第十章 第3课时 一元线性回归模型及其应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第3课时　一元线性回归模型及其应用 考点一 1．有关系　2．(1)正　负　增加　减少　(2)线性　非线性　一条直线　线性 3．(2)　 (3)[－1，1]　正　负　1　0 典例1　(1)A　[观察题干图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，|r|值最大．故选A．] (2)解：①样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝0.06， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝0.39． 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3． ②r＝＝ ＝ ＝≈0.97． 巩固迁移1　(1)B　(2)A　[(1)由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以学生身高和体重具有相关性，A不正确； 又身高x和体重y的样本相关系数为r＝0.825 5，样本相关系数r＞0， 所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的样本相关系数不一定是0.825 5，D不正确．故选B． (2)∵这组样本数据的所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上， ∴这组样本数据完全相关， 即说明这组数据的样本完全负相关，其样本相关系数是－1．故选A．] 考点二 (1)因变量　解释变量　a　b　Y　bx＋a　0　(2) 典例2　解：(1)＝75，＝74， 则＝－6， 所以＝74＋6×75＝524， 所以＝－6x＋524． (2)当x＝84时，＝20，所以估算2026年乘客对该市航空公司投诉的次数为20次． 巩固迁移2　B　[对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确； 对于选项BD，由表中数据知＝3，＝3.9， 所以样本点中心为(3，3.9)，将样本点中心(3，3.9)代入＝－0.6x＋＝3.9＋1.8＝5.7， 所以经验回归方程为＝－0.6x＋5.7， 所以当x＝5时，＝－0.6×5＋5.7＝2.7， ＝2.5－2.7＝－0.2，故B错误，D正确； 对于选项C，当x＝6时，销量约为＝－0.6×6＋5.7＝2.1(万只)，故C正确．故选B．] 典例3　解：(1)由散点图可知，y＝c＋dx2适宜作为企业利润y关于年份代码x的经验回归方程类型． (2)由题意得：＝11，yi＝×390＝78， ＝＝0.85， ＝78－0.85×11＝68.65， 所以y关于x的经验回归方程为＝68.65＋0.85x2． (3)在(2)中求得经验回归方程＝68.65＋0.85x2中， 令x＝6，得＝68.65＋0.85×62＝99.25， 所以估计2025年的企业利润为99.25亿元． 巩固迁移3　＝e2.15－0.18x　[因为回归模型y＝c1，且c2＝－0.18，则y＝c1e－0.18x，两边同时取对数， 可得ln y＝ln(c1e－0.18x)＝ln c1－0.18x， 令u＝ln y，此时u＝ln c1－0.18x， 因为＝10，＝0.35， 所以ln c1＝0.35＋0.18×10＝2.15， 即c1＝e2.15， 则＝e2.15·e－0.18x＝e2.15－0.18x．] 考点三 (1)窄　(2)预测值　(3)好　差 典例4　D　[对于A选项，样本相关系数绝对值不大于1，A不正确； 对于B选项，由经验回归方程知，x每增加一个单位，y平均减少 1.25个单位，B不正确； 对于C选项，第二个样本点对应的残差＝6－(－1.25×6＋13.75)＝－0.25，C不正确； 对于D选项，第三个样本点对应的残差＝4.5－(－1.25×7＋13.75)＝－0.5，D正确．] 巩固迁移4　解：(1)由折线图中的数据得＝4，＝54， ＝ ＝． 所以＝54－×4＝51，所以y关于t的经验回归方程为t＋t＋51．将2025年对应的年份代码t＝8代入得×8＋51＝57，所以预测2025年该企业污水净化量约为57吨． (2)因为R2＝1－＝1－＝0.875，与1接近， 说明经验回归方程预报的效果是良好的． 随堂练习 1．ACD　[由散点图知，变量y与变量x呈现负相关关系，即r＜0，故C错误．去掉点P后，变量y与变量x的线性相关程度变强，|r|更进一步接近1，所以r变小，故A错误，B正确，D错误．故选ACD．] 2．C　3.168　4.13.5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　一元线性回归模型及其应用 [考试要求]　1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 考点一　成对数据的相关性 1．变量的相关关系 两个变量______，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 2．相关关系的分类 (1)按变量间的增减性分为__相关和__相关． ①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现____的趋势； ②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现____的趋势． (2)按变量间是否有线性特征分为____相关和______相关或曲线相关． ①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们称这两个变量线性相关； ②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是____相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关． 3．相关关系的刻画 (1)散点图：成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图． (2)样本相关系数r的计算式 r＝___________＝___________． (3)样本相关系数r的性质 ①样本相关系数r的取值范围为____________； ②当r>0时，成对样本数据__相关； ③当r<0时，成对样本数据__相关； ④当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系． [典例1]　(1)(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 　 A　　　　　　B 　 C　　　　　　D (2)(2022·全国乙卷节选)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得＝0.038，=＝1.615 8，＝0.247 4． ①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； ②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)． 附：样本相关系数r＝≈1.377． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　判定两个变量正、负相关的方法 (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． (2)样本相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关． (3)经验回归方程＝x＋中：>0时，正相关；<0时，负相关． 巩固迁移1　(1)(2025·凉山州模拟)调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示的散点图，其中身高x和体重y的样本相关系数r＝0.825 5，则下列说法正确的是(　　) A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重正相关 C．