精品解析：山东省济南市天桥区宝华中学 2024 - 2025 学年下学期期中质量监测八年级数学试题

济南市宝华中学 2024 - 2025 学年度第二学期期中质量监测八年级数学试题 本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分．同学们，请认真审题，在答题卡上规范作答． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 如图，在中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．平行四边形对角线互相平分，即，，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边相等，即，，只有平行四边形是菱形时 ，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； C．因为四边形 是平行四边形，所以，根据两直线平行，内错角相等，可得，该选项正确，符合题意； D．平行四边形邻角互补，即，只有平行四边形是矩形时，一般平行四边形，该选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等式的符号不变；不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式的符号改变，根据不等式的基本性质判断即可． 【详解】解：A、由得，则，故A正确，不符合题意； B、当，则，故B错误，符合题意； C、由可得，故C正确，不符合题意； D、由可得，故D正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列多项式中，不能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．逐项分解因式的即可求解． 【详解】解：A. ，能因式分解，故该选项不符合题意； B. ，能因式分解，故该选项不符合题意； C. ，不能因式分解，故该选项符合题意； D. ，能因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案． 【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分． ② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分． ③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分． ④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分． ⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分． 综上，得分分， 故选B． 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 7. 如图，在 中，，将 在平面内绕点 旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】C 【解析】 【分析】①根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答，②当 绕点 旋转圈数时，，即可得到答案． 【详解】解：①如图， ∵， ∴， ∵ 绕点 旋转到得到， ∴， ∴， ∴． ②当 绕点 旋转圈数时，， 故最小旋转度数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 8. 如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 9. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲农妇有 个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋．根据题意，两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和个铜板．通过设定单价并建立方程，可推导出正确选项． 【详解】解：设甲农妇有 个鸡蛋，乙农妇有个鸡蛋， 由题意得，， 故选：A． 10. 如图，在等边 中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将 沿 折叠．使点B落在射线 上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】根据将 沿 折叠．使点B落在射线 上的点处，得，故，判断①正确；由题意得，可得是等边三角形，即可得判断②正确；当点N与C重合时，可得，判断③错误； 当最短时，，过M作于T，交延长线于K，当最短时，，过M作于T，交延长线于K，设，则，利用勾股定理得，设，则，，，利用勾股定理得，在中，得到，在中，求出，判断④错误．即可求出． 本题考查等边三角形中的翻折问题，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵将 沿 折叠．使点B落在射线 上的点处， ∴， ∴， ∵ 是等边三角形，， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵将 沿 折叠．使点B落在射线 上的点处， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形；故②正确； 当点N与C重合时，如图， ∵， ∴， ∵将 沿 折叠．使点B落在射线 上的点处， ∴， ∴， ∴，故③错误； 当最短时，，过M作于T，交延长线于K，如图， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得 ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴ 在中，， ∴ ∴ 在中， ， 故④错误， ∴正确的有①②， 故选：D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 12. 如图，直角 和直角重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置．若，图中阴影部分的面积为，，则 的长为____ ． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题关键是熟记平移的性质． 根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出 ． 【详解】解：根据平移可得，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7． 13. 若分式方程有增根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根 ∴， ∴， 解得：， 故答案为：2． 14. 三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”(标号1)沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”(标号2-9)转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，，已知关闭折伞后，点 ，， 三点重合，点 与点重合．当时，点 到伞柄 的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质以及勾股定理的应用，根据 、、 三点共线并且，，应用等腰三角形和平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解： 关闭折伞后，点 、、 三点重合， ， ， ， ， 如图 ， 、、 三点共线并且，过点作于点，过点 作于点， ，， ， ，， ， ，， ，， ． ， ． ， ， 关闭折伞后，点 、、 三点重合，点 与点重合， ，， ． 同理， ， ， ，， ． ， 点 到伞柄 距离为． 故答案为：． 15. 如图，已知P是线段 上的动点（P不与点A，B重合）， ，分别以为边在线段 的同侧作等边和等边，连接 ，设 的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 分别延长交于点H，证明四边形为平行四边形，再由G为 的中点，可得G正好为中点，从而得到在P的运动过程中，G始终为的中点，G的运行轨迹为的中位线 ，进而得到当P在 中点时，的值最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，分别延长交于点H， ∵，均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 与互相平分． ∵G为 的中点， ∴G正好为中点， 即在P的运动过程中，G始终为的中点， ∴G的运行轨迹为的中位线 ， ∴，， ∵当P在 中点时，， ∴当P在 中点时，的值最小，此时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 此时， ∴的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分） 16. （1）因式分解： （2）因式分解： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）；（2）；（3） ；（4） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，同分母分式加减法，异分母分式加减法，解题关键是掌握综合提公因式和公式法分解因式，同分母分式加减法，异分母分式加减法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式法分解因式； （2）先提取公因式，再利用平方差公式法分解因式； （3）利用同分母分式加法求解； （4）先通分，再利用同分母分式减法求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） = = = 17. （1）解不等式： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程；按解一元一次不等式，解分式方程的解题步骤进行求解即可． （1）先去分母，再移项，合并同类项，求出结果； （2）先去分母，化为一元一次方程求解，再验根． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 即； （2）解：去分母，得， 解得：， 经检验是原方程的增根，故原方程无解． 18. 求不等式组的非负整数解 【答案】0，1，2，3； 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，求出非负整数解即可； 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为 的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用分式的运算法则将原式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定x的值，再将其代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴，，， ∴， ∴原式． 20. 如图，四边形 是平行四边形，F是 中点，延长 交 延长线于点E．证明：． 【答案】 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是 中点， ， ∴， ； 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定是解题的关键；由平行四边形的性质可得，进而可证，即可证明； 【详解】略 21. 如图，的对角线相交于点O，且求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定、勾股定理的逆定理，掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明： ，即， 是直角三角形， ， ， 又 是菱形． 22. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点， 叫做格点三角形（三角形的顶点都是格点），请按要求完成： （1）先将 竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，请在网格中画出； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请在网格中画出； （3）将 沿直线翻折，得到，请在网格中画出； （4）线段 沿着由 到的方向平移至线段，求线段 扫过的面积. 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析； （3）作图见解析； （4）18. 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移、旋转、翻折变换以及平行四边形面积的计算，熟练掌握图形变换的性质和各类图形的特征是解题的关键． （1）根据平移的性质，将三角形的三个顶点分别按竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位的规则移动，然后连接顶点得到． （2）以为旋转中心，将的、顶点按顺时针旋转的规则变换位置，连接得到． （3）依据翻折的对称性，找到 各顶点关于直线的对称点，连接得到． （4）判断线段 平移扫过的图形形状为平行四边形，利用平行四边形面积公式（底高 ）计算，确定底和高的长度来求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：如图所示： 【小问4详解】 解：由平移性质可知，线段 扫过的图形是平行四边形 ∴． 23. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买 ， 两种型号的机器人，已知 型机器人比 型机器人每小时多搬运材料，且 型机器人搬运材料所用的时间与 型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求 ， 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购 ， 两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进 型机器人多少台？ 【答案】（1） 型机器人每小时搬运材料， 型机器人每小时搬运材料 （2）至少购进 型机器人台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． （1）设 型机器人每小时搬运材料，则 型机器人每小时搬运材料，根据“ 型机器人搬运材料所用的时间与 型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； （2）设购进 型机器人 台，则购进 型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 【小问1详解】 解：设 型机器人每小时搬运材料，则 型机器人每小时搬运材料， ， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答： 型机器人每小时搬运材料， 型机器人每小时搬运材料； 【小问2详解】 设购进 型机器人 台，则购进 型机器人台， 解得：， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进 型机器人台． 24. 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若 满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地 ，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，； （2）由题意知，，进而将，代入求解即可； （3）设，，根据求解即可； （4）因为种花区域的面积和为，所以，根据即可求解； 【详解】解：（1）， ； 故答案为：， （2），， ； 故答案为： （3）设，，则，． 所以． 所以的值是； （4）种草区域的面积和为． 因为，，，所以，． 因为种花区域的面积和为，所以． 因为，所以． 所以． 所以． 所以种草区域的面积和为． 25. 