第十章 第4课时 列联表与独立性检验-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第4课时　列联表与独立性检验 考点一 2． 典例1　B　[设男性人数为k，依题意，得2×2列联表如下： 单位：人 性别 喜爱足球 合计 不喜爱 男性 k 女性 2k 合计 3k 依据列联表中数据计算得到 χ2＝， 因为本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论， 于是χ27.879＝x0.005，即7.879， 解得k11.818 5，而k是6的正整数倍，因此kmin＝12．] 巩固迁移1　170　[由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表如下： 单位：名 用户类型 套餐 合计 A B 个人用户 m m m 公司用户 m m m 合计 m m m 零假设为 H0：购买的套餐类型与用户类型无关． χ2＝， 因为依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为购买的套餐类型与用户类型有关， 所以χ2＝7.879，解得m165.459，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170．] 考点二 3．(2)越大 典例2　解：(1)由列联表知，s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150． (2)由列联表知，未服用药物A的动物有s＝180(只)， 未服用药物A且患疾病B的动物有80只， 所以未服用药物A的动物患疾病B的频率为， 所以未服用药物A的动物患疾病B的概率的估计值为p＝． (3)零假设为 H0：药物A对预防疾病B无效． 根据列联表中的数据可求得 χ2＝≈6.73＞6.635＝x0.01． 根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为H0不成立， 所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，可以认为药物A对预防疾病B有效． 巩固迁移2　解：(1)由题意可知，注射甲药物的小白鼠共100只，康复的有60只，故小白鼠注射甲药物康复的频率为P1＝，故可估计小白鼠注射甲药物康复的概率为； 注射乙药物的小白鼠共100只，康复的有75只，故小白鼠注射乙药物康复的频率为P2＝， 故可估计小白鼠注射乙药物康复的概率为． (2)零假设为 H0：甲、乙两种药物对治疗该种病毒的感染无差异． 由表中的数据可知， χ2＝≈5.13， 因为5.13＞5.024， 所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲、乙两种药物对治疗该种病毒的感染有差异． 考点三 典例3　解：(1)由题述列联表可知，男生合计60人， 所以女生合计100－60＝40(人)， 由题意，女生中对科技发明活动没兴趣、有兴趣的分别有40×＝10(人)，40－10＝30(人)， 男生中对科技发明活动没兴趣、有兴趣的分别有5人，60－5＝55(人)， 由此可以得到完整列联表如下： 单位：人 性别 兴趣 合计 有兴趣 没兴趣 男生 55 5 60 女生 30 10 40 合计 85 15 100 零假设为 H0：该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别无关． χ2＝ ＝≈5.229＞5.024， 所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关． (2)由题意，抽出的6名学生中，男生、女生分别有6×＝2(人)，6×＝4(人)， 若从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为x，则x的所有可能取值为0，1，2， P(x＝0)＝， P(x＝1)＝， P(x＝2)＝， 所以x的分布列为 x 0 1 2 P 所以E(x)＝0×＋1×＋2×＝1． 巩固迁移3　解：(1)零假设为 H0：大学生是否了解奥运会与性别无关． 由题意，χ2＝ ≈8.333＞6.635． 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为大学生是否了解奥运会与性别有关． (2)从该校大学生中随机抽取1人，其了解奥运会的概率为，所以x~B3，， 由题意知，x的可能取值为0，1，2，3， P(x＝0)＝×1－3＝， P(x＝1)＝×1－2＝， P(x＝2)＝×2×1－＝， P(x＝3)＝×3＝， 所以x的分布列为 x 0 1 2 3 P 所以E(x)＝0×＋1×＋2×＋3×或E(x)＝3×. 随堂练习 1．A　2．B　3．C 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4课时　列联表与独立性检验 [考试要求]　1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义．2．通过实例，了解独立性检验及其应用． 考点一　列联表与χ2的计算 1．分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示． 2．分类变量X，Y的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 则χ2＝． 注：χ2即K2，α即P(K2≥k)，xα即k，不同版本教材所用符号有所不同． [典例1]　(2024·苏州统考)为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有(　　) 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．11人 B．12人 C．13人 D．14人 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　2×2列联表是4行4列，关键是对涉及的变量分清类别，χ2的计算要准确无误． 巩固迁移1　(2025·南阳模拟)某人工智能服务商提供了A，B两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户．后台随机调取m名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则m的最小值为________． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 3.841 6.635 7.879 10.828 170　[由题意可得用户类型与购买的套餐类型2×2列联表如下： 单位：名 用户类型 套餐 合计 A B 个人用户 m m m 公司用户 m m m 合计 m m m 零假设为 H0：购买的套餐类型与用户类型无关． χ2＝＝， 因为依据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为购买的套餐类型与用户类型有关， 所以χ2＝≥7.879，解得m≥165.459，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170．] 考点二　列联表与独立性检验 1．利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法 (1)利用等高堆积条形图直观判断： 如图，在等高堆积条形图中，下方同一颜色区域的两个高度相差比较明显时，可以判断两个分类变量之间有关联性． (2)频率分析法：在2×2列联表中，与或与相差越大，两个分类变量有关联的可能性____． [典例2]　(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s，t； (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值； (3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 附：χ2＝， α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　如果χ2>xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有足够证据支持结论“X与Y有关系”． 巩固迁移2　(2025·渭南临渭区模拟)为了验证甲、乙两种药物对治疗某种病毒的感染是否有差异，某医学科研单位用两种药物对感染病毒的小白鼠进行药物注射试验．取200只感染病毒的小白鼠，其中100只注射甲药物，另外100只注射乙药物，治疗效果的统计数据如下： 单位：只 药物类型 治疗效果 合计 康复 未康复 甲药物 60 40 100 乙药物 75 25 100 合计 135 65 200 (1)分别估计小白鼠注射甲、乙两种药物康复的概率； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)依据小概率值α＝0.025的独立性检验，是否认为甲、乙两种药物对治疗该种病毒的感染有差异？ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　独立性检验的综合应用 [典例3]　为了解某校学生对科技发明活动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对科技发明活动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对科技发明活动没有兴趣． (1)完成2×2列联表，依据小概率值α＝0.025的独立性检验，能否认为该校学生对科技发明活动是否有兴趣与性别有关？ 单位：人 性别 兴趣 合计 有兴趣 没兴趣 男生 60 女生 合计 (2)从样本中对科技发明活动没有兴趣的学生按性别用分层随机抽样的方法抽出6名学生，记从这6人中随机抽取3人，抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0.10 0.05 0.025 0.010 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据完成2×2列联表； (2)根据公式χ2＝计算； (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断． 巩固迁移3　第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日在法国巴黎开幕．某体育博主为调查大学生对巴黎奥运会的了解情况，在某大学随机抽取了200名大学生(其中男生和女生各100名)提问他们有关奥运会的问题，完全答对的认为了解奥运会，否则认为不了解奥运会，得到如下2×2列联表： 单位：人 情况 性别 合计 男生 女生 了解奥运会 70 50 120 不了解奥运会 30 50 80 合计 100 100 200 (1)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为大学生是否了解奥运会与性别有关？ (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从该校大学生中随机抽取3人调查他们对奥运会的了解情况，记抽取的3人中了解奥运会的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附： χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d． α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表： 单位：人 中年人 疾病 合计 心脏病 无心脏病 秃发 20 300 320 不秃发 5 450 455 合计 25 750 775 根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2>10.828，所以断定秃发与心脏病有关系．则这种判断出错的可能性不大于(　　) A．0.001 B．0.05 C．0.025 D．0.01 2．(2025·盐城模拟)根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则(　　) α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．变量Ⅰ与Ⅱ有关联 B．变量Ⅰ与Ⅱ有关联，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．变量Ⅰ与Ⅱ无关联 D．变量Ⅰ与Ⅱ无关联，这个结论犯错误的概率不超过0.1 3．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样的方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表： 单位：人 体育锻炼 性别 合计 男 女 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$