专题01 绝对值中的八类最值模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 7 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 13 模型6.绝对值最值模型的实际应用 14 模型7.绝对值相关运算与最值问题 19 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 24 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ） A．1 B． C．5 D． 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 例3（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 例4（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 例5（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，则的最小值为 ． 例2（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题：(1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】（3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 例3（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读材料：一般地，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．即：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例如：与2两点之间的距离表示为． 请根据阅读材料回答下列问题：(1)如果那么______；(2)若，求x的值； (3)求的最小值． 例4（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 例2（2024七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 例2（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）的最大值是 ． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 例4（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级下·广东广州·开学考试）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律：①当有最小值是 ．②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用：工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？(4)知识迁移：最大值是 ，最小值是 ． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____；（）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 例3（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为_____________； （2） 若，则x的值为_____________； （3）当x为_____________时， 式子有最小值． 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧， 右侧， 右侧．A小区有居民1000人， B 居民区有居民2000人， C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室 P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试说明理由． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．(1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（2024七年级·浙江·培优）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 例2（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________；(2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1．①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 例3（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 1．（24-25·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若、有理数，下列判断： ①总是正数；②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是0.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 6．（24-25·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______． 7．（24-25七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． ｜x+1｜+8．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ． 9．（24-25·安徽合肥·七年级统考期末）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是______． 10．（24-25·陕西西安·七年级校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________； （2）如果，那么__________；（3）若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是_____，最小距离是______；（4）求代数式的最小值，并写出此时可取哪些整数值？（5）求代数式的最小值．（6）若表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 11．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 12．（24-25·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值． 13．（24-25·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 15．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 18．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 19．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 20．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的八类最值模型 最值问题一直都是初中数学的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的八类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.的最小值模型 4 模型2.的最小值和最大值模型 7 模型3.的最小值模型 8 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 12 模型5.型或型最值模型 13 模型6.绝对值最值模型的实际应用 14 模型7.绝对值相关运算与最值问题 19 模型8.绝对值最值中的新定义问题 21 24 绝对值最值问题的历史发展脉络源于几何直观与代数研究的结合，其核心理论随数学分析的发展逐步完善。绝对值的概念源于物理学中的距离概念，表示一个数到原点的距离。在数学中，绝对值用于表示一个数到数轴原点的距离，因此绝对值总是非负的。这一性质使得绝对值在数学分析中有着广泛的应用，特别是在处理不等式和最值问题时显得尤为重要。在解决含绝对值的代数式最值问题时，可以利用绝对值的几何意义或零点分段法，整体来说绝对值的几何意义较为简单适用。 （2025·山东青岛·校考一模）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1． 如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1． 如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ；(4)的最小值为 。 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3；(2)2；2；(3)6；(4)1025156。 【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3 故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3 （2）当a取中间数2时，绝对值最小；的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2 （3）当a取最中间数时，绝对值最小；的最小值是 ； （4）当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： 故答案为：1025156. （2024·四川成都·三模）函数的最小值为3，则a的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵ ∴根据绝对值的意义，是指到和到的距离之和 ∵函数的最小值为3，∴此时在和的之间，且是和的之间的距离为3 即∴∴或故答案为：或． 知识储备：①绝对值具有非负性，即； ②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离； 表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义） 3.的最小值模型 结论：找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数（）‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段（）‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”。 4.型或型最值模型 1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。 5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 ①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 模型1.的最小值模型 例1（24-25七年级上·山东烟台·阶段练习）的最小值是（ ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：表示数轴上表示的点到和的距离之和， 当在之间时，有最小值， 即当时，为最小值，故选：C． 例2（24-25七年级上·河南洛阳·期中）在有理数的绝对值的学习中，我们知道是在数轴上表示数a的点到原点的距离，即表示，类比绝对值的意义，可知就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离，当取得最小值时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵就是在数轴上表示数x的点到表示数的点的距离， 就是在数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离， ∴当x的取值范围是时，取的最小值．故选：C． 例3（24-25七年级上·海南儋州·期中）规定，，例如，，下列结论中，正确的是（    ） ①若，则；②若，则； ③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是． A．①② B．①②④ C．①④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当时，则：， ∴，∴；故①正确； 当时，则；故②错误； 当时，则：，解得：，故③错误； ， ∴当在和之间时，有最小值为：；故④正确；故选C． 例4（23-24七年级上·福建厦门·期中）在数轴上，点A、点B分别表示数a．b．则线段的长表示为，例如：在数轴上点A表示5，点B表示2，则线段的长表示为．数轴上的任意一点P表示的数是x．且的最小值为7，若，则b的值为（   ） A．或5 B．或9 C．或9 D．5或9 【答案】C 【详解】解：表示点P到点A的距离，表示点P到点B的距离， 当点P在点A、点B两点之间时，的值最小，∴， ∵，∴，∴或9．故选：C． 例5（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是________，数轴上表示和的两点之间的距离是________，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； (3)当取最小值5时，a的值为__________． 【答案】(1)4；4；6(2)或(3)或 【详解】（1）解：数轴上表示1和5的两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是，数轴上表示和5的两点之间的距离是， 故答案为：4；4；6； （2）解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为x和，且， ∴，∴或，∴或； （3）解：由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数x的点到表示数3和数的两个点的距离之和，∴当表示数x的点在表示数3和数的两个点之间（包括端点）时，有最小值，最小值即为表示数3和数的两个点的距离， ∵得到最小值为5，∴表示数3和数的两个点的距离为5， ∴，∴或，解得或，故答案为：或． 模型2.的最小值和最大值模型 例1（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解： 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上所述，当，的最小值是，故答案为：． 例2（2024·福建·七年级校考期中）若代数式的最大值为a，最小值为b，则ab的值_________． 【答案】-25 【详解】法1：解：∵式子可看作是数轴上表示x的点到-3、2两点的距离之差， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 法2：解：当x≥2时，|x-2|-|x+3|=x-2-x-3=-5； 当-3＜x＜2时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）-（x+3）=-2x-1； 当x≤-3时，|x-2|-|x+3|=-（x-2）+（x+3）=5． ∵代数式的最大值为a，最小值为b，∴a=5，b=-5．∴ab=-25．故答案为：-25． 例3（2024·广西·七年级专题练习）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为____，数x与-1所对应的点的距离为____； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 模型3.的最小值模型 例1（24-25七年级上·黑龙江·期中）我们知道一个数的绝对值的几何意义是在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如．在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示3的点与的点之间的距离表示为．是表示的点与1的点之间的距离跟表示的点与-2的点之间的距离的和．结合数轴易知：如图，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，最小值为3，即的最小值是3，此时的范围为． 请根据以上阅读，解答下列问题：(1)的最小值是_____，此时的范围为_____； (2)求的最小值和此时的值． 【答案】(1)3， (2)3，0 【详解】（1）解：由题意，可知：当时，有最小值，为；故答案为：3， （2）根据题意，得的最小值为3，此时． 因为，所以的最小值为0，所以的最小值为3，此时的值为0． 例2（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）【阅读材料】若点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点表示的数分别为，则_______； （2）若，则_______；，则_______ 【应用】（3））已知a为常数，若存在最小值8，求a的值； （4）由以上的探索猜想，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时a的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）或；或；（3）或；（4）当时，有最小值，最小值为2500 【详解】解：（1），故答案为：9； （2）∴x到的距离为3，∴，， ∵，∴x到和x到5的距离和为10， 当时，，解得； 当时，，不符合题意； 当时，，解得 故答案为：或；或； （3）表示数轴上表示数x的点与1的距离，与的距离，与a的距离的和， ∵存在最小值8，∴， ①若，则当时，存在最小值8， ∴，解得（舍去）或； ②若，则当时，存在最小值8， ∴，无解，舍去； ③若，则当时，存在最小值8， ∴，解得（舍去）或； 综上，a的值为6或； （4）∵表示数轴上表示a的点与1，与2，与3，，与100的距离和，当时，有最小值为， 当时，有最小值为， 当时，有最小值为；， 当时，有最小值为， ∴当时，有最小值， 最小值为 例3（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读材料：一般地，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．即：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例如：与2两点之间的距离表示为． 请根据阅读材料回答下列问题：(1)如果那么______；(2)若，求x的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)或，(2)或；(3) 【详解】（1）解：，由题意可知：到的距离为5， 当在右边时，， 当在左边时，，故答案为或， （2）由题意可知：，表示到和2的距离和为， 当数x在数2和之间（含2和）时，， 当时，即数在2的右边，此时，即，； 当时，即数在的左边，此时，即，； 综上所述：或； （3）由题意可知，表示到、2、……2025个数的距离和， 因此在最中间时，即当时，和最小， ∴ 例4（24-25七年级上·江西·阶段练习）课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究：结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用：（5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离．故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间，， ，，．故答案为：7． （3）若，分三种情况： ①当时， ，； ②当，，此时方程无解； ③当时，，．故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数，或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7．故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为7．故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 模型4.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 例1（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为，的最小值是，故选：． 例2（2024七年级·江苏·培优）先阅读下面的材料，然后解答问题： 数轴上的个点表示的数分别是，且是数轴上一点，其表示的数为，对于代数式，由绝对值的几何意义可得：若为奇数，则时，的值最小；若为偶数，则时，的值最小． (1)求的最小值． (2)求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：一共123个数，当时，的值最小， 此时，； （2）解： 有2个，3个，5个，7个，9个，共个数， ，当取第13个数时，的值最小， 此时， ． 例3（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）放飞自我：思考：数轴上的个点表示的数分别是，，…，，且，是数轴上一个点，其表示的数是，对于代数式，由绝对值的几何意义可得： 若为奇数时，当时，的值可取到最小；若为偶数，当时，的值可取到最小． (1)求的最小值．(2)求的最小值． 【答案】(1)30(2) 【详解】（1）解：由题意得：当时， 最小，最小值是： ； （2）解： 共个绝对值相加，即时， 最小，令，得： ． 模型5.型或型最值模型 例1（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）已知若为一个有理数，则． (1)填空：当时，________；当时，________； (2)当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1)，；(2)． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则，∴，∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 例2（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，∴，即，故答案为：． 例3（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴∴， ∴的最大值为：；故答案为：． 例4（24-25七年级上·江苏扬州·期中）当代数式取最小值时， ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当时，有最小值， ∴，∴，∴，故答案为：． 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1（24-25七年级下·广东广州·开学考试）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，，分别用数，表示，那么，两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果，那么x为 ． (2)探索规律：①当有最小值是 ．②当有最小值是 ． ③当有最小值是 ． (3)规律应用：工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？(4)知识迁移：最大值是 ，最小值是 ． 【答案】(1)①3；4；②；1或(2)①1；②2；③4 (3)当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为米(4)， 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：，故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则，∴或， 由解得：，由解得：，∴的值为：1或，故答案为：；1或． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为，即有最小值是1．故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和，根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为，即有最小值是2，故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为，即有最小值是4．故答案为：4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差，①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即，则，， ∴，，∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，，∴，，∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即，则，， ∴，，∴，∴， ∴的最大值是，的最小值是．故答案为：9；． 例2（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解：（）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____；（）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是，故答案为：； （）∵，∴或，∴或，故答案为：或； （）当时，，解得； 当时，，此时方程无解；当时，，解得； 综上，的值为或，故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为，故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 例3（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： 【初步应用】（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为_____________； （2） 若，则x的值为_____________； （3）当x为_____________时， 式子有最小值． 【解决问题】（4）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧， 右侧， 右侧．A小区有居民1000人， B 居民区有居民2000人， C居民区有居民3000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室 P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 试说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）实验室P建在C，B之间（包含C，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【详解】解：（1）数轴上表示4的点与表示有理数的点之间的距离为：； （2）如图，当时，∵，∴， 如图，当时，∵，∴，解得：， 如图，当时，∵，∴，解得：， 综上：当时，或． （3）表示数轴上表示x的点到表示的点、表示x的点到表示的点与表示x的点到表示1的点距离之和最小，结合（2）的探究可得： ∴x应该在处，如图， 且当时，最小，最小值为到1的距离为7； （4）如图，A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x， 使总运输和包装成本最低，即最小， 即的值最小， 结合（2），（3）的探究可得： 当时，的值最小，即最小， ∴最小值为（元）， ∴实验室P建在C，B之间（包含C，B）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 模型7.绝对值相关运算与最值问题 例1（24-25七年级上·广东汕头·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或(2)8(3)，8(4)11 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3，∴， ∴或，∴或，故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间，； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为，故答案为：，8； （4），∴， ∵，， ，∴当时有最大值，最大值为，故答案为：11． 例2（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）．(1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或；(2)，，；(3)的最大值为，的最大值为． 【详解】（1）解：， ∵，∴，解得:或，故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为，故答案为：，，； （3）解：当时，； 当时，，∴， 当时，，∴， 当时，，∴， ∴当时，有最小值，为； 当时，∴， 当时，∴， 当时，； 当时，，∴， 当时，，∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，，∴，，∴的最大值为，的最大值为． 模型8.绝对值最值中的新定义问题 例1（2024七年级·浙江·培优）对于任意的有理数和，称为和的“绝对差”．小枫同学对这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对差”．重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是 ． 【答案】2016 【详解】解：由运算规律可知，要使最后剩下的一个数最大，则除1与2016外，共有2014个数，从2开始，每相邻两个连续的整数为一组，其“绝对差”为1，划掉这样相邻的两个数，加上整数1，共加上707个1，这样的一列数为：708个1与2016，这708个1，每两个一组划掉，其“绝对差”均为0，故最后剩下的两个数为0与2016，2016与0的“绝对差”为2016， 故可最后剩下的这个最大数为2016．故答案为：2016． 例2（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________；(2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1．①的最大值为________；②的值为________（用含的式子表示）． 【答案】(1)(2)或(3)①；②或或或 【详解】（1）解：，∴和3关于1的“相对关系值”为，故答案为： （2）解：和关于的“相对关系值”为，， 当时，则，解得； 当时，则，解得；综上所述，的值为或； （3）解：①和关于的“相对关系值”为，； 分四种情况：当，时，，则； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，得到； 当，时，，则，由此可知的最大值为；故答案为： ②分五种情况，当时，，解得， 由可得，，可得，； 当时，，，此种情形不存在； 当时，，，，；； 当时，，，，， ，，，，，即， ，即，同理可得：，，， ，，，，， ； 当，时，由可得， 即，此种情形不存在； 当，时，可得，，，，， ，，，，， ； 综上，的值为或或或；故答案为：或或或 例3（23-24七年级上·北京海淀·期中）设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为．(1)点，，，在数轴上，①__________，__________．②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，，①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0，2；②或(2)①4；②的最小值为2，此时或． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵，∴，即，∴，解得：或， ∴或，故答案为：或； （2）解：①∵，，，∴，解得：， 设B为上一点，记为，∴，∴， ∴当时，即时，有最大值4，∴， ②根据题意，得，当5位于线段的中点时，的值最小， 当时，，∴，∴； 当时，，，此时无法取最小值，故舍去； 当时，，∴， 综上， 的最小值为2，此时或． 1．（24-25·广东七年级期中）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】方法1：几何法（根据绝对值的几何意义） 可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和， 通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。故选：D. 方法2：代数法（借助零点分类讨论） 当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x； 当时，=（x+2）+（5-x）=7； 当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3； ∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D. 2．（24-25·重庆沙坪坝·校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法： ①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项； ②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果； ③若可以闪退的三项，，满足： ，则的最小值为． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：， 结果不含与e相关的项，故①正确； ②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， “闪减操作”结果为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，共有12种不同的结果，故②错误； ③∵，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， 同理：，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ，在数轴上表示点与和的距离之和， ∴当距离取最小值时，的最小值为， ∴当，，都取最小值时， ， 此时，的最小值为，故③正确；故选C． 3．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是一个有理数，则关于的值的说法，正确的是（    ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值3 D．有最大值3 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，∴有最大值3，故选：D． 4．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）若、有理数，下列判断： ①总是正数；②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是0.其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】① 总是非负数；故①错误；②总是正数，正确； ③的最小值为9，正确；④的最大值是1，故④错误；正确的是②③，共2个 故选B 5．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）若取最小值时，代数式的值是 ． 【答案】3 【详解】解：∵当取最小值时，∴，则． 故答案为：3． 6．（24-25·浙江·七年级专题练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______． 【答案】2 【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，则代数式的最大值为7-5=2． 7．（24-25七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． 【答案】 【详解】法1：当时，，； 当时，，； 当时，； ∴的最小值是，故答案为：． 法2：=｜x+1｜+， 根据“奇中点，偶中段”即x=-1时，有最小值，带入x=-1，最小值为3。 8．（2024七年级·成都市·培优）已知，，代数式的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：的几何意义是数轴上一点到点和点的距离之和， ∵，，∴当时，的最小是，故答案为：5． 9．（24-25·安徽合肥·七年级统考期末）若不等式对一切数x都成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 表示点x到 ，，，四点间距离的和， ∴当x在和之间是距离和最小，最小值为 ，∴ ,故答案为． 10．（24-25·陕西西安·七年级校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示和的两点之间的距离是__________；表示和两点之间的距离是__________； （2）如果，那么__________；（3）若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是_____，最小距离是______；（4）求代数式的最小值，并写出此时可取哪些整数值？（5）求代数式的最小值．（6）若表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）3,5；（2）1或-3；（3）12，2；（4）最小值为2，x的整数值为： -1，0，1；（5）7；（6）4. 【详解】解：（1）∵，， ∴数轴上表示和的两点之间的距离是3；表示和两点之间的距离是5；故答案为3；5. （2）∵，∴，∴解得x=1或-3，故答案为1或-3. （3）∵|a-3|=4，|b+2|=3，∴a=7或-1，b=1或b=-5， 当a=7，b=-5时，则A、B两点间的最大距离是12， 当a=1，b=-1时，则A、B两点间的最小距离是2， 则A、B两点间的最大距离是12，最小距离是2；故答案为12；2. （4）根据题意可知，|x+1|+|x-1|有最小值即是x到−1的距离与到1的距离之和最小,那么x应在−1和3之间的线段上． 即当-1≤x≤1时，|x+1|+|x-1|有最小值．∴|x+1|=x+1，|x-1|=1-x，∴|x+3|+|x-4|=x+1+1-x=2； 由数轴可知，-1≤x≤1，x的整数值为： -1，0，1． ∴|x+1|+|x-1|的最小值为2，此时可取的整数值为： -1，0，1． （5）∵表示：点到数轴上的3个点-2、3、5的距离之和，即当x在中间点3时，距离之和最小.∴当x=3时，代数式有最小值， 最小值==7．故代数式的最小值是7． （6）∵=， ∴当取最小值时，取最大值， ∴由题可知，当3≤x≤5时，取最大值， 当3≤x≤5时，，=，=8-2x+6+2x-10=4， 故当3≤x≤5时，取最大值为4， 11．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 12．（24-25·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值． 【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9 【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2； （2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下： 数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7； 由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2； ∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ； 同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1； 数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2； （3）解：若这些数列的价值的最小值为1， 则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8， 当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去； 当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9． 13．（24-25·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取，当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ；（2）有最小值 ；（3）有最大值 ； 【应用】：（4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【详解】（1）解：，∴或，解得或，故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为；当时，距离和为；当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，；当时， ；当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 15．（23-24七年级上·江苏南通·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：一般地，数轴上表示m和n的两点之间的距离为． (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离为______； (2)当______时，的值最小，最小值为______． (3)当a满足______时，的值最小，最小值为______． (4)已知：关于x的代数式的最小值为2，则a的值为______． 【答案】(1)3(2)1；9(3)；24(4)3或 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离为：；故答案为：3； （2）解：∵表示数轴上表示a的点到的距离，到1的距离，到4的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为：；故答案为：1；9． （3）解：当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∴此时的值为24； 当时，， ∵，∴此时； 当时，， ∵，∴此时；∴当时，的值最小，且最小值为24； 故答案为：；24． （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到1的距离与到表示a的点的距离之和， ∴当表示x的点在1和表示a的点之间时，的值最小，且最小值为， ∴，解得：或．故答案为：3或． 16．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)，(2)当最大值为；当最小值为(3)，最小值为 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 17．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）同学们都知道：表示与-之差的绝对值，实际上也可理解为与-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：    (1)数轴上表示与-的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同样的道理，表示数轴上有理数所对应的点到-和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)根据数轴，若的最小值是，请直接写出的值． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并求出所有符合条件的整数的和；如果没有，说明理由． 【答案】(1)(2)，，，(3)或(4)有，最小值为，和为 【详解】（1）数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为，故答案为； （2）表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 为到之间的整数，这样的整数有、、、，故答案为、、、； （3）∵的最小值是，即表示到的和为 由于与之间的距离为，小于最小值，则或； ①当时，即，则在到之间时，最小值为 ∴∴ ②当时，即，∴ 综上所述，或 （4）有最小值，理由是|理解为：在数轴上表示到、、和的距离之和，∴当在和之间时，取得最小值， ∴最小值为∴符合条件的整数为 ∴所有符合条件的整数的和为 18．（23-24七年级上·四川成都·期末）已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【详解】（1）解：∵，∴， ∴；故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 19．（24-25七年级上·福建漳州·期中）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离．举例：数轴上表示数和的两点和之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______； (2)若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______； (3)当取最小值时，相应的数的取值范围是______；(4)求的最小值是______． 实际应用：(5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在______，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升：(6)若数满足，求的最小值为______． 【答案】(1)3(2)8(3)(4)2(5)(6) 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为：，故答案为：3； （2）解：数轴上表示数a的点位于与5之间，， ，故答案为：8； （3）解：表示数a到点1与2的距离之和， 当时，取最小值，故答案为：； （4）解：表示数a到点1、2、3的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为：，故答案为：2； （5）解：点，，，，，…，中，最中间的点是， 故点P选在紧靠居民家，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小，故答案为：； （6）解：表示数a到点1与3的距离之和，当时，取得最小值； 表示数b到点4与的距离之和， 当时，取得最小值，此时， ∵a的最小值为1，b的最小值为，的最小值为：，故答案为：． 20．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：(1)与3的距离是______；(2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1)(2)(3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆），（辆），即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$