河南省驻马店市实验中学2024-2025学年八年级下学期期末素质调研数学试卷

驻马店市实验中学2024--2025学年下学期 八年级数学期末检测 一．选择题（每小题3分，共30分） 1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，车标图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 2．使分式有意义的x的取值范围为（　 　） A．x≠－3 B．x≠3 C．x≠－3或x≠3 D．x为任意数 3．下列因式分解正确的是（　　） A．x3－x2＋x＝x（x－）2 B．x4－2x2＋1＝（x2－1）2 C．xy2－3x2y＋xy＝xy（y－3x） D．（x﹣3）（x＋4）＝x2＋x－12 4．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4cm．若△ACD的周长是12cm，则平行四边形ABCD的周长是（　 　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm （第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图） 5． 直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式 的解集为（　 　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞2 D．x＜2 6．如图，BE为△ABC的角平分线，AF⊥BE于点F。若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　 　） A．10° B．15° C．20° D．25° 7．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P平移的距离PP′为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株。设B种绿植单价是x元，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A（0，2），B（﹣3，﹣1），AD＝6，且AD∥x轴。将 ▱ABCD沿y轴向上平移，使点C的对应点C' 落在对角线BD上，则平移后点D的对应点D' 的坐标为（　 　） A． （6，2） B．（6，3） C．（6，4） D．（8，4） （第9题图） （第10题图） 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，连接DE交AB于点F，连接CF，下列结论：①BC＝EC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°；④若DF＝FC，则△DCE是直角三角形。其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（每小题3分，共15分） 11．因式分解：m2﹣3m＝　 　。 12．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角。若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 。 13．已知关于x，y的二元一次方程组满足y﹣x＜0，则a的取值范围是 　 　 。 14．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是 　 　 。 15．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 　 　 。 （第12题图） （第15题图） 三．解答题（共75分） 16．（10分）（1）解方程： （2）解不等式组 17．（8分）先化简：，再从﹣1，，0，，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值。 18．（8分）求证：等腰三角形底边中线上的任意一点到两腰的距离相等。 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，P是AD上任意一点，且 　 　 。 求证：　 　 。 证明： 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）。请解答下列问题： （1）画出△ABC向左平移6个单位得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标。 （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标。 （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标。 20．（9分）小华与小红一起研究一个尺规作图问题： 如图1，已知E是▱ABCD边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作CF∥AE，其中F是边 AD上一点。 小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE。 小华：以点C为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE。 小红：小华，你的作法有问题。 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：CF∥AE。 （2）指出小华作法中存在的问题。 21．（10分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O。 （1）求证：OE＝OF； （2）连接CE，若点G为CE的中点，连接OG。若AE＝6，求OG的长。 22．（10分）某校八年级组织“豫见青春，挺膺担当”大型诗歌朗诵会，需租借男生、女生两种汉服。已知租借一套女生汉服的价格比租借一套男生汉服的价格多5元，用640元租借女生汉服的数量和用600元租借男生汉服的数量相同。 （1）租借一套女生汉服的价格是多少元？ （2）商家推出了打折优惠活动：女生汉服以九折租售，男生汉服以八折租售。学校计划租借男女生汉服共100套，且要求女生汉服的数量不少于男生汉服数量的2倍，请你帮助学校选择花费最少的租借方案。 23．（11分）已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E。 （1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数； （2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A A B D C C A 一．选择题（共10小题） 1．当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，车标图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论． 【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键． 2．使分式有意义的x的取值范围为（　　） A．x≠﹣3 B．x≠3 C．x≠﹣3或x≠3 D．x为任意数 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣3≠0， 解得x≠3． 故选：B． 【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 3．下列因式分解正确的是（　　） A．x3﹣x2+x＝x（x﹣）2 B．x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2 C．xy2﹣3x2y+xy＝xy（y﹣3x） D．（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12 【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 【解答】解：A、＝x（x﹣）2，故此选项正确； B、x4﹣2x2+1＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2，故此选项错误； C、xy2﹣3x2y+xy＝xy（y﹣3x+1），原式漏项，故此选项错误； D、（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 4．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x〈k1x+b的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞2 D．x＜2 【分析】根据函数图象直接得到答案． 【解答】解：由图可知：两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方， ∴关于x的不等式k2x〈k1x+b的解集为x＞﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题． 5．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4cm．若△ACD的周长是12cm，则平行四边形ABCD的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝8cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长． 【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周长为12cm， ∴AD+DC＝12﹣4＝8（cm）． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴平行四边形的周长为2（AD+DC）＝16cm． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长．熟记“平行四边形的对边相等”是解题的关键． 6．如图，BE分别为△ABC的角平分线，AF⊥BE于点F．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠EAF的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣40°）＝70°，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠ABC＝35°，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝40°， ∴∠ABC＝∠BAC＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠ABC＝35°， ∴∠AEB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝75°， ∵AF⊥BE， ∴∠AFE＝90°， ∴∠EAF＝90°﹣∠AEF＝15°， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P平移的距离PP′为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平移的性质可得PP'即为数轴上对应两点平移的距离解答． 【解答】解：PP'＝4﹣（﹣1）＝5， 即点P平移的距离PP′为5． 故选：D． 【点评】本题考查了平移的性质和数轴上两点的距离，主要利用了平移对应点所连的线段相等解决问题． 8．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量＝总价÷单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元， ∴A种绿植单价是3x元． 根据题意得：+50＝． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A（0，2），B（﹣3，﹣1），AD＝6，且AD∥x轴．将▱ABCD沿y轴向上平移，使点C的对应点C'落在对角线BD上，则平移后点D的对应点D'的坐标为（　　） A．（6，2） B．（6，3） C．（6，4） D．（8，4） 【分析】由平行四边形的性质可求解D（6，2），BE＝3，OE＝1，BC＝AD＝6，即可得CE＝3，结合三角形中位线的性质可求得：CC'＝2OE＝2，再利用坐标与图形变化﹣平移的性质可求解D点坐标． 【解答】解：∵▱ABCD的顶点A（0，2），B（﹣3，﹣1），AD＝6，且AD∥x轴， ∴D（6，2），BE＝3，OE＝1，BC＝AD＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣3＝3，直线BD的解析式为y＝x， ∴BD经过点O， ∵▱ABCD沿y轴向上平移， ∴CC'∥y轴， ∴OE是△BCC'的中位线， ∴CC'＝2OE＝2， ∴D'（6，4）． 故选：C． 【点评】本题主要考查坐标与图形的变化﹣平移，平行四边形的性质，求解C'点坐标是解题的关键． 10．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，AE与CB的延长线交于点E，连接DE交AB于点F，连接CF，下列结论：①BC＝EC：②四边形AEBD是平行四边形：③若∠ADF＝∠BCF，则∠ABC＝90°；④若DF＝FC，则△DCE是直角三角形．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定判断求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD， 又∵AE∥BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， 故②正确，符合题意； ∴AD＝EB， ∴EB＝BC， ∵EC＝EB+BC， ∴BC＝EC， 故①正确，符合题意； ∵AD∥EC， ∴∠ADF＝∠FEC， ∵∠ADF＝∠BCF， ∴∠FEC＝∠BCF， ∴FE＝FC， 又∵BC＝BE， ∴FB⊥BC， 即∠ABC＝90°， 故③正确，符合题意； ∵四边形AEBD是平行四边形， ∴DF＝EF， ∵DF＝FC， ∴EF＝FC， ∴∠ABC＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠DCE+∠ABC＝180°， ∴∠DCE＝90°， ∴△DCE是直角三角形， 故④正确，符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．因式分解： （1）m2﹣3m＝　m（m﹣3）　 ； 【点评】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． 12．已知关于x，y的二元一次方程组满足y﹣x＜0，则a的取值范围是 　a＞1　 ． 【分析】由②﹣①得，y﹣x＝3﹣3a，根据y﹣x＜0，解不等式即可求解． 【解答】解：， 由②﹣①得， y﹣x＝3﹣3a， ∵y﹣x＜0， ∴3﹣3a＜0， 解得a＞1， 故答案为：a＞1． 【点评】本题考查了二元一次方程组与不等式结合，熟练掌握加减消元法与解一元一次不等式是解题的关键． 13．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　300°　 ． 【分析】根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值． 【解答】解：由题意得，∠5＝180°﹣∠EAB＝60°， 又∵多边形的外角和为360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣∠5＝300°． 故答案为：300°． 【点评】本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单． 14．若关于x的方程无解，则m的值为 　0或4　 ． 【分析】求解方程可得x＝，再由方程无解可得m﹣4＝0，即可求m的值． 【解答】解：， 2（2x+1）＝mx， 4x+2＝mx， （4﹣m）x＝﹣2， ∵方程无解，可分为以下两种情况： ①分式方程没有意义时， x＝0或﹣， 此时m＝0， ②整式不成立时， 4﹣m＝0， ∴m＝4， 故答案为：0或4． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 15．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 　　 ． 【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM′＝A′M′，当M，M'重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，再进一步结合勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM'＝A'M'， ∴当M，M′重合时，MA+MD最小，最小值为A′D， ∵AB＝4，∠ABC＝30°，在▱ABCD中， ∴，AD∥BC， ∴AA'＝2AH＝4，AA'⊥AD， ∵AD＝5， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 三．解答题（共9小题） 16．解方程：． 【分析】方程两边都乘x﹣3得出2﹣x﹣1＝x﹣3，求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：， 方程两边都乘x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3， ﹣x﹣x＝﹣3﹣2+1， ﹣2x＝﹣4， x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣3≠0， 所以分式方程的解是x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （2）解不等式组． 【分析】（1）去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． （2）， 解不等式①，得x≥﹣1， 解不等式②，得x＜2， 所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能正确根据不等式的性质进行变形是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键． 17．已知a2+4a+1＝0，求的值． 【分析】先根据分式的加减法法则计算括号，再把除法变成乘法，根据乘法法则计算，最后代入求出答案即可． 【解答】解： ＝[﹣]• ＝• ＝• ＝， ∵a2+4a+1＝0， ∴a2+4a+4＝3， ∴（a+2）2＝3， ∴原式＝． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）．请解答下列问题： （1）画出△ABC向左平移6个单位得到的△A1B1C1，并写出A1的坐标． （2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标． （3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标． 【分析】（1）分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可； （2）分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）分别画出A2、B2、C2的对应点A3、B3、C3即可． 【解答】解：（1）△A1B1C1，如图所示；A1（﹣4，2）； （2）△A2B2C2如图所示；并写出A2（4，0）， （3）△A3B3C3如图所示，A3（﹣4，0）、 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20．小华与小红一起研究一个尺规作图问题： 如图1，已知E是▱ABCD边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作CF∥AE，其中F是边AD上一点． 小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE． 小华：以点C为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点F，连结CF，则CF∥AE． 小红：小华，你的作法有问题． 小华：哦……我明白了！ （1）根据小红的作法，证明：CF∥AE． （2）指出小华作法中存在的问题． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，即CE∥AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF∥AE． （2）若以点C为圆心，AE长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴CE∥AF， ∵CE＝AF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴CF∥AE． （2）解：小华作法中存在的问题：以点C为圆心，AE长为半径作弧，与AD可能有两个交点，如图所示． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 21．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O． （1）求证：OE＝OF； （2）连接CE，若点G为CE的中点，连接OG．若AE＝6，求OG的长． 【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OE＝OF； （2）由三角形中位线定理可求OG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵BE＝DF， ∴AE＝CF， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF； （2）解：∵点G为CE的中点，OE＝OF，AE＝6， ∴OG＝AE＝3． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22．某校八年级组织“豫见青春，挺膺担当”大型诗歌朗诵会，需租借男生、女生两种汉服．已知租借一套女生汉服的价格比租借一套男生汉服的价格多5元，用640元租借女生汉服的数量和用600元租借男生汉服的数量相同． （1）租借一套女生汉服的价格是多少元？ （2）商家推出了打折优惠活动：女生汉服以九折租售，男生汉服以八折租售．学校计划租借男女生汉服共100套，且要求女生汉服的数量不少于男生汉服数量的2倍，请你帮助学校选择花费最少的租借方案． 【分析】（1）设租借一套女生汉服的价格是x元，则租借一套男生汉服的价格是（x﹣5）元，根据用640元租借女生汉服的数量和用600元租借男生汉服的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设租借女生汉服m套，则租借男生汉服（100﹣m）套，根据女生汉服的数量不少于男生汉服数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥66，再设租借总花费为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设租借一套女生汉服的价格是x元，则租借一套男生汉服的价格是（x﹣5）元， 由题意得：＝， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， 答：租借一套女生汉服的价格是80元； （2）设租借女生汉服m套，则租借男生汉服（100﹣m）套， 由题意得：m≥2（100﹣m）， 解得：m≥66， ∵m为正整数， ∴m的最小值为67， 设租借总花费为w元， 由题意得：w＝80×0.9m+（80﹣5）×0.8（100﹣m）＝12m+6000， ∵12＞0， ∴w随着m的增大而增大， ∴当m＝67上，w有最小值， 此时，100﹣m＝33， 答：租借女生汉服67套，男生汉服33套，租借总花费最少． 【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 23．求证：等腰三角形底边中线上的任意一点到两腰的距离相等． 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，P是AD上任意一点，且 　PE⊥AB于E，PF⊥AC于F　 ． 求证：　PE＝PF　 ． 证明： 【分析】根据题意写出已知、求证，利用AAS定理证明△AEP≌△AFP，根据全等三角形的对应边相等证明即可． 【解答】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，P是AD上任意一点，且PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， 求证：PE＝PF． 证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， 在△AEP和△AFP中， ， ∴△AEP≌△AFP（AAS）， ∴PE＝PF． 故答案为：PE⊥AB于E，PF⊥AC于F；PE＝PF． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形全等的判定和性质，熟记等腰三角形的三线合一是解题的关键． 24．已知∠MAN＝90°，B是AN上的一点，线段AD是线段AB绕点A按逆时针旋转一定角度后的线段，连接BD，∠ABD的平分线交AM于点C，交AD于点E． （1）如图①，若将AB绕点A按逆时针旋转40°，求∠ACB的度数； （2）如图②，若将AB绕点A按逆时针旋转后使得AD⊥BC，垂足为E，判断△ABD的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下过点A作∠CAB的平分线交CB于点F，如图③所示，若CF＝4，求此时BC的长． 【分析】（1）将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD，得∠BAD＝40°，AB＝AD，从而∠ABC＝35°即可； （2）易证△ABE≌△DBE（ASA），则AB＝BD，再根据旋转知AB＝AD，从而证明出△ABD是等边三角形； （3）过点F作FH⊥AM于H，在Rt△CHF中，可求出CH，HF的长，因为AF平分∠MAN，得∠CAF＝45°，从而AH＝FH＝，可知AC的长，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵将AB绕点A按逆时针旋转40°得线段AD， ∴∠BAD＝40°，AB＝AD， ∴∠ABD＝70°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝∠ABD＝35°， ∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣35°＝55°； （2）△ABD是等边三角形，理由如下： ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵AD⊥BC， ∴∠BEA＝∠BED， 在△ABE和△DBE中， ， ∴△ABE≌△DBE（ASA）， ∴AB＝BD， ∵AB＝AD， ∴AB＝AD＝BD， ∴△ABD是等边三角形； （3）如图，过点F作FH⊥AM于H， ∵△ABD是等边三角形， ∴∠ABC＝30°， ∴∠CFH＝30°， ∴CH＝＝2，HF＝， ∵AF平分∠MAN， ∴∠CAF＝45°， ∴AH＝FH＝， ∴AC＝CH+AH＝2+2， ∴BC＝2AC＝4+4． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、以及勾股定理等知识，证明出△ABD是等边三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$