在 中，， ，，如图 1，将沿着 进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕 ；将 沿折痕 剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边 交于点M（点M不与点A重合），与边 交于点N，线段与 交于点P． （1）在图 1 中，求证： ； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求 的长； ②当经过点B时，直接写出 的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质，得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ； （2） ， 证明如下：连接，如图所示． 由旋转的性质，得，， 在与中， ∴， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得， ，，再根据推得，根据平行线的性质得出，，从而得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，由旋转的性质得，，据此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出与的数量关系； （3）①先利用勾股定理求出，再由（1）得，根据三角形中位线的性质得出，根据勾股定理求出，根据矩形的判定和性质得出，根据三角形的面积求出，，利用勾股定理求得，再利用，求得，再用勾股定理求得 ； ②设，则．由旋转的性质得，，再根据得，根据等边对等角得出，从而得，根据等角对等边得出，然后根据勾股定理求出 的值，从而可得 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①过点 作于点 ，交于点，如图所示． 在 中，， ，， 由勾股定理，得． 由（1）可知，， ，， ∴， ∴ 是 的中位线， ∴． 在中，由勾股定理，得． 由旋转的性质，得，， ∴， 四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， 又， ， ， 解得：， ； ②． 理由：如图，设，则． 由旋转的性质，得，． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称的性质，直角三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南市宝华中学 2024 - 2025 学年度第二学期期中质量监测八年级数学试题 本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时间为 120 分．同学们，请认真审题，在答题卡上规范作答． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，对角线 与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中，不能因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ） 姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分） 判断题，对的打 “√”，错的打 “×” ①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 6. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的最小度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 65° 8. 如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得 15 个铜板．” 乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．” 问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边上，将沿 折叠．使点B落在射线 上的点处，连接．已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，直角和直角重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置．若，图中阴影部分的面积为，，则 的长为____ ． 13. 若分式方程有增根，则 ______． 14. 三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”(标号1)沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”(标号2-9)转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，，已知关闭折伞后，点， ，三点重合，点与点重合．当时，点到伞柄 的距离为_________． 15. 如图，已知P是线段上的动点（P不与点A，B重合）， ，分别以为边在线段的同侧作等边和等边，连接 ，设 的中点为G；连接，当动点P从点A运动到点B时，则的最小值是_________． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 90 分） 16. （1）因式分解： （2）因式分解： （3）计算： （4）计算： 17. （1）解不等式： （2）解方程： 18. 求不等式组的非负整数解 19. 先化简，再求值：，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为 的值代入求值． 20. 如图，四边形 是平行四边形，F是 中点，延长 交 延长线于点E．证明：． 21. 如图，的对角线相交于点O，且求证：是菱形． 22. 如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点， 叫做格点三角形（三角形的顶点都是格点），请按要求完成： （1）先将 竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，请在网格中画出； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请在网格中画出； （3）将 沿直线翻折，得到，请在网格中画出； （4）线段 沿着由到的方向平移至线段，求线段 扫过的面积. 23. 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． （1）求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； （2）该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 24. 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合“数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法!请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积，得 ，观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得 ； 【知识应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，则 ； （3）若 满足，求的值． 【拓展延伸】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地 ，于点 ，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 25. 在中，， ，，如图 1，将沿着 进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕 ；将沿折痕 剪开，然后将绕点D逆时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，射线与边 交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N，线段与 交于点P． （1）在图 1 中，求证： ； （2）在图 2 中，绕点D旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）在绕点D旋转的过程中， ①如图 3，当时，求 的长； ②当经过点B时，直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $