精品解析：河南省平顶山市鲁山县两校2024-2025学年下学期期中联考八年级数学试题

鲁山县两校2024-2025 学年八年级下学期期中联考 八年级数学 (时间∶100分钟 满分∶120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是不等式的定义，掌握不等式的定义是解题的关键，依据不等式的定义求解即可． 【详解】解：①是不等式； ②是不等式； ③不是不等式； ④不是不等式； ⑤是不等式； ⑥是不等式． 综上可知，①②⑤⑥是不等式，共4个， 故选：． 2. 下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( ) A. 有两个内角分别是的三角形 B. 有一个角为的直角三角形 C. 一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D. 有两个内角分别是的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是熟记等腰三角形的定义和判定定理．根据等腰三角形的定义（两个角相等或两边相等），逐一分析各选项中的角度条件，判断是否存在两个相等的角． 【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意； B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意； C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意； D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作直线l，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出，，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线l， ∵直线直线m， ∴直线直线， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 5. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵x+1≥2 ∴x≥1 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． 6. 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她答对了x道题，则根据题意可列出不等式为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设她答对了x道题，则答错或不答道题，根据小英得分大于或等于90分列出不等式即可． 【详解】解：设她答对了x道题，则答错或不答道题，根据题意得： ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则AC的长为（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，DE⊥BC，求出BD=DC=2DE=6，根据含30度角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴DC=DB，DE⊥BC，则∠CED=90°， 在中，∠C=30°，， ∴BD=DC=2DE=6， ∴∠DBC=∠C=30°， 在中，∠A=90°，∠C=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABD=60°−30°=30°， ∴， ∴AC=DC+AD=9， 故选：D． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 8. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求出且是解题的关键．先根据第一个不等式的解集求出，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集是， ∴，，解得， ∴， ∴解关于的不等式， 可得 故选：B． 9. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到横坐标为，在x轴正半轴上，纵坐标为0，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组， ∵，，，……； ，的横坐标为， ，的横坐标为， ，的横坐标为， ……； ∵， ∴横坐标为， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∴的坐标是． 故选：A． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握“实心点对应不等号含等号、向左表示小于或小于等于”是解题的关键．根据数轴上点的虚实和方向，确定不等式的解集即可． 【详解】解：数轴上表示的点是1（实心点），方向向左， 故解集为：， 故答案为： 12. 如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度l（单位：）的合格尺寸，则l的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式、正负数的应用，理解题意正确列出不等式是解题的关键．根据题意可得，化简即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，由于倒下部分与地面成30°夹角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而离地面米处折断倒下，即BC=4米，所以得到AB=8米，然后即可求出这棵大树在折断前的高度． 【详解】如图， ∵∠BAC=30°，∠BCA=90°， ∴AB=2CB， 而BC=4米， ∴AB=8米， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米． 故答案为12． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键． 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 15. 如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】连接，首先证明，利用等边对等角得，，则，据此即可判定结论①；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，即可判断结论②；证明且，即可证得是等边三角形，即可判断结论③；证明，则，得，即可判断结论④． 【详解】解：如图1，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①正确； 由①知，， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 如图2，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 三、解答题(本题8个小题，共75分) 16. 计算： （1）解不等式：； （2）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2）， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的方法求解即可； （2）根据解一元一次不等式的方法求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得：． 17. 如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 【答案】 证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】利用角平分线的性质求得，再利用证明，可得，进而可得垂直平分． 【详解】略 18. 对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． （1）若，求的取值范围； （2）已知关于的方程的解满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，解一元一次方程．根据新定义列出关于x的不等式，正确的解一元一次不等式、一元一次方程是解题的关键． （1）根据新定义列出关于x的不等式，求解即可； （2）先解关于x的方程得出，再将代入由列出的关于a的不等式中，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， ∵，关于x的方程的解满足， ∴， 解得，． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE. （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=36°时，求∠DEF的度数. 【答案】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）72°. 【解析】 【分析】（1）根据AB=AC可得∠B=∠C，即可求证△BDE≌△CEF，即可解题； （2）根据全等三角形的性质得到∠CEF=∠BDE，于是得到∠DEF=∠B，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出结果 【详解】解：（1）略 （2）∵∠DEC=∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠CEF=∠BDE， ∴∠DEF=∠B， 又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=， ∴∠DEF=72°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 【答案】（1）如图： （2）48° 【解析】 【详解】试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数. 试题解析：（1） 略 （2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°， ∴∠FBC=24° ∵EF垂直平分BC， ∴BF=CF ∴∠FCB=∠FBC="24°" 在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°" ∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°" ∴∠ACF="180°-84°-48°=48°" 考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算. 21. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】（1）50元、30元 （2）400棵 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； 【小问2详解】 解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 22. 如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． （1）求证：； （2）若求的长度． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 23. 如图，中，，cm，cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）______cm； （2）若点P恰好在的角平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当______值时，为等腰三角形（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3）当，，3，值时，为等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以得到解答； （2）根据P的位置分两种情况进行讨论，利用角平分线的性质，求出P运动的距离，再由路程、时间、速度的关系列出等量关系，即可得到t的值； （3）可以对的腰作出讨论得到三种情况，找到等量关系列出方程即可求得t值． 【小问1详解】 解：在中，，cm，cm， 由勾股定理得，， 即； 【小问2详解】 如图，点P恰好在的角平分线上且在边上时，过点P作于点D． ∵BP平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据题意得，， ∴， ∴，． 中，，由勾股定理得： ，即， 解得； 当点P与B重合时，则， 解得， 综上所述，s或； 【小问3详解】 以对的腰作出讨论得到三种情况如下： ①如图，，则，此时； ②如图，，此时过P作于点D，则，， ，， ∴， ∴， 即， ∴，解得， 即此时； ③如图，当，此时分两种情况，点P在上时，， 则P运动的路程为，此时， 点P在上时则，如图，过C作于点E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即， 综上所述，在运动过程中，当，，3，时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形边上动点问题，及等腰三角形的关于等腰的相关讨论，还考查了勾股定理，灵活运用三角形的各种性质及分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲁山县两校2024-2025 学年八年级下学期期中联考 八年级数学 (时间∶100分钟 满分∶120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( ) A. 有两个内角分别是的三角形 B. 有一个角为的直角三角形 C. 一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D. 有两个内角分别是的三角形 3. 如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 5. 不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她答对了x道题，则根据题意可列出不等式为( ) A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED=3，则AC的长为（ ）． A. B. 3 C. 6 D. 9 8. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 如图，该数轴表示的不等式的解集是_____． 12. 如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度l（单位：）的合格尺寸，则l的取值范围为______． 13. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米． 14. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 15. 如图，在等腰中，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是______ 三、解答题(本题8个小题，共75分) 16. 计算： （1）解不等式：； （2）解不等式，并把解集表示在数轴上． 17. 如图，平分，于点E，于点F，求证：垂直平分． 18. 对于任意实数，定义一种新的运算如下：， 例如：． （1）若，求的取值范围； （2）已知关于的方程的解满足，求的取值范围． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE. （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=36°时，求∠DEF的度数. 20. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， （1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数. 21. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． （1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； （2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 22. 如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G． （1）求证：； （2）若求的长度． 23. 如图，中，，cm，cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）______cm； （2）若点P恰好在的角平分线上，求此时t的值； （3）在运动过程中，当______值时，为等腰三角形（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $