江苏省宿迁市沭阳塘沟高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟数学练习试卷

高一数学期末模拟练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，是方程的两个根，则的值为（    ）． A． B． C． D．2 5．已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 7．在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正四棱台中，已知，，则侧棱与底面ABCD所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则 D．若，且，则内切圆半径为 10．在中，已知，，，且为边上一点，则下列说法正确的是（    ） A．的外接圆半径 B．若是边上的高，则 C．若是的平分线，则 D．若，则 11．在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，下列选项正确的是（     ） A．直线平面 B．直线MN与AC所成的角是 C．直线平面ADN D．直线BN与是异面直线 三、填空题 12．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．    13．如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于 ． 14．如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 . 四、解答题 15．已知复数，为虚数单位． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)若复数满足，求的最值． 16．设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，角的平分线交边于，求的值. 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期及区间上的最大值和最小值； (2)在中，若，角B为锐角，点D为线段BC延长线上一点，，，，求AD的长． 18．如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 19．在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点位于第一象限. 故选：A. 2．D 【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案． 【详解】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确． 故选：D 3．B 【分析】先求出坐标公式，进而求出的坐标公式，即可求解模长. 【详解】，，， ，. 故选：B. 4．B 【分析】由已知结合方程的根与系数关系可得，，，然后结合两角和的正切公式即可求解． 【详解】由题意得，，， 所以． 故选：B． 5．C 【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 6．C 【分析】由正切、余弦二倍角公式，及辅助角公式化简进而可比较大小. 【详解】， ， ， 由正弦函数单调性已知：， 又， 所以， 故选：C 7．C 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 8．B 【分析】利用线面角的定义作出线面角的平面角即可求解. 【详解】过，，，四点作正四棱台的截面图，如图所示，为等腰梯形， 过点作于点M，过点作于点N， 由线面角的定义可知，侧棱与底面ABCD所成角即为， 由条件可得，，，， 则，， 则，所以． 故选：B. 9．ACD 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，以及锐角三角形的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B中，由为锐角三角形，可得，即， 所以所以B错误； 对于C中，由正弦定理得，所以C正确. 对于D中，若，则，，可得， 所以，则， 设的内切圆半径为r，则，解得，所以D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】对于A，先由余弦定理求出，接着由正弦定理即可求解；对于B，由等面积法即可得解；对于C，由以及正弦定理形式的面积公式即可得解；对于D，先求出，再两边平方计算即可得解. 【详解】对于A，由余弦定理得， 所以，故由正弦定理的外接圆半径，故A正确； 对于B，若是边上的高，则， 所以，故B错误； 对于C，若是的平分线，则， 则由得， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知三角形一边及其对角，如已知的一边及其对角，则 （1）求角平分线常用等面积公式即来求解； （2）求（为边上的点且满足）常用向量法先得，再两边平方来求解. 11．ABD 【分析】对于A，由可判断；对于B，直线MN与AC所成的角即为直线与AC所成的角，可判断；对于C，由DN与MN不垂直可判断；对于D，由异面直线判定定理可判断； 【详解】解：连接 对于A，连接. 因为分别为的中点， 所以， 又平行且相等， 故为平行四边形， 所以， 故， 又因为不在平面，在平面内， 所以直线平面， 故A正确； 对于B，连接 由上已经证明， 所以直线MN与AC所成的角即为直线与AC所成的角， 又因为是等边三角形， 所以直线与AC所成的角为， 故直线MN与AC所成的角是， 故B正确； 对于C，连接， 因为，所以， 而不平行， 所以DN与MN不垂直， 所以直线 MN与平面ADN不垂直， 故 C错误； 对于D，连接. 由于平面，平面，， 故直线BN与是异面直线， 故D正确. 故选：ABD 12．2 【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量的坐标，由数量积的坐标运算可得数量积. 【详解】建立如图所示的坐标系，                     由图可得，，，， ， 即有． 即，， 则 ． 故答案为：2． 13．解析：在△ABC中，AB=AC=2，BC=中，，而∠ADC=45°，,,答案应填． 【详解】试题分析：取BC的中点M，则AM=1,所以在中，. 考点：本小题考查了解三角形的有关知识. 点评：在解三角形时，可以考虑构造直角三角形来解决这样解决起来方便，特别是涉及等腰三角形时，否则就按一般的解三角形的方法来求解. 14． 【分析】根据给定条件，确定点的轨迹，进而求出的范围. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取棱中点，连接， 由点分别是棱的中点，得， 又平面，平面，则平面， 又，则四边形为平行四边形， 于是，又平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又是侧面内一点，且平面，则点的轨迹是线段， 在中，，同理， 即为等腰三角形，当为中点时，最短，为， 当位于、处时，最长，为， 所以线段长度的取值范围是. 故答案为： 15．(1) (2)， (3)， 【分析】（1）根据复数的除法运算及加法运算求出，再根据共轭复数的定义即可得解； （2）法一：将代入即可得解； 法二：根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再结合韦达定理即可得解； （3）设，根据复数的模的计算公式求出复数对应的点的轨迹方程，进而可得出答案. 【详解】（1）， 所以； （2）法一：因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 可得，即 所以，解得，； 法二：若复数是关于的方程的一个根，则是该方程的另一个根， 根据韦达定理得，， 解得； （3）设，则，即， 所以复数对应的点是以为圆心，为半径的圆， 表示复数对应的点与点间的距离， ， 则，. 16．(1)； (2). 【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解； （2）由，可得，然后与已知条件联立求解，再用角平分线定理即可求解 【详解】（1）已知，由正弦定理得：， 整理可得，所以， 由于，所以. （2）    由得， 角的平分线交边于，得， 且， ， ，又， 联立解得或， 因为， 由角平分线定理可得，. 17．(1)函数最小正周期，在区间上的最大值为2，最小值为； (2) 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解； （2）由已知先求出，结合锐角三角函数定义求出及，然后结合余弦定理即可求解． 【详解】（1）因为， 故，当时，， 所以， 所以， 即函数在区间上的最大值为2，最小值为； （2）因为在中，，角为锐角， 所以，因为，所以， 因为点为线段延长线上一点，，， 所以， 中，，，， 由余弦定理得，， 故． 18．(1)证明见解析； (2)所选条件见解析，. 【分析】（1）由题设得，，应用线面平行的判定证明平面，平面，再由面面平行的判定及性质证明结论； （2）根据已知证明，，，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距，列方程求的长. 【详解】（1）由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； （2）平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则，， 选条件①：，都在平面内，则平面， 平面，则； 选条件②：由，，， 则，又，故， 所以，则， 综上，，，， 以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系， 所以，令，则， 故，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则， 由题设，可得， 所以. 19．(1)60°； (2)等边三角形； (3). 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$