学生身高和体重负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.825 5 (2)(2024·福建一模)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－1 B．1 C．－ D． 考点二　回归模型 一元线性回归模型与最小二乘法 (1) 一元线性回归模型 称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为______或响应变量，x称为自变量或________，__称为截距参数，__称为斜率参数；e是__与________之间的随机误差．如果e＝__，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述． (2)最小二乘法 将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中 ＝，＝． [常用结论] (1)经验回归直线过点()． (2)求时，常用公式＝． 　一元线性回归模型 [典例2]　某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年乘客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2017年～2024年)每年航班正点率x%和每年乘客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值． )2 600 592 43 837.2 93.8 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2026年航班正点率为84%，利用(1)中的经验回归方程，估算2026年乘客对该市航空公司投诉的次数． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　(1)求经验回归方程的步骤 (2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值． 巩固迁移2　某商家经销某种玩具，统计了最近5个月销量，如下表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若y与x线性相关，且经验回归方程为＝－0.6x＋，则下列说法不正确的是(　　) A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．当x＝5时，残差为0.2 C．可以预测当x＝6时，销量约为2.1万只 D．经验回归方程＝－0.6x＋中＝5.7 　非线性回归模型 [典例3]　(2025·无锡新吴区模拟)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5． (1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程； (3)根据(2)的结果，估计2025年的企业利润． 参考公式及数据： ＝，＝－， ＝55，＝979，＝390，＝1 221， ＝4 607.9． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)由散点图直接得结论；本例(2)通过整体代换思想把x2看作x利用最小二乘法求出与的值，可得y关于x的经验回归方程；本例(3)利用(2)中求得的经验回归方程，取x＝6求解y值即可． 巩固迁移3　汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损．某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型y＝c1ec2x，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①c2＝－0.18；②＝10，令u＝ln y，＝0.35，则经验回归方程应为____________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考点三　回归效果分析 刻画回归效果的方式 (1)残差图法 在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越__，说明模型拟合精度越高． (2)残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去______所得的差称为残差． (3)利用R2刻画拟合效果 R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越__，R2越小，模型的拟合效果越__． [典例4]　(2025·湖南师大附中模拟)某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到下表： x 5 6 7 8 9 y 8 6 4.5 3.5 3 根据表中数据可得经验回归方程＝－1.25x＋13.75，以下说法正确的是(　　) A．x，y具有负相关关系，样本相关系数r＝－1.25 B．x每增加一个单位，y平均减少13.75个单位 C．第二个样本点对应的残差2＝0.25 D．第三个样本点对应的残差3＝－0.5 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　检验回归模型的拟合效果的两种方法 (1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差． 巩固迁移4　如图是某企业2018年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2018～2024． (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的经验回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量； (2)请用决定系数说明经验回归方程预报的效果． 参考数据：＝54，)(yi－)＝21，≈3.74，＝． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)在如图所示的散点图中，若去掉点P，则下列说法错误的是(　　) A．样本相关系数r变大 B．变量y与变量x的相关程度变强 C．变量y与变量x呈现正相关关系 D．变量y与变量x的相关程度变弱 2．(人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2)根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，对应的残差如图所示．模型误差(　　) A．满足一元线性回归模型的所有假设 B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设 C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设 D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设 3．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2改编)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高是________cm．(结果精确到整数) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方程为＝2.5x＋2，则实数a的值为________． x 2 3 4 5 6 y 6.5 10 11.5 a 18.5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$