精品解析：辽宁省沈阳市尚品中学2024—2025学年下学期七年级数学期中试卷

2024-2025学年度（下）七年级学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题，满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即米，将化成科学计数法为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同位角 D. 与是同旁内角 4. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 抛出的铅球会下落是随机事件 B. 随机翻开一本日历，这一天正好是星期六是必然事件 C. 射击运动员射击一次命中靶心是必然事件 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件 6. 如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（ ） A. 是的高 B. 是的高 C. 是的高 D. 线段长表示点C到直线的距离 7. 如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 8. 如图，一艘渔船从A地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达B地后再沿着南偏东的方向行驶到C地，此时C地恰好位于A地正东方向上，则B地在C地的方位是（ ） A. 南偏东 B. 南偏东 C. 北偏西 D. 北偏西 9. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，，则______． 12. 在测量跳远成绩时，皮尺与起跳线要保持垂直，其数学原理是________． 13. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，如果，那么的度数是______． 14. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______． 15. 如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 先化简再求值：，其中． 18. 如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由． 19. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔概率是多少？ （2）小明获得奖品概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 20. “万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 21. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：__________； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：__________． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：__________． 【问题解决】 （3）已知，，利用（1）中①得到的等式求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积． 22. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． （2）方法运用：如图1，已知，求的度数； （3）深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间数量关系，并说明理由． 23. 问题提出：（1）小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，是的中线，若，，求和的取值范围． 他们利用所学知识很快计算出了取值范围，请你也算一算的取值范围__________． 探究方法：但是他们怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取范围． 问题解决：（2）如图2，在中，点E在上，且，过E作，且．求证：平分． 问题拓展：（3）思考：已知，如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度（下）七年级学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题，满分120分，时间120分钟） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，单项式的乘除，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的根据．分别根据完全平方公式，单项式的乘除，合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、与不是同类项，不能合并，即，故本选项运算错误； D、，本选项运算正确． 故选：D 2. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即米，将化成科学计数法为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，使用负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，下列说法正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 与是内错角 C. 与是同位角 D. 与是同旁内角 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 4. 如图，为估计池塘两岸，间的距离，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，直接利用三角形的三边关系求解即可求得的取值范围，继而求得答案． 详解】解：，， ， 即， 间的距离不可能是：． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 抛出的铅球会下落是随机事件 B. 随机翻开一本日历，这一天正好是星期六是必然事件 C. 射击运动员射击一次命中靶心是必然事件 D. 任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定会发生的事件；不可能事件指一定不会发生的事件；随机事件指可能发生也可能不发生的事件，据此判断即可求解，掌握必然事件、不可能事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】、抛出的铅球会下落是必然事件，该选项说法错误，不合题意； 、随机翻开一本日历，这一天正好是星期六是随机事件，该选项说法错误，不合题意 、射击运动员射击一次命中靶心是随机事件，该选项说法错误，不合题意 、任意买一张电影票，座位号是的倍数是随机事件，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 6. 如图，中，交BC的延长线于D点，交的延长线于E，，下列说法错误的是（ ） A. 是的高 B. 是的高 C. 是的高 D. 线段长表示点C到直线的距离 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，点到直线的距离，根据三角形的高的定义，点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是的高，是的高，是的高，线段长表示点到直线的距离； 故选项A，B，C正确，选项D错误； 故选D． 7. 如果与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘法及根据特定项系数为零求解参数，解题关键是利用多项式乘法法则展开式子，再根据不含x一次项即一次项系数为0来确定m值． 运用多项式乘多项式法则求出它们的乘积，使含x项的系数为0，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵与的乘积中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，一艘渔船从A地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达B地后再沿着南偏东的方向行驶到C地，此时C地恰好位于A地正东方向上，则B地在C地的方位是（ ） A. 南偏东 B. 南偏东 C. 北偏西 D. 北偏西 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及方向角的描述即可求解． 【详解】解：如图所示： ， ， B地在C地的方位是北偏西， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及方向角，正确画出方向角是解题的关键． 9. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， ∴， 解得． 故选C ． 10. 如图，和分别是的角平分线和高线，已知，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．先求出，的度数，根据平分线平分角求出，再利用进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和分别是的角平分线和高线， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用，由，然后把，代入求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在测量跳远成绩时，皮尺与起跳线要保持垂直，其数学原理是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．熟记“垂线段最短”是解题的关键．根据皮尺与起跳线要保持垂直即可得出答案． 【详解】解：测量跳远成绩需要测量出脚印到起跳线的垂直距离，也就是垂线段长度，数学原理为垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 13. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，如果，那么的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据折叠可得，再求出的度数，然后根据平行线的性质可得． 【详解】解：根据折叠可得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等． 14. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】过点C作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 15. 如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 三、解答题（共75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值法则分别计算，最后合并即可； （）先把，化为，再根据平方差公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值．先根据平凡差公式和完全平方公式计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图所示，EF⊥BD，垂足为E，∠1＝50°，∠2＝40°，试判断AB与CD是否平行，并说明理由． 【答案】AB与CD平行，理由见解析. 【解析】 【分析】首先根据垂直的定义求出∠D的度数，再根据同位角相等，证明两直线平行． 【详解】解：AB与CD平行． 理由：∵EF⊥BD， ∴∠FED＝90°， ∴∠D＝90°－∠1＝40°， ∴∠2＝∠D， ∴AB∥CD. 19. 六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品(如下表)．小明和妈妈购买了125元的商品，可以获得一次转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 （1）小明获得中性笔的概率是多少？ （2）小明获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已改概率求数量： （1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案. 【小问1详解】 解：， ∴小明获得中性笔的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小明获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将5个空白扇形涂上颜色. 20. “万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），项目活动报告如下: 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得的长为． 任务1: 河流的宽度为_____________m； 任务2: 请你说明他们做法的正确性． 【答案】任务1：5；任务2：见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，证明即可得出结论． 【详解】解：任务1：5 任务2：依题意得：点A，C，E在同一条直线上，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以他们的做法是正确的． 21. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； （1）①利用图2可得等式：__________； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：__________． （2）请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：__________． 【问题解决】 （3）已知，，利用（1）中①得到的等式求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）如图5，C是线段上的一点，以为边向两边作正方形和正方形，已知，两正方形的面积和24，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①；②（2）画图见解析，（3）（4）10 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①结合图形，即可解答：②根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答； （2）根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可解答； （3）根据完全平方公式，即可解答； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据可得，根据两正方形的面积和24，可得，利用完全平方公式变形公式，即可解答． 【详解】（1）①解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成， 故答案为：； ②解：结合图形可得大长方形的边长为，宽为，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成， ∴； 故答案为：； （2）解：面积为的长方形的长为，宽为； 如图所示： 拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成， ， 故答案为：； （3）解：，，， ， ； （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ， ， 两正方形的面积和24， ， ， 阴影部分的面积为． 22. 课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． （2）方法运用：如图1，已知，求的度数； （3）深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【小问1详解】 解：过点作， ，， 又因为， 所以； 【小问2详解】 解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①的度数为； 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 23. 问题提出：（1）小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，是的中线，若，，求和的取值范围． 他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围__________． 探究方法：但是他们怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取范围． 问题解决：（2）如图2，在中，点E在上，且，过E作，且．求证：平分． 问题拓展：（3）思考：已知，如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系进行解答即可； （2）延长，取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案； （3）在上取点H，使，连接，证明，得出，，证明，得出，，即可证明结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 即； 故答案为：； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3），；证明如下： 在上取点H，使，连接，如图所示： 则， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$