精品解析：上海市徐汇区2024-2025学年下学期八年级期末考试数学试题

2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初二数学试卷 （时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 一次函数y=－3x－1的图象不经过（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列事件中，是确定事件的是( ) A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 B. 直线与直线有公共点 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 D. 射击运动员射击一次，命中9环 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形； C. 对角线相等的矩形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形． 6. 台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 10级风圈半径约为 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程根是______． 8. 方程的解是_____． 9. 用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 10. 已知直线（）经过点，那么不等式的解集是______． 11. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 12. 在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是______． 13. 如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是________． 14. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 15. 晚上在清洗三只除颜色外完全相同的有盖茶杯时，忽然停电，爸爸摸黑将三个杯盖随机盖在三个茶杯上，运用枚举法可以求出三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为______． 16. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺） 这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为_____尺． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为______． 18. 如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为______． 三、（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分） 19. 解方程：. 20. 解方程组：． 21. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； （2）把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ （3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 22. 已知：如图，四边形中，，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）当时，求的度数． 23. 在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． （1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； （2）当四边形是正方形时，求点的坐标． 24. 已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定． （1）如图1，当点在边上时，求证：； （2）如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题： ①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围； ②当时，求的长． 25. 综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形经验，对“邻等对补四边形”进行探究． （1）概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）． （2）性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明． （3）综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 初二数学试卷 （时间90分钟 满分100分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1. 一次函数y=－3x－1的图象不经过（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】画出一次函数的大致图像进行判断即可． 【详解】解： 当 当 画出函数图像如下： 所以函数不经过第一象限， 故选A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 2. 下列事件中，是确定事件的是( ) A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 B. 直线与直线有公共点 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 D. 射击运动员射击一次，命中9环 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，确定事件包括必然事件和不可能事件．需逐一分析各选项是否必然发生或必然不发生． 【详解】A． 抛硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不是确定事件． B． 直线与斜率均为2，平行且不重合，因此无公共点，属于不可能事件，是确定事件． C． 遇到黄灯可能发生也可能不发生，是随机事件． D． 命中9环的结果不确定，是随机事件． 综上，只有选项B是确定事件． 故选：B． 3. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，分式方程，二次根式；逐一分析各选项方程是否有实数根，结合分式方程、二次方程判别式及算术平方根的非负性进行判断． 【详解】解：选项A： 两边同乘得，解得． 但使分母为零，舍去，故无解．选项错误； 选项B： 判别式，方程无实数根．选项错误； 选项C： 算术平方根，故，不可能等于0，无解．选项错误； 选项D： 判别式，方程有唯一实数根．选项正确； 综上，只有选项D有实数根． 故选：D． 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了向量基本概念，真假命题的判断，根据向量的性质对每一项分别进行分析，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，零向量的模为，命题为真命题，不符合题意； B、若，则，模为的向量必为零向量，命题为真命题，不符合题意； C、若，则，相等向量的模必相等，命题为真命题，不符合题意； D、若，则，模相等仅说明长度相同，方向可能不同（如相反向量），故与不一定相等，命题为假命题，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形； C. 对角线相等的矩形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊四边形的判定方法逐一分析选项的正误． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．平行四边形的对角线互相平分，若对角线还互相垂直，则符合菱形的判定定理，故A正确． B． 对角线相等的平行四边形是矩形．平行四边形的对角线相等时，四个角均为直角，符合矩形的定义，故B正确． C． 对角线相等的矩形是正方形．矩形的对角线本身相等，但正方形还需满足邻边相等或对角线垂直．仅对角线相等无法直接判定为正方形，故C错误． D． 对角线相等的菱形是正方形．菱形的对角线互相垂直，若再满足相等，则符合正方形的对角线特性（相等且垂直），故D正确． 故选C． 6. 台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 10级风圈半径约为 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解题的关键是准确理解函数图象所反映的风速与台风半径的关系． 根据函数图象，分析每个选项中风速与台风半径的关系是否正确即可． 【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项说法错误，不符合题意； B、距台风中心处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意； C、10级风圈半径不是，选项说法错误，不符合题意； D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】把方程两边平方去根号得一元二次方程，解得后将解代入方程检验． 【详解】解：两边同时平方可得：x+12＝x2 可解得：x＝4或x＝﹣3； 经检验x＝﹣3不符， 故答案为：x＝4． 【点睛】本题考查解一元二次方程，需要注意对解进行检验． 9. 用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 10. 已知直线（）经过点，那么不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，利用一次函数求不等式的解集，解题关键是理解一次函数的增减性． 先判断一次函数的增减性，再根据一次函数经过的点，确定不等式的解集． 【详解】解：∵直线（）， ∴随的增大而增大， ∵直线（）经过点， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 11. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______． 【答案】##900度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【详解】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 12. 在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质得到，，然后求出，得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∵在矩形中，对角线、交于点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边对等角，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 13. 如图，在△中，点是边的中点，设，用的线性组合表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键． 先根据向量运算求出，再根据线段中点的定义可得，然后根据向量运算即可得． 【详解】解：，， ， 点D是边的中点， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，梯形中位线定理，根据三角形中位线定理可得，则四边形是梯形，根据梯形中位线定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是梯形， ∵、分别是、的中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 晚上在清洗三只除颜色外完全相同的有盖茶杯时，忽然停电，爸爸摸黑将三个杯盖随机盖在三个茶杯上，运用枚举法可以求出三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率公式，解题关键在于掌握运算法则． 根据题意，得出共6种情况，结合概率的计算公式可得答案． 【详解】根据题意，三个只有颜色不同的有盖茶杯， 设三个盖子分别为A，B，C，三个茶杯分别为，， ∴所有可能的情况有：①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，；⑥，，； ∴将茶杯和杯盖随机搭配在一起，共6种情况，而三个茶杯颜色全部搭配正确的有1种； ∴三个茶杯颜色全部搭配正确概率为． 故答案为：． 16. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺） 这段话意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为_____尺． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理应用，矩形的性质，如图，过点作于点，可得四边形是矩形，得到尺，尺，设秋千的绳索长为尺，则，，在中由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， 由题意可得，尺，尺，尺， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴尺，尺， 设秋千的绳索长为尺，则，， 在中，， ∴， 解得， 答：秋千的绳索长为尺． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 【详解】解：∵点，轴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ①点在原点的右侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移3个单位再向右平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； ②点在原点的左侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移3个单位再向左平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 18. 如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为______． 【答案】1或9 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想是解题的关键．分E在线段上和线段的延长上讨论，先根据折叠的性质和勾股定理求得，然后在中，根据勾股定理得到，结合，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 当E在线段上，如图， ∵将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； 当E在线段的延长上，如图， ∵将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，的长为1或9， 故答案为：1或9． 三、（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分） 19. 解方程：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 20. 解方程组：． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键． 先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可． 【详解】 由①得： 由②得： 或， 即原方程组化为：，，，， 解得：，，，， 所以原方程组的解为：，，，． 21. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式； （2）把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ （3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 【答案】（1） （2） （3）13个 【解析】 【分析】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 根据题意得：当时，；当时，， ∴，解得：， ∴该函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 即这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ∵x为正整数， ∴x取13， ∴一摞最多能放13个碗． 22. 已知：如图，四边形中，，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． （1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； （2）当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，直线： （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，首先求出，得到，，然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点的坐标为；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到是等腰直角三角形，点P和点C关于对称，表示出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 24. 已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定． （1）如图1，当点在边上时，求证：； （2）如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题： ①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围； ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及三角形的外角的性质即可求解； （2）①如图所示，过点E作于点G，勾股定理求出，然后得到是等腰直角三角形，求出，，证明出得到，进而求解即可；然后由即可得到x的取值范围； ②由求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：正方形， ． ， ． ， ． 【小问2详解】 ①如图所示，过点E作于点G ∵正方形的边长为6 ∴ ∴ ∵设的长为，的长为 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 整理得， ∵规定 ∴ 当时， ∵ ∴ ∴此时点F和点C重合， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴的取值范围； ②当时 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 25. 综合与探究 新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 请运用研究特殊四边形经验，对“邻等对补四边形”进行探究． （1）概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）． （2）性质探究： 小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形的对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论： 若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角； 于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想： 若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角； 请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明． （3）综合应用： 如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形． 若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）按照“邻等对补四边形”的定义逐个判断即可； （2）首先根据题意写出已知条件和求证，然后作于E，延长线于F，证明，再用角平分线的判定证明即可； （3）首先得出，然后根据至少有一组邻边相等分三种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：图①和图③没有对角互补，不是邻等对补四边形，图②和图④对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 已知条件：四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． 求证：． 证明：作于E，延长线于F， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵四边形是邻等对补四边形， ∴ ①如图所示，当时，连接 ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴； ②如图所示，当时，连接， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴ ∴； ③如图所示，当时，连接， ∵不平分和，不平分 ∴由（2）得，平分 ∴． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $