第十章 第2课时 用样本估计总体-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

第2课时　用样本估计总体 [考试要求]　1．能用样本估计总体的取值规律，会求n个数据的第p百分位数．2．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．3．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义． 考点一　总体百分位数的估计 1．百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有________________的数据大于或等于这个值． 2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从__到__排列原始数据． 第2步，计算i＝________． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第__项与第__________项数据的平均数． 3．四分位数 (1)______________________这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． (2)第____百分位数又称第一四分位数或下四分位数；第____百分位数又称第三四分位数或上四分位数． [典例1]　(1)(2025·长沙模拟)已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度(单位：m/s)的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的75%分位数是(　　) A．44.5 B．45 C．45.5 D．46 (2)某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生的成绩，其频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的75%分位数为________． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　本例(1)中，求百分位数的关键是将原始数据从小到大排列，在此基础上准确计算；本例(2)，求频率分布直方图中的百分位数，根据频率计算． 巩固迁移1　(1)(2024·广州月考)已知一组数据34，36，39，41，44，45，x，50的第65百分位数是45，那么实数x的取值范围是(　　) A．[45，＋∞) B．(45，＋∞) C．(45，50) D．[45，50] (2)为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了100个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50](单位：元)，其频率分布直方图如图所示，估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为________．(精确到0.01) 考点二　总体集中趋势的估计 名称 概念 平均数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数＝__________________ 中位数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在________________(当数据个数是奇数时)或______________________(当数据个数是偶数时)叫做这组数据的中位数 众数 一组数据中出现次数最__的数据(即频数最大值所对应的样本数据)叫做这组数据的众数 [常用结论] 若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a． 　样本的数字特征 [典例2]　在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是(　　) A．中位数，平均分，方差均不变 B．中位数，平均分，方差均变小 C．中位数不变，平均分可能不变，方差变小　 D．中位数，平均分，方差都发生改变 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　中位数、众数和平均数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”和“平均水平”． 巩固迁移2　(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 　频率分布直方图中的数字特征 [典例3]　某学校为了解高三学生的学习情况，随机抽取了100名学生某次模拟考试数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例)； (2)估计该校高三学生模拟考试数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校高三学生模拟考试数学成绩的众数、平均数． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高的矩形底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和是相等的． (3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个矩形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 巩固迁移3　(2024·宜宾三模)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1 000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是(　　) A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75分 C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的中位数为分 考点三　总体离散程度的估计 1．方差和标准差 假设一组数据是x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，称为这组数据的方差，也可以写成的形式；称为这组数据的标准差． 2．总体方差和标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2＝＝1(Yi－)2． (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2． 总体标准差：S＝． 3．样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝＝1(yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差． [常用结论] 数据x1，x2，…，xn的方差为s2． (1)数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差为s2； (2)数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2． [典例4]　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10)，试验结果如下： 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2． (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 巩固迁移4　某校高一(1)班、(2)班的学生人数分别为40，42，在某次测验中，记(1)班所有学生的成绩分别为x1，x2，…，x40，平均成绩为，方差为，已知xi＝3 200，＝260 000． (1)求； (2)记(2)班所有学生的成绩分别为y1，y2，…，y42，其平均成绩为82，＝6 834，试求两个班的所有学生的平均成绩(结果保留整数)，并说明哪一个班的成绩比较稳定． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(人教A版必修第二册P198练习T1改编)某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70，100]内．现将所有学生的体能测试成绩按[70，80)，[80，90)，[90，100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图．若根据体能测试成绩采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在[90，100]内的被抽取的学生人数为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 2．一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则(　　) A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本方差相同 C．两组样本数据的样本中位数相同 D．两组样本数据的样本极差相同 3．(人教A版必修第二册P204练习T2改编)某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是________． 4．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是3.6，方差是2，则新数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数是________，方差是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　用样本估计总体 考点一 1．p%　(100－p)%　2．小　大　n×p%　j　i　(i＋1)　3．(1)25%，50%，75%　(2)25　75 典例1　(1)C　(2)88　[(1)数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，共8个， 8×75%＝6，故这组数据中的75%分位数是＝45.5．故选C． (2)根据频率分布直方图知，(0.005＋0.03＋a＋0.015)×10＝1，解得a＝0.05， 因为(0.005＋0.03)×10＝0.35，0.35＋0.05×10＝0.85， 所以75%分位数在[80，90)内，设75%分位数为x，则(x－80)×0.05＋0.35＝0.75，解得x＝88．] 巩固迁移1　(1)A　(2)38.65　[(1)因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据45， 则x45．故选A． (2)因为(0.01＋0.023)×10＝0.33，0.33＋0.037×10＝0.7，所以第65百分位数在[30，40)内，设第65百分位数为x，则(x－30)×0.037＋0.33＝0.65，解得x≈38.65． 所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65．] 考点二 (x1＋x2＋…＋xn)　最中间的一个数据　最中间两个数据的平均数　多 典例2　C　[不妨设原始分为x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7≤x8，且x1≠x8，则其中位数为， 则有效分为x2≤x3≤x4≤x5≤x6≤x7，则其中位数为，两者相等，所以中位数不变； 例如：原始分为1，2，2，2，2，2，2，3，则其平均数为2， 则有效分为2，2，2，2，2，2，则其平均数为2，两者相等，所以平均数可能不变； 因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分(最高分和最低分不相等)，得到6个有效分， 即把波动最大的两个值去掉，则有效分比原始分更集中，波动性减小， 根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小．故选C．] 巩固迁移2　BD　[取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A，C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．] 典例3　解：(1)由频率分布直方图的性质，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003． 所以及格率为(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%． (2)得分在110以下的学生所占比例为(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66， 得分在130以下的学生所占比例为0.66＋0.014×20＝0.94， 所以第80百分位数位于[110，130)内， 由110＋20×＝120，估计第80百分位数为120． (3)由频率分布直方图可得，众数的估计值为100． 平均数的估计值为0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6． 巩固迁移3　D　[10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，解得a＝0.005，故A正确； 由题图易得在区间[70，80)的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确； 10×0.005×(2＋3)×1 000＝250，故可估计成绩低于60分的有250人，即C正确； 由图中前三组面积之和为：(2＋3＋3)×0.005×10＝0.4，前四组面积之和为：(2＋3＋3＋6)×0.005×10＝0.7， 故这组数据的中位数在第四组数据中，设这组数据的中位数为m， 则有0.4＋6×0.005×(m－70)＝0.5， 解得m≈73，即估计这组数据的中位数为73，故D错误．故选D．] 考点三 1．(xi－)2　　 典例4　解：(1)由题意，求出zi的值如表所示， 试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12 则×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61． (2)因为2＝2＝11＝， 所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 巩固迁移4　解：(1)由题意可知，＝80， 所以×260 000－802＝100． (2)记(2)班的平均成绩为，方差为，则＝82， 所以两个班所有学生的平均成绩为×80＋×82≈81， ＝6 834－822＝110， 因为， 所以(1)班的成绩比较稳定． 随堂练习 1．B　2．C　3.13.7，14.7，15.3 4．5.6　2　[∵数据x1，x2，…，xn的平均数是3.6，方差是2，∴新数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2的平均数是3.6＋2＝5.6，方差为2．] 学科网（北京）股份有限公司 $$