，则A=B. 图形语言：Venn图表示： 知识点五、空集 1.空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集，即. （2）空集是任何非空集合的真子集，即(A≠). 知识点六、子集的性质 1.子集的性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，记作. （2）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 2.真子集的性质 （1）任何一个集合都不是它本身的真子集. （2）空集是任何非空集合的真子集. （3）传递性：对于集合A，B，C，如果，且，那么. 3.有限集合的子集的个数 （1）含有n个元素的集合有2n个子集. （2）含有n个元素的集合有（2n-1）个真子集. （3）含有n个元素的集合有（2n-1）个非空子集. （4）含有n个元素的集合有（2n-2）个非空真子集. （5）若集合A含有n（n≥1）个元素，集合C含有m（m≥n）个元素，且，则符合条件的集合B有2m-n个. 题型一：集合间关系的判断 例1.指出下列各组集合之间的关系： （1）,； （2）,； （3）,； （4）,. 解：（1）方法1：将集合表示在数轴上，如图.有. 方法2：集合中的元素都在集合中，但集合中有些元素（比如）不在集合中，故. （2）因为是偶数集，是的倍数集，所以. （3）集合表示方程组的解集，用列举法可表示为，所以. （4）方法1：， ，显然. 方法2：对于任意，有.因为，所以，所以.所以. 设，此时，解得.因为在时无解，所以. 综上所述，. 例2.用适合的符号填空： （1）{0,2} {2,1,0}；（2）2 {2,1,0}； （3）{x|-1<x<3} {x|0≤x≤2}；（4）Q R. 解：（1）⊆；（2）∈；（3）；（4）⊆. 跟踪训练： 1.指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 2.已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N B．NM C．MN D．N⊆M 解：解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.故选：C. 3.用适合的符号填空： （1）{2} N；（2）2 N；（3）{1} {x|x2+1=0}；（4）{1,2} {x|x2-3x+2=0}. 解：（1）⊆；（2）∈；（3）；（4）⊆. 题型二：确定集合的子集、真子集的个数 例1.设集合，则其子集个数为( ) A.3 B.4 C.8 D.16 解：方法1：当时，；当时，； 当时，；当时，，所以集合，其子集个数为. 方法2：因为，所以是的约数，即，解得，满足，所以集合，其子集个数为.故选：D. 例2.满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个． 解：由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．故答案为：7. 跟踪训练： 1.设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}． 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}． 因此集合A的子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}． 2.集合共有 个子集. 解：方法1：子集有，共8个. 方法2：集合的元素个数为3，因此它的子集有(个).故答案为：8. 3.若集合满足，则集合的个数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 解：方法1：因为，所以集合中一定含有元素.又因为，所以集合中最多含有中的个元素.满足条件的集合有{1,2,3}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}， {1,2,3,6}，{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,6}，{1,2,3,5,6}(按元素从少到多的顺序来写)，共个. 方法2：集合中一定含有元素1,2,3,，可能含有元素4,5,6，但不同时含有元素4,5,6，由此可得满足条件的集合的个数就是集合{4,5,6}的真子集的个数，共有(个). 方法3：满足的集合的个数为.故选:B. 题型三：由集合间的关系求参数 例1.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. 解：①当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠时，如图所示． ∴或 解得：2≤m≤3.综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 例2.若将例1的条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：①当B＝时，由m＋1>2m－1，得m<2. ②当B≠时，如图所示． ∴ 解得：2≤m<3. 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}． 例3.若将例1的条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围． 解：当A⊆B时，如图所示，此时B≠. ∴,解得：, ∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B. 跟踪训练： 1.已知集合,. （1）若,求实数的取值范围； （2）若,求实数的取值范围. 解：（1）①当时，满足，由，得. ②当时，若，如图所示， 则或， 解这两个不等式组，得. 综上可得，的取值范围是. （2）当时，如图所示，此时. 所以，即，无解， 所以不存在，即不存在实数使. 2.已知，，若，求实数的取值范围. 解：若，则的可能情况有和两种. ①当时，由，解得. ②当时，因为， 所以或，解得. 综上可知，实数的取值范围是. 3.已知，，若，求的取值范围. 解：利用数轴法表示，如图所示， 则或.解得或. 所以的取值范围为. 1.下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是(　　) A．1 B．3 C．4 D．6 解：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．故选：C. 2.已知集合,,,,则( ) A. B. C. D. 解：所有的正方形都是矩形,所以正方形组成的集合是矩形组成的集合的子集,所以. 