精品解析：上海市静安区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 八年级数学试卷 （完成时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题：（本大题共6题，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 一次函数的图像在y轴上的截距是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 经过点且平行于的直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列事件中，是随机事件是（ ） A. 13个人中至少有两个人的生日是同一个月份 B. 标准大气压下温度低于摄氏度，纯净水结成了冰 C 袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球．如此反复4次，4次全部取到绿球 D. 将长度分别为的三根小木条作为三条边，能围成一个三角形 4. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么实数a、b可以满足的条件是（ ） A B. C. D. 5. 已知向量、满足||=||，则（　　） A. = B. =﹣ C. ∥ D. 以上都有可能 6. 双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非矩形和菱形的任意平行四边形 二、填空题：（本大题共12题，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 方程的根是______． 8. 方程的根是________． 9. 方程的根是________． 10. 已知方程如果设，那么原方程变形为关于y的整式方程是________． 11. 化简：______． 12. 如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 13. 某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为________． 14. 如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果________．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 15. 某博物馆有A，B，C三个大门，其中A，B两门可进可出，C门只进不出．上午小海随机选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概率为________． 16. 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 17. 如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 18. 如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么度数为________． 三、解答题：（本大题共8题，满分66分）【如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤】 19. 解无理方程：． 20. 解方程组：． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． （1）点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 22. 小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了元，送外卖赚了元．已知快递比外卖多送了单，求送快递每单赚多少钱？ 23. 操作 现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． （1）重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， （2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 24. 从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， （1）请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 （2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 25. 平行四边形中，E、F分别在、上，连接、交于点G，连接、交于点H，四边形是矩形． （1）如图1，连接，如果，求证：①；②； （2）如图2，若，且，又，用含a、b的代数式表示的长．请直接写出结果： _______． 26. 如图1，四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）如图2，设相交于点K，点E在上，，联结，求证：； （3）如果，，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 八年级数学试卷 （完成时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题：（本大题共6题，满分18分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 一次函数的图像在y轴上的截距是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与轴的交点坐标，掌握截距的定义是解题的关键． 根据一次函数的一般形式，其中为轴上的截距，将题目中的函数整理为标准形式，即可直接读出截距． 【详解】解：将函数整理为，可知常数项为，即轴上的截距是 故选：B． 2. 经过点且平行于的直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求直线表达式，一次函数的图象和性质， 首先利用待定系数法求出直线表达式，然后由，得到y随x的增大而减小，直线与y轴交于负半轴，进而求解即可． 【详解】解：∵经过点且平行于的直线， ∴设直线解析式为． 代入点得：， 解得， ∴直线解析式为． ∵，， ∴y随x的增大而减小，直线与y轴交于负半轴， ∴直线经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限． 故选：A． 3. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 13个人中至少有两个人的生日是同一个月份 B. 标准大气压下温度低于摄氏度，纯净水结成了冰 C. 袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球．如此反复4次，4次全部取到绿球 D. 将长度分别为三根小木条作为三条边，能围成一个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A、13个人中至少有两个人的生日是同一个月份，是必然事件，故选项不符合题意； B、标准大气压下温度低于摄氏度，纯净水结成了冰，是必然事件，故选项不符合题意； C、袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球．如此反复4次，每次取到绿球的概率为，可能发生也可能不发生，属于随机事件，故选项符合题意； D、将长度分别为三根小木条作为三条边，因，不满足三角形三边关系，属于不可能事件，故选项不符合题意． 故选：C． 4. 如果关于x的一元二次方程无实数根，那么实数a、b可以满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将方程整理为标准形式，利用判别式分析无实根的条件，结合选项判断符号关系． 【详解】∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴． ∴， ∴， A：，此时，不满足条件． B：，此时，满足条件． C：，此时，不满足条件． D：，此时，不满足条件． 故选：B． 5. 已知向量、满足||=||，则（　　） A. = B. =﹣ C. ∥ D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可． 【详解】解：若向量、满足||=||， 可得：=，或=﹣，或∥， 故选：D． 【点睛】此题考查平面向量问题．解题时要认真审题，注意单位向量、零向量、共线向量的定义和性质的合理运用． 6. 双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】通过联立方程求出双曲线与直线的交点坐标，确定四边形各顶点的位置．利用勾股定理确定对边相等且证明出四边形为矩形． 【详解】∵双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点， ∴联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∵双曲线与直线在一、三象限分别相交于B、D两点， 联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∴； ； ∴，即 ∴； ； ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题：（本大题共12题，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根的概念，根据立方根的概念即可求解，掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8. 方程的根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握分式方程的解法． 先去分母，再利用因式分解法解一元二次方程，再验根，然后写出结果． 【详解】解：去分母，得， 解得：，， 经检验：是分式方程的根，是增根， 所以分式方程的根为． 故答案为：． 9. 方程的根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解无理方程．方程两边同时平方，变为整式方程，然后再解一元二次方程即可，最后进行检验． 【详解】解：， 方程同时平方得：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，， 经检验是原方程的根，是增根， ∴原方程的解为：． 故答案为：． 10. 已知方程如果设，那么原方程变形为关于y整式方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查换元法解分式方程，设，则，原方程可变为，再去分母即可，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 去分母得：， ∴原方程变形为关于y的整式方程是． 故答案为：． 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了向量的线性运算．根据向量的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 13. 某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该商品第二、三年折旧率为x，根据在第三年末它折旧后的价值是20元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该商品第二、三年折旧率为x， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 即该商品第二、三年折旧率为． 故答案为：． 14. 如果是函数图象上不同的两点，那么的计算结果________．（填“”、“”、“”或“不能确定”） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数的性质知，当时，判断出y随x的增大而减小，即可比较出与，与的大小． 【详解】解：， ∴一次函数中y随x的增大而减小， ∴若，则，若，则，故与始终异号，故． 故答案为：． 15. 某博物馆有A，B，C三个大门，其中A，B两门可进可出，C门只进不出．上午小海随机选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意，画树状图为： 由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，他在同一个大门出入的结果数有2种， ∴他在同一个大门出入的概率是． 故答案为：． 16. 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，分母有理化．由折叠的性质知，利用等积法列式计算即可求解． 【详解】解：设点的对应点为点，连接， ∵正方形边长为1， ∴， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，中，，F是边的中点，，那么的长是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过延长构造全等三角形，得出线段关系，再利用中位线定理求解． 延长交于点，先证，得到的长度，利用勾股定理求得的长度，再结合为中点，是中点，利用中位线定理求． 【详解】延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， 为的中点， 又 F是边的中点， ， 故答案为：1． 18. 如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共8题，满分66分）【如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤】 19. 解无理方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的解法，解题的关键是通过移项、平方将无理方程转化为整式方程求解，最后要检验增根． 先移项使无理式单独在一边，再两边平方化为整式方程，求解整式方程后检验根的有效性． 【详解】解：． ， ， 经检验是增根，舍去， 所以，原方程的根是． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查高次方程（组），将①分解成或，再与② 联立方程组求解即可． 【详解】解：由①得，， 得或， 原方程组可化为：或， 解得原方程组的解是或． 21. 在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴、y轴于A、B两点（如图所示），直线交x轴于点C． （1）点A、B的坐标，并求出直线位于x轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）现将直线平移，使其经过点B，交x轴于点D，如果，求a的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用直线确定A、B的坐标，利用直线确定C的坐标，然后利用一次函数的性质求解即可； （2）根据三线合一的性质可得出，则，根据平移的性质可设，把点D的坐标代入求解即可． 【小问1详解】 解：直线分别交x轴、y轴于A、B两点， 当时，；当时，，解得， ， 直线交x轴于点C， 当时，，解得， ， 直线位于x轴上方所有点横坐标的取值范围． 【小问2详解】 解：将直线平移，经过点，交x轴于点D，且， ， ， 直线由直线平移而得到， 两直线平行， 设， 把代入，得， ． 22. 小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了元，送外卖赚了元．已知快递比外卖多送了单，求送快递每单赚多少钱？ 【答案】送快递每单赚3元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的解法，解题关键是准确列出分式方程． 先设送快递每单赚x元，再根据题意列出分式方程求解，注意要验根． 【详解】解：设送快递每单赚x元，由题意得： ， ，解得． 经检验，都是原方程的根，但不合题意，舍去． 答：送快递每单赚3元． 23. 操作 现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． （1）重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， （2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【答案】（1）四边形是菱形（特殊位置时为正方形），见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，过点A分别作，，垂足分别是点E、F，证明，得出，即可得出结论；（特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，设菱形 的边长为，根据勾股定理得出，最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长 为底的四边形即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） 【小问2详解】 解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽  为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 24. 从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段（时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟：高峰时段（时和时），相邻班次间隔时间t（分钟）随时刻x（时）变化而变化，分别可以近似看成是t关于x的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图像如图所示）， （1）请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间t（分钟）关于某一时刻x（时）的函数解析式填入表内． 时段 峰段 t（分钟）关于x（时）的函数解析式 时 高峰段 时 非高峰段 时 高峰段 （2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即），然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午7~12时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由． 【答案】（1），， （2）当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，截图的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出非高峰时段地铁出行为20分钟分钟，再求出高峰时段7~10时地铁出行和出租车用时相等对应的时刻，最后分情况讨论结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解∶ 时 设， 把，代入，得， 解得， ∴； 当时，； 当时， 设设， 把，代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：非高峰时段地铁出行：分钟分钟 高峰时段7~10时，当地铁出行的时间与出租车的时间相等时， 则， 解得， 综上，当时，选择地铁：当时，两种皆可：当时，选择出租． 25. 平行四边形中，E、F分别在、上，连接、交于点G，连接、交于点H，四边形是矩形． （1）如图1，连接，如果，求证：①；②； （2）如图2，若，且，又，用含a、b的代数式表示的长．请直接写出结果： _______． 【答案】（1）①见解析②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； ②先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论； （2）过点A作于点M，于点N，证明，得出， 证明，得出，，证明与为等腰直角三角形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 小问1详解】 证明：①连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； ②由①得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． 【小问2详解】 解：过点A作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵中， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵矩形中， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26. 如图1，四边形中，，，且，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）如图2，设相交于点K，点E在上，，联结，求证：； （3）如果，，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），定义域 【解析】 【分析】（1）在CB上取点E，使，利用角的转换，证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是等腰梯形； （2）利用等腰梯形的性质结合平行线的性质求得，推出，再证明，据此证明即可； （3）在上取点P，使，设，在和中，利用勾股定理列式得到，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：在CB上取点E，使， ， ， ，， 又， ， ∵， 四边形是平行四边形， ． ． 四边形是等腰梯形； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 又四边形是等腰梯形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：在上取点P，使， 同理， ， ， 作，得， 设， 在和中， 由， 得，， ， ，定义域． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$