专题07 三角形章末易错压轴题型（17易错+10压轴）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

专题07 三角形的初步认识章末易错压轴题型 （17易错+10压轴） 易错题型一 三角形的相关概念 1．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确； ②三角形的两边之差小于第三边，故②错误； ③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误 ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确 ∴上述说法中正确的有2个. 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 2．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 3．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 易错题型二 三角形的分类 4．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 5．已知在中，，如果按角进行分类，那么是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理，求出最大的角的度数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴钝角三角形， 故答案为：钝角． 6．在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 【答案】(1)； (2)按边分类，属于等腰三角形；按角分类，属于直角三角形 【分析】（1）设∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理列方程求解即可； （2）根据三角形按边分类和按角分类即可． 【详解】（1）解：∠A=∠B=x，则∠C=2x，根据三角形内角和定理，得 x+x+2x=180°, 解得：x=45°， ∴∠A=∠B=x=45°，∠C=2x=90°； （2）解：∵∠A=∠B=x=45°， ∴AC=BC， ∴△ABC按边分类是等腰三角形； ∵∠C=90°， ∴△ABC按角分类是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形分类，掌握三角形内角和定理和三角形分类方法是解题的关键． 易错题型三 三角形三边关系 7．如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：第三边， ∴第三边； 故选D． 8．已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，构成三角形的条件，非负数的性质，根据完全平方公式可得，则由非负数的性质可得，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 易错题型四 与三角形高有关的计算 10．如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故选：A． 11．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案. 【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高， ． ，， ． ， ． ． 解得． 点到直线的距离是． 故选：A． 12．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 易错题型五 根据三角形中线求解 13．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 14．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出，得出，再由中线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵、是的中线， ∴， ∵，， ∴， 连接并延长交于点K，如图所示： ∴为中线， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵的面积为36， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：12． 15．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，， (1)求的面积 (2)求的长： 【答案】(1)60 (2)24 【分析】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面积，是解题的关键． （1）利用面积公式进行计算即可； （2）利用面积公式进行求解即可； 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 的面积 （2）解：∵的面积，， ∴． 易错题型六 三角形内角和问题 16．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 17．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，等于与它不相邻的一个内角的3倍．则此三角形最大内角是 度． 【答案】100 【分析】先根据已知三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，互为邻补角的两个角和为180°，从而求出这个外角与它相邻的内角的度数．根据这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍，可以得到这两个与它不相邻的内角的度数，进而得到这个三角形各角的度数． 【详解】解：∵三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍， ∴可设这一内角为x°，则与它相邻的外角为5x°， ∴x°+5x°=180°， 解得x=30， ∴5x°=150°， 又∵这个外角还等于与它不相邻的一个内角的3倍， ∴与它不相邻的一个内角为：150°÷3=50°， ∴第三个内角为150°-50°=100°， ∴这个三角形最大的内角是100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 18．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（2）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（2）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 易错题型七 定义、命题、证明 19．下列命题：①内错角相等；②无理数都是无限小数；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中为真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】逐一判断各命题的真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②无理数是无限不循环小数，必为无限小数；③同一平面内，过一点有且仅有一条垂线；④平行公理要求点在直线外，命题未明确导致不严谨． 【详解】解： 命题①：内错角相等的前提是两直线平行．若两直线不平行，内错角不相等，故①为假命题． 命题②：无理数的定义为无限不循环小数，而无限不循环小数必为无限小数，故②为真命题． 命题③：在同一平面内，过一点（无论是否在直线上）有且仅有一条直线与已知直线垂直，故③为假命题． 命题④：根据平行公理，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行．但命题未限定“直线外一点”，若点在直线上则无平行线，故④为假命题． 20．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 21．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义 【分析】先证明得到，根据垂直的定义得到，则，即可证明． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴（垂直的定义） ∴， ∴（垂直的定义）， 故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 易错题型八 全等三角形的概念 22．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 23．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 24．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 易错题型九 全等三角形的性质 25．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 26．如图，在中，，，，点在上，若．则 ． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及全等的性质、三角形内角和定理等知识，先由两个三角形全等得到，在中，由三角形内角和定理可得，最后数形结合表示出求解即可得到答案．熟记全等的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 在中，，，则由三角形内角和定理可得， ， ， 故答案为：． 27．如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒． (1)直接写出： ①___________厘米； ②__________厘米（可用含的代数式表示）； (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值． 【答案】(1)①，② (2)的值为6、t的值为2或的值为4、t的值为1 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题． （1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若， 根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：①，②； 故答案为：①，②； （2）解：由题意可得：， 分两种情况： ①若， 则， 所以， 所以； ②若， 则， 所以． 综上所述，的值为6、t的值为2或的值为4、t的值为1． 易错题型十 全等三角形的判定 28．在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定．根据全等三角形的判定，进行判断即可得． 【详解】解：A、，，，根据即可推出，选项说法正确，不符合题意； B、，根据不能推出，选项说法错误，符合题意； C、，，，根据即可推出，选项说法正确，不符合题意； D、，，，根据即可推出，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 29．如图，已知：在 和 ，点 ，，， 在同一直线上，在给出的下列条件中，① ，② ，③ ，④，选出三个条件可以证明 的有（    ）组． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定；根据已知得出，根据平行线的性质得出，进而根据全等三角形的判定定理分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴若①②③为条件，不能证明， 若①②④为条件，能证明， 若①③④为条件，不能证明， 若②③④为条件，能证明． 故选：C． 30．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 【答案】(1)①，SSS (2)见解析 【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题； (2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题． 【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF， 选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分） 故答案为：①，SSS； （2）证明：∵△ABC≌△DEF． ∴∠A＝∠EDF， ∴AB∥DE． 【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 易错题型十一 全等三角形的判定与性质结合 31．如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质及邻补角即可求出最后结果． 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ，， ∴在中，由三角形性质得：， ∴， 故选：D． 32．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 33．如图，中，于D，若． (1)若线段，则_____； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证明即可求解； （2）由得，再由对顶角相等即可得，从而求证． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， 即， ∴． 易错题型十二 角平分线的判定 34．如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 35．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ，， ， ， ， ； 故答案：． 36．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 易错题型十三 角平分线的性质 37．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 38．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 由题意可知：于F，由线段的和差可得，根据角平分线的性质求出即可解答． 【详解】解：由题意可知：于F， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴，即点到BC的距离为2． 故答案为2． 39．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点交于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查角平分线性质，熟练掌握性质是解题关键． （1）根据平分得出，再由三角形内角和即可得出结果． （2）由角平分线性质可得，再根据等面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：在中，平分， ，    又且， ，                   解得． （2）∵点D是的平分线上一点， 且于点于点F， ，                     又， 且，， ， 解得． 易错题型十四 尺规作角平分线 40．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，   ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 41．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作角平分线，三角形的内角和定理的应用，证明，，可得. 【详解】解：由作法得平分，平分， ∴，． ∵ ∵， ∴． 故答案为： 42．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由角平分线的定义得到，由线段垂直平分线的性质得到，据此可利用证明． 【详解】（1）解；如图所示，射线，直线即为所求． （2）解：，证明如下： ∵为的平分线， ∴， ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴． 易错题型十五 垂直平分线的判定 43．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条垂直平分线的交点，即可得出结果．掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：由题意得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等， ∴凳子应该放在三边垂直平分线的交点上； 故选：B． 44．在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 【答案】4或12 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，先利用，可判断点、都在的垂直平分线上，然后分类讨论：当点在的内部时，易得；当点在的外部时，易得． 【详解】解：， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 所在直线是的垂直平分线， 如图，为直线与的交点， ∵若点到的距离为8，点到的距离为4， ∴，， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，． 综上，的长为4或12． 故答案为：4或12． 45．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 易错题型十六 垂直平分线的性质 46．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 47．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：垂直平分，垂直平分， ，， ∴的周长， 即的周长为10， 故答案为：10． 48．如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，即可得出答案； （2）由（1）得，结合的周长求出，即可得出答案； （3）由（2）得的周长，代入数据即可得出答案． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 又， ． 故答案为：． （2）解：由（1）得，， 的周长， 又， ． 故答案为：． （3）解：由（2）得，的周长， 又，， 的周长， 的周长是． 易错题型十七 尺规作垂直平分线 49．如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法，准确画出图形是解决本题的关键． 以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧交前弧于点，连接则垂直平分线段，点即是所要求的点． 【详解】证明：以为圆心，为半径画弧， 以为圆心，为半径画弧交前弧于点， 连接则垂直平分线段，如图所示， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分线段． 50．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 51．（1）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图作的垂直平分线，交于，交于（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______． 【答案】（1）图见解析 （2）8 【分析】本题主要考查垂直平分线的做法-尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可； （2）根据（1）中可知，即可求得的周长． 【详解】解：（1）如图所示： （2）由作图可知， 的周长， 故答案为：． 压轴题型一 三角形的折叠问题 52．如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的，处，则∠+∠等于（     ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】首先根据四边形内角和定理可得∠D+∠C=210°，再利用折叠性质可得∠=∠D，∠=∠C，即∠+∠=210°，从而得出∠+∠=150°，最后进一步利用三角形内角和定理求解即可. 【详解】∵∠A=80°，∠B=70°， ∴∠D+∠C=360°−∠A−∠B=210°， 由折叠性质可得：∠=∠D，∠=∠C， ∴∠+∠=210°， ∴∠+∠=360°−(∠+∠)=150°， ∴∠+∠=360°−(∠+∠)−(∠A+∠B)=60°， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形与四边形内角和定理以及折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 53．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 54．知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角和性质： （1）根据三角形的内角和定理和邻补角，进行证明即可； （2）利用三角形外角的性质和三角形的内角和定理，进行求解即可； （3）利用角平分线的性质和三角形的外角的性质，进行证明即可； （4）利用三角形的外角的性质和折叠的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴； （2）∵，． 又∵ ∴． 故答案为：； （3）∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 压轴题型二 三角形中线有关求解 55．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，，根据已知得出①，进而得出，可得②，解方程组，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    设， ∵ ∴，， ∵， ∴，即 整理得① ∵，则 ∴ ∴即解得② 联立①②得 ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形面积公式，得出是解题的关键． 56．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 57．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等高的三角形的面积之间的关系，多项式的乘法，理解等高的两个三角形的面积关系是解本题的关键，先依次求解，，，，，设，则，可得，，结合，可得，再建立方程求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，连接，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴四边形的面积是：. 故答案为： 压轴题型三 全等三角形的动点问题 58．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点的运动速度是，则有，分两种情况：当时，当，时，分别求解即可得解． 【详解】解：设点的运动速度是，则有， ∴与全等有两种情况： 当，时， ，， 解得：，， 即点的运动速度是； 当时，， 解得：，即点的运动速度是； 综上所述，点的运动速度为1或，与全等， 故答案为：1或． 59．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 【答案】或或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想是解题的关键． 分四种情况讨论：①当在线段上，时；②当在上，时；③当在线段上，时；④当在上，时；分别画出图形解答即可． 【详解】解：分四种情况讨论： ①当在线段上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ②当在上，时， 则， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ③当在线段上，时， 则， 这时在点未动，因此运动时间为秒； ④当在上，时， 则， ， ∴点的运动时间为（秒； 综上，当点运动或或或秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等， 故答案为：或或或． 60．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 压轴题型四 倍长中线模型 61．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析 【分析】（1）由是边上的中线，得出，结合，，可利用证明，得出答案即可； （2）延长到，使，连接，得出，由（1）得，得出，再根据三角形的三边关系得出答案即可； （3）延长到，使得，连接，由（1）得，得，，推出，得出，进一步推出，利用证明，得出，结合，进一步推出即可． 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 由已知和作图能得到的理由是， 故选：B； （2）如图，延长到，使，连接， ， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故选：C； （3），理由如下： 如图，延长到，使得，连接，    由（1）得， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 62．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）解：，， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ②解：由①可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 63．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【答案】[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解； [问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证． 【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴题型五 手拉手模型 64．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 65．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 66．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 压轴题型六 旋转模型 67．【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图1，当点，，在同一条直线上时，连接、，延长交于点，试说明； (2)【类比探究】如图2，当点、、不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，试说明； (3)如图3，、、三点共线，且，将线段绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)、或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，角度的和差，一元一次方程，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）证明即可得； （2）证明，得出，再利用，，即可得出； （3）先得出，根据题意，分情况分别讨论，分别画出图形，构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； （3）\解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， 线段绕点以每秒的速度顺时针旋转时，运动时间为，以相同速度回转到出发时的位置时，运动时间为， 当时，由旋转知，， 如图1，第一次与平行时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图2，第二次与平行时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，由旋转知，， 如图3，第三次与平行时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 如图4，∵的运动时间， ∴的旋转度数， ∴由图可知第三次与平行后无法再存在平行情况； 综上所述，的值为、或． 68．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键． 69．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到， 使， 证明，推出， ， 证， 推出即可； （2）延长到， 使， 证，推出， ， 证， 推出即可； （3）在截取， 连接， 证，推出，， 证， 推出即可． 【详解】（1）， 证明： 延长到， 使， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）， 证明： 延长到， 使， 连接， 由（1）知： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 证明： 在截取， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 压轴题型七 半角模型 70．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 71．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 72．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【分析】（1）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）延长，截取，连接，根据定理可得出，故可得出，，再由，可得出，故，由定理可得，故，故的周长，由此可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ∵， ， ，， ∵，， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中， ∵， ， ，， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 压轴题型八 一线三等角模型 73．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 74．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 75．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 压轴题型九 截长补短模型 76．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 77．【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 【答案】（1）解答过程见解析；（2）见解析． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质，理解题意做出辅助线是解题的关键． （1）在上截取，可得是的垂直平分线即可求证； （2）在线段上截取，连接，证明即可求证 【详解】证明：（1）在上截取，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）在线段上截取，连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 78．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 压轴题型十 角平分线、垂直平分线综合问题 79．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 80．如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）由题意可知垂直平分，故有，利用角平分线的性质可得 ，故可推出，即可求证； （）证，得，根据，通过等量代换可得，即可求解； （）如图，延长到，使，连接，根据证明，再根据三角形的三边关系解答即可； （）如图，过点作于，设，则，根据勾股定理列等式可得，，过点作于，作于，先根据角平分线的性质得，最后由面积法解答即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵，为的中点， ∴， ∵，，是的角平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （4）解：如图，过点作于，设，则， 由勾股定理得：， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于，作于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的面积等知识点，掌握知识点的应用及正确作辅助线构建全等三角形和三角形的高线是解题的关键． 81．课本再现： (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题 已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，． 求证： ； 是的垂直平分线． (3)已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长_____． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；见解析； (3)． 【分析】连接点与的中点，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证，所以可证是的垂直平分线； 首先利用可证，根据全等三角形对应边相等可证；因为，，可证是线段的垂直平分线，所以可证点在线段的垂直平分线； 根据线段垂直平分线的性质可得、，根据等边对等角可得、 ，又因为，所以可得，所以可得，根据勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接点与的中点， 在和中， ， ， 是的垂直平分线； （2）证明：如下图所示， 点是平分线上的一点，，， ，， ， 在和中， ， ； 由可知，，， 是的垂直平分线； （3）解：如下图所示，连接，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明角和边之间的关系． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形的初步认识章末易错压轴题型 （17易错+10压轴） 易错题型一 三角形的相关概念 1．现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（    ） A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个 2．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 3．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 易错题型二 三角形的分类 4．已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．已知在中，，如果按角进行分类，那么是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 6．在中，， (1)求、、的度数； (2)按边分类，属于什么三角形？按角分类，属于什么三角形？ 易错题型三 三角形三边关系 7．如果一个三角形的两边长分别为2cm和7cm，那么这个三角形第三边的长可能是（   ） A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm 8．已知的三边分别为a、b、c，且满足，那么第三边 c的取值范围为 ． 9．已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 易错题型四 与三角形高有关的计算 10．如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（   ） A． B．5 C．4 D．无法确定 11．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    易错题型五 根据三角形中线求解 13．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．如图，在中，中线和中线相交于点，若的面积为36，则四边形的面积为 ． 15．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知，，， (1)求的面积 (2)求的长： 易错题型六 三角形内角和问题 16．学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 17．如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的5倍，等于与它不相邻的一个内角的3倍．则此三角形最大内角是 度． 18．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则 ， ； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数用的代数式表示； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请求出的度数． 易错题型七 定义、命题、证明 19．下列命题：①内错角相等；②无理数都是无限小数；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中为真命题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 20．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 21．已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：． 证明：∵（　　）， ∴___________（　　） ∴___________（　　） ∴（已知）， ∴（　　） ∴， ∴（　　） 易错题型八 全等三角形的概念 22．下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    24．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 易错题型九 全等三角形的性质 25．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（   ） A．或 B． C．或 D． 26．如图，在中，，，，点在上，若．则 ． 27．如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段．上以4厘米秒的速度用点向点运动．同时，点在线段上由点以厘米/秒的速度向点运动．设运动的时间为秒． (1)直接写出： ①___________厘米； ②__________厘米（可用含的代数式表示）； (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求、的值． 易错题型十 全等三角形的判定 28．在下列条件中，不能说明的是（   ） A． B． C． D． 29．如图，已知：在 和 ，点 ，，， 在同一直线上，在给出的下列条件中，① ，② ，③ ，④，选出三个条件可以证明 的有（    ）组． A． B． C． D． 30．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．    (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE． 易错题型十一 全等三角形的判定与性质结合 31．如图，、、三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 33．如图，中，于D，若． (1)若线段，则_____； (2)求证：． 易错题型十二 角平分线的判定 34．如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 36．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 易错题型十三 角平分线的性质 37．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 38．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 39．如图，在中，，的平分线交于点D，，交于点交于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 易错题型十四 尺规作角平分线 40．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 41．在小学，我们学习过“三角形的内角和为”．如图，在中，，根据作图痕迹推断的度数为 ． 42．如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明． 易错题型十五 垂直平分线的判定 43．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点A、B、C上，他们在玩抢凳子游戏，要在他们之间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放在的（　　） A．三条高的交点 B．三条垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 44．在中，是平面内一点且．若点到的距离为8，点到的距离为4，则的长为 ． 45．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 易错题型十六 垂直平分线的性质 46．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 47．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别是，若，则的周长为 ． 48．如图，在中，，的垂直平分线交于点E． (1)当时，___________； (2)当的周长为时，的长度是___________； (3)如果，求的周长． 易错题型十七 尺规作垂直平分线 49．如图，已知，点在上，请利用尺规在下方作一点，连接，使得垂直平分线段．（不写作法，保留作图痕迹） 50．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 51．（1）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图作的垂直平分线，交于，交于（保留作图痕迹，不写作法） （2）在图中，如果，，则的周长是_______． 压轴题型一 三角形的折叠问题 52．如图所示，在四边形纸片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，将纸片沿着MN折叠，使C，D分别落在直线AB上的，处，则∠+∠等于（     ） A．50° B．60° C．70° D．80° 53．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 54．知识点探索：三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有怎样的数量关系？ （1）如图1，探索与的数量关系，并说明理由． 初步应用 （2）如图2，求的和． 解：∵， __________． 又∵ ∴__________． 拓展应用 （3）如图3，平分，平分，求证： （4）如图4，，，将沿折叠，若，则_______． 压轴题型二 三角形中线有关求解 55．如图，四边形面积为，，，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 56．如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 57．如图，在中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ． 压轴题型三 全等三角形的动点问题 58．如图，，，，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t(s)，则当点Q的运动速度为 时，与全等． 59．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发，以秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点运动 秒时，点、、组成的三角形与点、、组成的三角形全等． 60．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 压轴题型四 倍长中线模型 61．【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 62．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 63．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 压轴题型五 手拉手模型 64．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 65．我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 66．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 压轴题型六 旋转模型 67．【问题情境】在和中，，，． (1)【初步探究】如图1，当点，，在同一条直线上时，连接、，延长交于点，试说明； (2)【类比探究】如图2，当点、、不在同一条直线上时，连接交于点，连接交于点，试说明； (3)如图3，、、三点共线，且，将线段绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行时，请直接写出此时的值． 68．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 69．把两个全等的角三角形的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)如图1，若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (2)如图2，当，时，、、三条线段之间有何种数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 压轴题型七 半角模型 70．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 71．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 72．【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 压轴题型八 一线三等角模型 73．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 74．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 75．通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 压轴题型九 截长补短模型 76．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 77．【问题初探】    在解决“如图1，在中，于D，若，求证：”时，有两名同学给出了不同的解答思路： ①如图2，小芳从条件入手，采用“截长补短”法，在上截取，连接，从而解决问题． ②如图3，小亮从结论出发，作的垂直平分线交于点E，连接，从而解决问题． （1）请选择一名同学的解答思路，写出解答过程． 【迁移应用】 （2）如图，线段于E，点F，G分别为上两点，且，．求证：． 78．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 压轴题型十 角平分线、垂直平分线综合问题 79．在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 80．如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． (1)连接，求证：； (2)若，，求的长； (3)在（）的条件下，中连接，直接写出的取值范围； (4)在（）的条件下，若与相交于，当时，直接写出 的值． 81．课本再现： (1)定理证明 现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程： 已知：如图，线段，，求证：点在线段的垂直平分线上． 证明： (2)解决问题 已知：如图，是平分线上的一点，，，垂足分别为，． 求证： ； 是的垂直平分线． (3)已知中，如图，，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，若，，请直接写出的长_____． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$