故选：B. 3.设集合,,若,则( ) A.2 B.1 C. D. 解：若,则,则或. 若,则,此时,,不满足题意; 若,则,此时,,满足题意.所以.故选：B. 4.已知集合M＝{x∈Z|<x<}，则下列集合是集合M的子集的为(　 　) A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2} C．R＝{y∈Z|－π<y<－1} D．S＝{x∈N||x|≤} 解：集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选：D. 5.已知集合,,则满足条件的集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解：,. 因为,所以集合必须含有元素,且可能含有元素, 即集合的个数为的子集个数,即有(个).故选：D. 6.集合{a,b,c}共有 个真子集. 解：集合{a,b,c}的元素个数为3,因此它的子集有(个).故答案为：7. 7.已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是 ． 解：∵BA，∴a≥1.故答案为：a≥1. 8.判断下列两个集合之间的关系： （1）,; （2）,; （3）,. 解：（1）集合中元素是数，集合中元素是有序实数对，故与之间无包含关系. （2）集合A中的元素2,3,6都是12的约数，故它们都属于集合，所以.又因为4也是12的约数，即，但是，故. （3）等边三角形是三边都相等的三角形，等腰三角形是至少有两边相等的三角形，故. 1.已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是(　　) A．0∈A B．{1}∈A C．∅⊆A D．{0,1}⊆A 解：∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确．故选：B. 2.(多选)已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．4 解：∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.故选：AB. 3.设集合，则其子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 解：因为，所以是6的约数，即，解得，满足. 所以集合 ，其子集个数为 .故选：D. 4.若集合满足{a,b,c}{a,b,c,d,e,f}，则集合的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 解：有公式可知，共有（个）.故选：C. 5.若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15个真子集，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m＜0 B．﹣1<m≤0 C．﹣1<m＜0 D．﹣1≤m≤0 解：根据题意，设集合A中有n个元素，因为集合A有15个真子集，则2n﹣1＝15，解可得n＝4，即集合A中有4个元素，而集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}，必有﹣1≤m＜0，即m的取值范围为．故选：A． 6.已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：. 因为，所以集合必须含有元素，且可能含有元素，即集合的个数为的子集个数，即有(个).故选：D. 7.设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝ ，b＝ . 解：A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，得x＝0或a或b，若A＝B，则a＝0，b＝1. 故答案为：0，1. 8.已知集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝ . 解：∵集合A＝{1，3，2m﹣1}，B＝{3，m2}，B⊆A，∴m2＝1或m2＝2m﹣1， 解得m＝﹣1或m＝1， 当m＝﹣1时，A＝{1，3，﹣3}，B＝{3，1}，成立； 当m＝1时，2m﹣1＝1，集合A不满足元素的互异性，不成立． 综上，实数m的值为﹣1．故答案为：﹣1． 9.已知集合,,且,则 ， . 解：因为 ,,又因为 ,所以,, 所以.故答案为：. 10.若,则的所有取值组成的集合的真子集个数为 . 解：由题意可知，，所以，又，所以取， 因此实数的值构成集合，其真子集数为.故答案为：7. 11.已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{y|ay+2＝0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为 . 解：因为集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{﹣3，2}，因为B⊆A，当B＝∅时，a＝0， 当B≠∅时，即a≠0时，令ay+2＝0，解得，则或， 则对应实数a的值为，综上，由a的值构成的集合为． 故答案为：． 12.已知集合,,若,则实数的取值范围是 . 解：当时，满足，此时，即.不要忽略的情况. 当时，且，得.综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 13.已知集合. （1）若，求的值； （2）若，且，求的值. 解：（1）若，则，解得. （2）因为，且， 所以，解得. 14.已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：①当B＝时，2a>a＋3，即a>3.满足题意． ②当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得 或 ，解得a<－4或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}． 15.已知集合,. （1）若,存在集合使得,求这样的集合; （2）若集合是集合的一个子集,求的取值范围. 解：（1）当时，方程的根的判别式， 所以，又，所以. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为，，，，，. （2）当时，是的一个子集，此时，所以. 当时，因为，所以当时，，所以， 此时，因为，所以不是的子集， 当时，，也不是的子集， 当时，，也不是的子集， 综上，满足条件的的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $