精品解析：江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

2022-2023学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨 B. “通常加热到100C，水沸腾”是随机事件 C. 抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上 D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 3. 学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校3000名学生中随机抽取600名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 每一名学生的心理健康状况是个体 B. 3000名学生是总体 C. 600名学生是总体的一个样本 D. 600名学生是样本容量 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 5. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 一种零件长是2毫米，在一幅设计图上的长是60厘米，这幅设计图的比例尺是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 8. 若点A(﹣2，y1)，B(﹣1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 9. 如图，在中，，点 D、E分别是，的中点，连接，过点E作交的延长线于F，若四边形的周长是，的长为8，则的周长是（　　）​ A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 12. 若分式的值为零，则的值为____________． 13. 化简：______． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 15. 在一个样本中，个数据分别落在5个小组内，第1、3、4、5小组的频数分别是3，，，5，则第2小组的频数是_____． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为_____． 17. 如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于________． 18. 如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1） （2） 21. “安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与． 请根据图中提供信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算D类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 22. 如图，在中，，，是的中点，过点作交于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 23. 如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 24. 如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画出线段的中点O； （2）在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． （3）在图③中画一个矩形，使得矩形的面积为． 25. 六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． （1）求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ （2）月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 26. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接，点C关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，延长交的延长线于点G． （1）求证： （2）连接．若，菱形的边长为． ①求菱形面积； ②求的长． 27. 如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． （1）证明：； （2）当时，求折痕的长； （3）当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的定义及识别，根据轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”，中心对称图形“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心”，由此即可求解，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨 B. “通常加热到100C，水沸腾”是随机事件 C. 抛掷一枚硬币100次，一定有50次正面向上 D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】利用必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐一判断即可． 【详解】A. 天气预报说明天的降水概率是95%，则明天不一定会下雨，故说法正确； B. “通常加热到100C，水沸腾”是必然事件，故说法错误； C. 抛掷一枚硬币100次，不一定有50次正面向上，故说法错误； D. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故说法错误； 故选A． 【点睛】本题考查事件的分类，掌握相关定义是解题的关键． 3. 学生的心理健康问题越来越被关注，为了了解学生的心理健康状况，某中学从该校3000名学生中随机抽取600名学生进行问卷调查，下列说法正确的是（ ） A. 每一名学生的心理健康状况是个体 B. 3000名学生是总体 C. 600名学生是总体的一个样本 D. 600名学生是样本容量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体，样本，样本容量的概念，掌握其概念是解题的关键． 【详解】解：A、每一名学生的心理健康状况是个体，正确，符合题意； B、3000名学生心理健康状况是总体，故原选项错误，不符合题意； C、600名学生心理健康状况是总体的一个样本，故原选项错误，不符合题意； D、样本容量是600，不带单位，故原选项错误，不符合题意；   故选：A ． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定等知识点，掌握菱形、矩形、正方形的判定方法是解题的关键．根据菱形、矩形、正方形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项错误，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意； C、对角线互相垂直平分相等的四边形是正方形，所以C选项错误，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心；掌握旋转中心的确定方法是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵绕某点旋转一定的角度，得到， ∴连接，作的垂直平分线，作的垂直平分线， ∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B． 故选：B． 6. 一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是60厘米，这幅设计图的比例尺是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的计算，根据比例尺式图示距离比实际距离即可求解，注意单位要统一，掌握比例尺的概念及计算是解题的关键． 【详解】解：图上距离为厘米，实际距离为毫米，即厘米， ∴比例尺为， 故选：D ． 7. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得， 因为，， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 8. 若点A(﹣2，y1)，B(﹣1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】C 【解析】 【分析】首先把各点的坐标分别代入解析式，再根据，即可判定 【详解】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数例函数y＝的图象上， ∴y1＝，y2＝，y3＝， ， ∴ 即y2＜y1＜y3， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用直接代入比较大小也是解决次类题的一种方法． 9. 如图，在中，，点 D、E分别是，的中点，连接，过点E作交的延长线于F，若四边形的周长是，的长为8，则的周长是（　　）​ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，根据点 D、E分别是，的中点得是的中位线，则，，根据，得四边形为平行四边形，即，，即可得，在中，D是的中点，则，即可得，根据即可得；掌握中位线，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点 D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 在中，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴的周长：， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，在第一象限，反比例函数的图像经过中点，与交于点，将矩形沿直线翻折，点恰好与点重合．若矩形面积为，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形与折叠的性质，勾股定理，矩形面积与反比例函数的中的关系是解题的关键． 根据题意设，则，，可求出反比例函数解析式，可得的纵坐标为b，根据折叠的性质可得，在直角中，根据勾股定理即求出b的值，由此即可求解 【详解】解：根据题意，设，则， ∴， ∵点是矩形对角线的中点， ∴，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，即点的纵坐标为， ∴把点的纵坐标代入反比例函数解析式得，， 解得，，即， ∴， ∵沿着折叠，点与点重合，如图所示，连接，则， 在中，， ∴，且，则， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 12. 若分式的值为零，则的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0，这两个条件缺一不可．根据分子为0；分母不为0求解即可． 【详解】由题意得：且 解得： 故答案为：2． 13. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的化简公式：，再把原式化为 ，再结合公式进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解难题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的情况．利用一元二次方程根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，即：， ∴， 解得：， ∴a最小值是， 故答案为：． 15. 在一个样本中，个数据分别落在5个小组内，第1、3、4、5小组的频数分别是3，，，5，则第2小组的频数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数，根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，，，4，样本总数为，即可得，掌握各小组频数之和等于数据总和是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，，，4， 又∵样本总数为， ∴第二小组的频数是：， 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形的性质得，，，即可得，根据得，，即可得；掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 17. 如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接．若，，则的长等于________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的推论，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是以赵爽弦图为背景合理作出辅助线，运用勾股定理，全等三角形的判定和性质证明等腰直角三角形． 根据题意，结合赵爽弦图，合理构造正方形，运用全等三角形判定点是正方形，正方形的中心，得出是等腰直角三角形，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，过点作延长线于点，延长交于点，连接, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是正方形，则点是正方形，正方形中心，则，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 18. 如图，在矩形中，，，点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动，则的最小值为________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由可证，可得，则当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵点P、Q分别从点D、B同时出发以相同的速度向点C运动， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，点Q，点H三点共线时，有最小值为的长， 在中，由勾股定理可得：， 故答案为：13． 三、解答题（本大题共9小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简，分母有理化及加减运算，分式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则，分式的加减运算法则是解题的关键． （1）先化简，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）先化简通分为同分母分式，再根据分式的加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，一元二次方程，掌握解分式方程，检验分式方程的根，求根公式求一元二次方程的根的方法是解题的关键． （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法即可求解； （2）根据求根公式求一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式的分母，分式有意义， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴原方程的解为：． 21. “安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生做调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算D类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 【答案】（1）400 （2）补全图形见详解， （3）该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数约为250人 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握计算样本的百分比，根据样本百分比估算总体数量，圆心角的计算方法上解题的关键． （1）根据A类的人数及百分比即可求解； （2）运用样本容量计算出B类的人数，即可补全条形图，计算出D类的百分比，再根据圆心角的计算方法即可求解； （3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：A类的人数为：80人，百分比为， ∴（人）， 故答案：400； 【小问2详解】 解：B类的人数为：（人）， 补全条形图如下： D类的百分比为：， ∴D类所对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校5000名学生中“家长和学生都未参与”的人数约为250人． 22. 如图，在中，，，是的中点，过点作交于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据中点的性质，运用“对角线相互平分的四边形是平行四边形”，及垂直平分线的性质，“邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证； （2）根据菱形的性质可得，在直角中运用勾股定理可得的值，在直角中可得的值，在直角中可得的值，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 23. 如图，点、是反比例函数与一次函数图象的交点，连接AO、BO． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围，并求出的面积． 【答案】（1）， （2）或， 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数以反比例函数解析式的综合，掌握待定系数法求解析，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据点A，B在反比例函数图象上可得，图形结合可得，可求出反比例函数解析式，及点A，B坐标，运用待定系数法即可求解一次函数解析式； （2）令一次函数中，可得一次函数与y轴交点，根据几何图象面积的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数图象上， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，结合图形可得，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，则， ∴反比例函数解析式为：， 把点代入一次函数得，， 解得，， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：根据图示可得，当或时，反比例函数值大于一次函数值， 令一次函数时，， ∴． 24. 如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画出线段的中点O； （2）在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． （3）在图③中画一个矩形，使得矩形的面积为． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与格点与特殊四边形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，比例的运用，平行线的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解； （2）根据格点的性质分别算出的值，根据格点与勾股定理即可确定点M，N的位置； （3）先根据格点画出正方形，再根据格点的性质，确定，在线段上到点分割点，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求点的位置， 【小问2详解】 解：如图所示， ∴，，且点在格点上， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形即为所求图形； 【小问3详解】 解：如图所示，作正方形，与交于点， ∴，， ∵，， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形即为所求图形． 25. 六月无锡的味道，总是有那么些酸酸甜甜．本地醉李和杨梅纷纷上市，锡城市民在酸甜中感受初夏的味道．某水果店月初推出醉李和杨梅两种季节性水果，已知每筐杨梅比每筐醉李多元，且用元购买到的醉李与用元购买到的杨梅的筐数相同． （1）求每筐醉李和杨梅的价格分别是多少元？ （2）月份第一周醉李和杨梅按原售价分别卖出筐和筐．因为这两种水果的采摘季只有天左右，又不耐储存，所以第二周该水果店对这两种水果进行降价促销，醉李每筐降元，销量比第一周增加了；杨梅每筐降价元，销量比第一周增加了筐，结果第二周这两种水果的销售总额比第一周增加了元．此时杨梅的价格仍然高于醉李的价格，求杨梅此时每筐多少元？ 【答案】（1）每筐醉李元，每筐杨梅元； （2）元． 【解析】 【分析】（）设每筐醉李元，则每筐杨梅元，根据题意列出分式方程即可求解； （）根据题意列出二元一次方程，解方程求出的值，再结合杨梅的价格仍然高于醉李的价格即可求解； 本题考查了分式方程和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每筐醉李元，则每筐杨梅元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：每筐醉李元，每筐杨梅元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，杨梅每筐的价格为，符合题意； 当时，杨梅每筐的价格为，不合题意，舍去； 答：杨梅此时每筐元． 26. 如图，在菱形中，E是边上的点，连接，点C关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，延长交的延长线于点G． （1）求证： （2）连接．若，菱形的边长为． ①求菱形的面积； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由菱形性质判断出，，再由对称得出，得出，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出，进而得出，即可得出结论； ②先利用菱形的面积求出，再用勾股定理求出，进而得出，最后借助（1）的结论得出，即可求出，即可得出结论． 小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 由对称知，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接相交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴； ②过点D作于H， ∴， 由①知，， ∴， ∴， 在中，， 由对称知，， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键． 27. 如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． （1）证明：； （2）当时，求折痕的长； （3）当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）折痕的长为； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由，得，故，而沿着翻折得，有，即得； （2）设交于K，由，可得，而沿着翻折得，可证，即可得，故，，设设，则，知，解得，即，，设，则，有，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设交于K，如图： ∵， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴折痕的长为； 【小问3详解】 解：当时，过B作于T，如图： 设， 由（1）知， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，如图： 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ∵E在边上， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$