精品解析：江苏省无锡市经开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春学期期末考试试题 初二数学 注意：（1）本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． （2）考试时间为120分钟，试卷满分130分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ▭ 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕 4. 下列各式：，分式共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C 对角线互相平分 D. 对角线相等 6. 分式中x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的 7. 如图，在▱ABCD中，∠A＝100°，若∠ABD：∠DBC＝3：2，则∠DBC度数为（　　） A. 32° B. 40° C. 48° D. 60° 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的顶点 A 在反比例函数上，B、C 都在反比例函数则正方形的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 若分式的值为零，则______． 12. 如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）． 13. 某班45名学生参加数学考试，分数在90～100分的频率是0.2，则该班这个分数段的生有________． 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________． 15. 若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是______． 16. 若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是________． 17. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ____． 18. 如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ____． 三、解答题（本大题有9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. 我区某校为了丰富学生学习生活，开设英语阅读、城墙文化、篮球等三项活动课程以提升学生的素养，学工处随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）将条形统图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是 ； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢篮球的人数． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点O在格点上，轴、轴都在网格线上．线段AB的端点A、B在格点上． （1）将线段AB绕点O逆时针90°得到线段A1B1，请在图中画出线段A1B1； （2）在（1）的条件下，线段A2B2与线段A1B1关于原点O成中心对称，请在图中画出线段A2B2； （3）在（1）、（2）的条件下，点P是此平面直角坐标系内的一点，当以点A、B、B2、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标： ． 23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，菱形的面积为，求的长． 24. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”公仔按相同标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集． （3）点为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 26. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中，，，均为正整数)，则有． ∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； （2）若，且，，均为正整数，求的值； （3）化简 ． 27. 如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． （3）点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期期末考试试题 初二数学 注意：（1）本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． （2）考试时间为120分钟，试卷满分130分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. ⊥ B. ∠ C. △ D. ▭ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，一个平面图形，绕一点旋转后能与原图形重合，这个图形即为中心对称图形．进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式需要满足的条件逐一判断即可，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 【详解】A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； B、符合最简二次根式定义，是最简二次根式，故本选项正确； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D、，该二次根式的被开方数是小数，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：B 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式必须满足的条件是解题的关键. 3. 下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A. 十拿九稳 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 一箭双雕 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意； B.守株待兔是随机事件，不符合题意； C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意； D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式：，分式共有( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【详解】解：分式有：，，共2个．故选D． 5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，属于基础题型，熟知矩形对角线相等的性质是解题的关键； 根据矩形的对角线相等，而一般平行四边形的对角线不具有此性质判断即可. 【详解】解：矩形具有一般平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，还具有一般平行四边形不具有的对角线相等的性质； 故选：D. 6. 分式中x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的3倍 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将原分式中的和分别替换为和，化简后与原式比较即可得出结果． 【详解】解：当和都扩大到原来的3倍时，新的分式为： 化简后结果为原分式的3倍，因此分式的值扩大到原来的3倍． 故选C． 7. 如图，在▱ABCD中，∠A＝100°，若∠ABD：∠DBC＝3：2，则∠DBC的度数为（　　） A. 32° B. 40° C. 48° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质求得∠ABC的度数，然后根据∠ABD：∠DBC=3：2求得答案即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠ABC=180°， ∵∠A=100°， ∴∠ABC=180°-∠A=180°-100°=80°， ∵∠ABD：∠DBC=3：2， ∴∠DBC=80°×=32°， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质求得∠ABC的度数，难度不大． 8. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先分别求出的值，再进行比较即可，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ， ， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，连接，过点作交于点，先证明，得到，再证明，得到，进而得到，角的和差关系求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：连接，连接，过点作交于点， ∵正方形，连接交对角线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三线合一，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 10. 如图，正方形的顶点 A 在反比例函数上，B、C 都在反比例函数则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A，C分别作x轴的垂线于N，M，过点B作于点G，交y轴于点H，设，先利用正方形以及矩形的性质证明，，得到，，再根据点在反比例函数上得到，利用平方根的求解得到，从而得出结果． 【详解】解：如图，过点A，C分别作x轴的垂线于N，M，过点B作于点G，交y轴于点H， 点 A 在反比例函数上， 设， 四边形为正方形， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ，， B、C 都在反比例函数上， ， 整理得：， 两边平方得：， ，即， （负值舍去）， ， 正方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的求值，矩形的判定与性质，实数的运算，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线证明三角形全等为解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 若分式的值为零，则______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件分子为零、分母不为零可以求出的值． 【详解】解：根据题意，得 ，且、； 解得； 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键． 12. 如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等或两组对边分别平行，即可求解． 【详解】解：添加条件： ∵， ∴四边形是平行四边形， 添加条件： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（或）． 13. 某班45名学生参加数学考试，分数在90～100分的频率是0.2，则该班这个分数段的生有________． 【答案】9人 【解析】 【分析】根据频数等于总人数乘以该分数段的频率即可求解. 【详解】依题意分数在90～100分的学生有45×0.2=9人，故答案为9. 【点睛】此题主要考查利用频率求频数，熟练掌握求解方法是解题关键.. 14. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式 ∴2a-3=5， 解得：a=4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了同类二次根式的知识，解答关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 15. 若关于x的分式方程的根是正数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为正数，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， ∵分式方程的根是正数， ∴， 解得：， ，即， ∴， 解得：， ∴且． 故答案为：且． 16. 若顺次连接四边形ABCD四边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线AC、BD所满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】如下图，根据三角形中位线的定理，可得AG=EF=，GF=AE=，再根据菱形四条边相等的性质，可得出AC与BD的关系． 【详解】如下图，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 ∵点E、F是AB、BC的中点 ∴EF= 同理可得：AG=EF=，GF=AE= ∵要使得四边形HEFG是菱形，则HE=EF=FG=GH ∴只需AC=BD即可 故答案为：AC=BD 【点睛】本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质，解题关键是得出AG=EF=，GF=AE=． 17. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为，那么这两个正方形的重叠部分(图中阴影部分所示)的周长为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，， 两个正方形的周长和为， ， ， ，， 矩形的周长为， ， ， ， ， ， 阴影部分的周长． 故答案为：． 18. 如图，在 中，，、 边上的中线 、 相交于点 ，已知 ，，则 的长为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，根据题意设，则，在中勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：设，则 在中， ∴ ∴ 在 中， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分式的减法运算； （1）根据二次根式的加法法则计算即可； （2）根据同分母分式减法的法则计算即可． 小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键； （1）先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）先去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 21. 我区某校为了丰富学生学习生活，开设英语阅读、城墙文化、篮球等三项活动课程以提升学生的素养，学工处随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题． （1）将条形统图补充完整； （2）本次抽样调查的样本容量是 ； （3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢篮球的人数． 【答案】（1）见解析 （2）100 （3）360人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，找出所需数据是解题关键． （1）由女生喜欢城墙文化的人数和所占的百分比求出女生的人数，进而求出喜欢英语阅读的女生人数，即可补全条形统计图； （2）求出条形统计图中所有男生、女生的人数之和，即可得出答案； （3）用总人数乘以喜欢篮球的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：调查的女生人数：（人）， 女生喜欢英语阅读的人数：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：本次抽样调查的样本容量是； 故答案：100； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校学生中喜欢篮球的人数为360人． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系的原点O在格点上，轴、轴都在网格线上．线段AB的端点A、B在格点上． （1）将线段AB绕点O逆时针90°得到线段A1B1，请在图中画出线段A1B1； （2）在（1）的条件下，线段A2B2与线段A1B1关于原点O成中心对称，请在图中画出线段A2B2； （3）在（1）、（2）的条件下，点P是此平面直角坐标系内的一点，当以点A、B、B2、P为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标： ． 【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析（3）（3，0），（1，4），（1，－4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，逆时针旋转90°的点，即可画出图像； （2）根据关于原点对称的特点（横纵坐标符号相反），直接画出图形即可； （3）根据平行四边形的边的性质，由已知的点直接在坐标系中确定即可. 试题解析：（1）线段A1B1如图所示． （2）线段A2B2如图所示． （3）（3，0），（1，4），（1，－4）． 23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，菱形的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，对顶角相等得到，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∴． 24. 2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？ （2）若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是60元、64元 （2）每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． （1）设该商场购进第一批每件的进价为x元，第二批“吉祥龙”挂件每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件“吉祥龙”挂件的标价是a元，根据“两批“吉祥龙”挂件全部售完后获利不低于6000（需要减去支出1300元各项费用），且最后的50件“吉祥龙”挂件按八折优惠售出”列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元/件）． 答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元； 【小问2详解】 设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元． 由题意得： 解得： ∴“吉祥龙”公仔标价至少是90元 答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点． （1）求的值； （2）直接写出不等式的解集． （3）点为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求解析式，是解题的关键； （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据点的横坐标，结合函数图象，即可求解． （3）先求出点坐标，设，分割法求面积，列出方程求出的值即可． 【小问1详解】 ∵点在反比例函数图象上， ∴． ∴反比例函数解析式为：． 【小问2详解】 ∵，， 根据函数图象可得：不等式的解集为或； 【小问3详解】 ∵点B在反比例函数图象上， ∴． ∴． ∴． ∵ ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得：． ∴一次函数解析式为：． ∴当时，， ∴， 设点，则 ∴． ∴， 解得或． ∴点P的坐标为或． 26. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中，，，均为正整数)，则有． ∴，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ； （2）若，且，，均为正整数，求的值； （3）化简 ． 【答案】（1），； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，二次根式的混合运算，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式； （2）根据题意，，首先确定、的值，通过分析，或者，，然后即可确定的值； （3）根据题干所给的方法化简，然后根据二次根式的混合运算进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ∴ ，且为正整数， 或， ，或． 【小问3详解】 解：设，且为正整数， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理可得 ∴ ． 27. 如图，正方形边长为，为正方形对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、． （1）判断的形状，并说明理由； （2）取中点，连接，，则的面积是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是定值，请说明理由． （3）点是点关于直线的对称点，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）是定值，为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得； （2）连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得； （3）根据轴对称的性质与正方形的性质，证明得出，根据（2）的结论得出，即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 四边形是正方形，为对角线， ，，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又，， ， 在和中： ， ， ， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 是定值，如图，连接，作于点，则， ， 与的边上的高相等， ，点为的中点， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， 当时，取得最小值，即取得最小值， 由（2）可得， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$