精品解析：湖北省黄石市阳新县部分学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2025年春季期中考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 13 3. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，则化简的结果是（　　） A. B. 3 C. -3 D. 8. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类二次根式_____________． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为______． 13. 中，，，为斜边的中点，为的中点，为的中点，则___________． 14. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 15. 如图，点是的边上的中点，连接，点为中点，若，，，则的度数为___________°，的长是___________． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3）． 17. 如图，在菱形中，E、F分别在边上，且，求证：． 18. 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，） （1）若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？ （2）一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长． 19. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并和“综合与实践”小组的同学一起进行测量并计算风筝的高度的实践活动，他们设计了如表方案： 课题 测量风筝的高度 测量示意图 如图，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点，于点． 测量数值 ，，． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明想要让风筝沿射线方向再上升，他手里的余线不能少于多少米？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 20. （1）已知，求代数式值； （2）已知，求值． 21. 【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 22. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 23. 已知正方形，点，分别为边，上两点． 【建立模型】 （）如图，连接，，如果，求证：； 【变式应用】 （）如图，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，与是否相等？说明理由； 【模型迁移】 （）如图，将沿折叠，使点落在上点处，与交于点，若，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，点坐标为，且，满足．为边上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）填空：点的坐标为___________，四边形的形状为___________； （2）如图，点是上一点，且，连接，，．为坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； （3）平分，交于．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期中考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解， 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B． 2. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D 3. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质，结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵平行四边形邻角互补，即． ∴， 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 中，，，的对边分别是，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、角度比例、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A：设，，，由内角和得， 解得，则，，，无直角，不能判定为直角三角形，符合题意； B：设三边为，，，验证勾股定理，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意； C：由，结合内角和得，即，是直角三角形，不符合题意； D：展开得，即，满足勾股定理，是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 6. 已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 由菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形为菱形． 选项A，B，D均不能证明四边形是菱形，故均不符合题意． 故选：C． 7. 已知实数，则化简的结果是（　　） A. B. 3 C. -3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故选：A． 8. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，正方形的判定和性质，勾股定理，由全等三角形的性质可得，，， 即得，，进而得四边形是正方形，再利用勾股定理解答即可求解，掌握正方形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在的两边上分别截取，，使，分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点C，连接，，，，若，四边形的面积为，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键．根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选：B． 10. 如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，， 是直角三角形， ，故①正确； ，都是等边三角形 和都是等边三角形 ，， 在与中 同理可证： 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③错误； 过作于，如图所示： 则 四边形是平行四边形 ，故④错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类二次根式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解本题的关键．利用同类二次根式定义写出答案即可． 【详解】的同类根式有、…（答案不唯一） 故答案为： ． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 13. 中，，，为斜边的中点，为的中点，为的中点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线．先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形中位线得到． 【详解】解：∵，，为斜边的中点， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为中位线， 即． 故答案为：． 14. 古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为____尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设秋千绳索长为尺， 则（尺）， 在中，，即， 解得：， 故答案为：14.5． 15. 如图，点是的边上的中点，连接，点为中点，若，，，则的度数为___________°，的长是___________． 【答案】 ①. ##90度 ②. 【解析】 【分析】设为的中点，连接并延长交于点，首先根据三角形的中位线得出的值，进而根据平行四边形的判定和性质求出的值，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得，易得，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设为的中点，连接并延长交于点， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， 即，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点并灵活运用． 三、解答题（本题共9小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除混合运算的法则及二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的除法计算，再利用二次根式的性质化简，最后运用二次根式的加减法法则计算，即得答案； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再运用二次根式的加减法法则计算，即得答案； （3）首先化简绝对值，零指数幂，利用二次根式的性质化简，最后运用二次根式的加减法法则计算，即得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 如图，在菱形中，E、F分别在边上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】∵四边形菱形 ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质和全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18. 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），，是圆周率．（取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到，参考数据：，） （1）若一个摆钟的摆线长为，它摆动一个周期的时间是多少？ （2）一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为，求该摆钟的摆线长． 【答案】（1）； （2）该摆钟摆长为 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解． （1）将代入计算求出T，即可得解； （2）令求出l即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 答：它摆动一个周期的时间是； 【小问2详解】 令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为． 19. 风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，唐朝以前，风筝一般被看作是用于测量、通信等军事功能的工具，之后风筝的军事功能逐渐消失了，变成了一项娱乐活动．小明自制了一个风筝，并和“综合与实践”小组的同学一起进行测量并计算风筝的高度的实践活动，他们设计了如表方案： 课题 测量风筝的高度 测量示意图 如图，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点，于点． 测量数值 ，，． （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）若此时小明想要让风筝沿射线方向再上升，他手里的余线不能少于多少米？（小明的位置不变）请运用数学知识说明． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（）由已知可得四边形是矩形，即得，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）风筝沿射线方向再上升时，可得，利用勾股定理求出，进而即可求解； 本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为； 【小问2详解】 解：当风筝沿射线方向再上升时，， 此时， ∵， ∴他手里的余线不能少于米． 20. （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）2；（2）5. 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的非负性. （1）将化为，再将代入计算即可； （2）先求出a、b的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：， 将代入得，原式； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ 21. 【课本再现】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请写出证明过程． 【类比迁移】 （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为___________． 【能力提升】 （3）如图3，在中，是边上的高，，，，设的长为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）13；（3） 【解析】 【分析】（1）利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为的正方形的面积建立方程，即可得出结论； （2）由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积−2个直角三角形的面积可得答案； （3）设的长为，则，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解:（1）依题意，∵大的正方形的面积可以表示为， 大的正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴ ∴； （2）空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）∵设的长为，则 ∵是边上的高 ∴ ∴ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC，再通过证明△ABE≌△DFA（AAS），可得AE＝AD，即可得证AE＝BC． （2）根据△ABE≌△DFA，可得BE＝AF＝4，AE＝BC，再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据EC＝BC﹣BE求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， ∵DF＝DC， ∴AB＝DF， 在△ABE和△DFA中，， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∴AE＝BC； （2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA， ∴BE＝AF＝4，AE＝BC， ∵∠B＝90°， ∴AE＝＝＝5， ∴BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、矩形的性质是解题的关键． 23. 已知正方形，点，分别为边，上两点． 【建立模型】 （）如图，连接，，如果，求证：； 【变式应用】 （）如图，点为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，与是否相等？说明理由； 模型迁移】 （）如图，将沿折叠，使点落在上的点处，与交于点，若，，求的长． 【答案】（）证明见解析；（），理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）过点作于，可得四边形是矩形，即得，再证明即可求证； （）由折叠可得，，同理（）可证，得到，，，由勾股定理得 ，再根据三角形面积可得，进而根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （）解：，理由如下： 如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （）解：如图， 由折叠可得，，， 同理（）可证， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，点坐标为，且，满足．为边上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）填空：点的坐标为___________，四边形的形状为___________； （2）如图，点是上一点，且，连接，，．为坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； （3）平分，交于．求的长． 【答案】（1），正方形 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（）利用非负数的性质求出，的值，可得点的坐标，根据折叠的性质可得，，进而可判断四边形的形状； （）利用矩形和正方形的性质可得，，设，再根据平行四边形的性质分与为对角线、与为对角线和与为对角线三种情况，利用中点坐标公式解答即可求解； （）延长，交于点，过点作于点，过点作于点，由角平分线的性质得，由勾股定理得，利用三角形面积可得，设，则，由可得，即得，再根据等腰直角三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵四边形， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， 故答案为：，正方形； 【小问2详解】 解：∵，四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①当与为对角线时， 则，， 解得，， ∴； ②当与为对角线时，则，， 解得，， ∴； ③当与为对角线时，则，， 解得，， ∴； 综上，点的坐标为或或； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点，过点作于点，过点作于点， 则，， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质判断和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $