专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）华东师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 30 35 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：设运动时间为t，依题意得：所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，∴， 所表示的数为，所表示的数为，∴， ∴， 若为常数，则，解得：．故答案为． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】；；；；；秒或秒 【详解】解：，线段的长为； 是最大的负整数，， ､满足，，解得：，，， 又，；故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时，可得：， 整理得：，解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 【答案】15 【详解】第一次移动P的对应点表示的数为， 第二次移动点P所得的对应点表示的数为， 第三次移动点P所得的对应点表示的数为， 第四次移动点P所得的对应点表示的数为， 第五次移动点P所得的对应点表示的数为， 第六次移动点P所得的对应点表示的数为， 第n次移动点P所得的对应点表示的数为， 观察发现：当n为奇数时，点P对应的数为奇数n；当n为偶数时，点P对应的数为偶数， ∵，，且， ∴，解得∴点A表示的数是15，点B表示的数是， ∴当仅当时，点表示的数为15，第15次移动点P所得的对应点P与点A重合． 例2（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 例3（2024·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 例4（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 考点2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 【答案】或或或 【详解】解：设运动时间为秒， ∵动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，且， ∴动点从点到点的时间为：（秒）， ∵当第一次回到点时两个点同时停止运动，∴的取值范围是：， ∵点是的中点，∴， 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 当时，，，∴，解得：； 综上所述，当点运动或或或秒时，点恰好是的中点．故答案为：或或或． 例2（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)，(2)，(3)或(4)或或 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ．故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度，∴，解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得，解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即，∴此时，由题意得，解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时，由题意得，解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得，解得不合题意，舍去，综上所述：或或． 例3（24-25七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)，或(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【详解】（1）根据美好点的定义，，，，只有点符合条件， 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离2倍的点，点的右侧不存在满足条件的点，点和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：，或； （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当为[，]的美好点，点在，之间，如图1， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第二种情况，当为[，]的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第三种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第四种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第五种情况，为[，]的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为，因此秒； 第六种情况，为[，]的美好点，点在，左侧，如图6， 当时，，因此秒； 第七种情况，为[，]的美好点，点在左侧，当时，，因此秒， 第八种情况，为[，]的美好点，点在右侧，当时，，因此秒， 综上所述，的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 例4（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）； 【详解】解：（），∴，，∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得，当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：； 考点3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为6，点B在原点左侧，且，N为线段的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左速运动，点P在运动过程中，当线段的长为3时，点P的运动时间为 秒． 【答案】1或4 【详解】解：∵点对应的数为6，，点B在原点左侧，∴点对应的数为， ∵N为线段的中点，∴，∴点N表示的数为, 设点P的运动时间为，则点P表示的数为， 当线段的长为3时，，解得或 ∴运动时间为1秒或4秒．故答案为：1或4． 例2（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：，∴点B所对应的数是； ∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到，∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：．故选：C． 例3（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点，表示的数分别为，，我们把，之差的绝对值叫做点，之间的距离，即． (1)已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其表示的数为， __________；如果点到点，点的距离相等，则__________； 当为何值时，点到点、点的距离之和是； (2)若点以每秒个单位长度的速度从点向左运动时，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动、点以每秒个单位长度的速度从点也向左运动，且三个点同时出发，那么运动几秒时，点到点，点的距离相等． 【答案】(1)；；的值为或；(2)运动秒或秒时，点到点，点的距离相等． 【详解】（1）解：∵，对应的数分别为，，∴，故答案为：； 根据题意得，且，∴，解得，∴的值为，故答案为：； 根据题意得，且或 ，∴或， 解得或，∴的值为或； （2）解：设运动的时间为秒，则点表示的数分别为，，， ∴，， ∵点到点，点的距离相等，∴，∴或，解得 或， ∴运动秒或秒时，点到点，点的距离相等． 考点4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)(2)38(3)(4)4 或 13 或 22 或 34 或 42 【详解】（1）解：当时，，∴点表示的数为：， ∵从到所用时间为：（秒）秒，时，在上， ∴所表示数为：，故答案为：； （2）解：从到所用时间为： （秒）； （3）解：从到所用时间为：（秒）， 从到所用时间为：（秒）， ∴两点在段相遇， 当到达点时，， ∴离开到相遇所用时间为：（秒）， ∴相遇总时间为：（秒），此时，， ∴相遇点所对应的数为：； （4）解：当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，∴无解； 当时，，，解得：，符合题意； 当时，，，解得：，符合题意； 综上所述，或 13 或 22 或 34 或 42 时，两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 考点5.动点往返运动模型 . 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）已知两点A，B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数．(1)写出点B表示的数；(2)如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到点5时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P，Q所表示的数；(3)如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P，Q运动的速度． 【答案】(1)13或(2)点P，Q所表示的数分别为5，11或13，7(3)点Q速度为1.5，点P的速度为1或2 【详解】（1）解：∵a与互为相反数，，∴， ∵，∴点B表示的数为13或； （2）解：当点A、B位于原点O的同侧时，点B表示的数是13， 设点Q的运动速度为x，则点P的速度为，由4秒后两动点相遇可得：，解得， ∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2， 设运动时间为，则点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：， ∴，∴，∴或，∴解得或， ∵当动点Q到点5时，运动停止，此时，解得， 时，点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：， 当时，点P所表示的数为：，点Q所表示的数为：； （3）解：∵动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇，∴点先向右移动5秒到点C处，再向左移动5秒，此时回到点， ∴点P点与Q点在点A处相遇，此时Q点运动8秒，运动了12个单位长度，∴点Q速度为， 设点P的速度为x，∴点P又立即掉头以原速向右运动8秒后位置为点M处，表示的数为，此时动点Q到达点N处，表示的数为， ∵，∴，解得或，∴点P的速度为1或2． 例2（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；(3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1；4(2)存在，的值为或4(3)24个单位长度 【详解】（1）解：由题意得，点为点与点的中点，点表示的数为， 设与重合的点为，由题意得，，解得：， 与重合的点为4．故答案为：1；4． （2）解：若点在点的左侧，则，， 点到点、点的距离之和为6，，解得：； 若点在点和点之间，则，，此时，不符合题意； 若点在点的右侧，则，， 点到点、点的距离之和为6，，解得：；存在点，的值为或4． （3）解：设经过分钟后点与点重合，由题意得，，解得：， 当点与点重合时，点所经历的运动时间为4分钟， 点所经过的总路程是个单位长度． 例3（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，在数轴上的点表示数，点表示数，、满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以个单位/秒的速度向左运动，当小球乙碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点），小球乙以个单位/秒的速度向相反的方向运动，此时小球甲依然以原来的速度原来的方向运动；当小球甲碰到挡板后，小球甲以原来的速度向相反的方向运动，小球乙保持原来的速度和方向．设小球运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离 ，乙小球到原点的距离 ； ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小球运动的时间． 【答案】(1)，；(2)①，；②能，的值为或或 【详解】（1）解：，或，解得，，故答案为：，； （2）解：①，，， 小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向右运动3秒时，到达表示的点处， 小球乙从点B处以3个单位/秒的速度向左运动，碰到挡板，当小球乙碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点），小球乙以个单位/秒的速度向相反的方向运动， ∴甲球此时在表示的点处，乙球此时在表示的点处， ∴甲小球到原点的距离为，乙小球到原点的距离为，故答案为：，； ②甲，乙两小球到原点的距离可能相等，的值为或或，理由如下： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述：的值为或或时，甲，乙两小球到原点的距离相等． 考点6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且a、b、c满足。(1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数______的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则______，______，______．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5(2)3(3)，，(4)的值不随着时间的变化而改变，其值为10 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，∴， ∵，，∴， ∴，，故答案为：，1，5． （2）解：由（1）已得：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数5， 设点与表示数的点重合，由题意得：，解得，故答案为：3． （3）解：由题意得：秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 则，， ，故答案为：，，． （4）解：由（3）已得：，， ∴， 所以的值不随着时间的变化而改变，其值为10． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 【答案】(1)12或24(2)①2.5或3.5；②2或 【详解】（1）解：∵，∴①当点C在点B左侧时，， ②当点C在点B右侧时，， ∴，∴；故答案为：12或24； （2）解：①令点A表示的数为0，则点B表示的数为16，点D表示的数为4，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵不确定点P在点B左侧还是右侧，∴，∴， 解得：或，答：当t为秒或秒时，； ②当点P与点Q相遇时，，即，解得：， 分两种情况：Ⅰ．点P与点Q相遇前即时，，，， 当时，，解得：或（不合题意，舍去）； Ⅱ．点P与点Q相遇后即时，，， ， 当时，，解得：，故答案为：2或． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，16或0；（3）在运动过程中，的值不变，见解析 【详解】解：（1）∵，∴，， ∴，，∴，故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴，解得，∴点C表示的数为，∴， ∴点P不可能位于点A的左侧，设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧，由题意得，解得， ②当点P在A、B之间，由题意得，解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点，∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点，∴Q点对应的数是， ∴，，， ∴，∴在运动过程中，的值不变． 考点7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点，，在数轴上对应的数分别为，，，其中是最小的正整数，，满足，请回答问题： (1)请直接写出 ， ；(2)设点在数轴上对应的数为．①若点为线段的中点，则 ； ②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)若点，，同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)①；②(3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【详解】（1）解：∵，，，，， 是最小的正整数，，∴． （2）解：①点在数轴上对应的数为，点，在数轴上对应的数分别为，， 而点为线段的中点，∴； ②∵点为线段上的一个动点，∴，∴； （3）解：存在，运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 当相遇时：，解得：， 当相遇时，，解得：， 当相遇时，，解得：， ①当时，，， ， 为定值，，，； ②当时，，， ， 为定值，，，； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 例2（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 【答案】(1)(2)①当或时，点，两点到原点的距离相等；②的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或 【详解】（1）解：数轴上两点，表示的数分别为，12，∴， ∵动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）解：①动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点表示的数为：， ∴点到原点的距离为，点到原点的距离为：， ∵点，两点到原点的距离相等，∴， 当时，，解得，；当时，，解得，； 综上所述，当或时，点，两点到原点的距离相等； ②根据题意，点表示的数为，点表示的数为：，点表示的数为， 如图所示，点在店左边， ∴，，∴ ， ∵的值不随的变化而变化，∴；如图所示，点在店右边， ∴，， ∴， ∵的值不随的变化而变化，∴； 综上所述，的值不随的变化而变化，该时段，应满足的数量关系为：或． 考点8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 【答案】(1)(2)A表示98；B表示(3)38 【详解】（1）∵数轴上数表示的点与数3对应的点重合， ∴如图可知，表示数的点到数表示的点的距离与到数3表示的点的距离相等， ∵，∴数轴上数1对应的点与数对应的点重合，故答案为：； （2）由（1）知：折合点表示的数， ∵数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合， ∴折合点表示的数分别到A，B两点的距离为100，∴，， ∵点A在点B的右侧，∴A表示98；B表示， （3）设它们x秒后相遇，∵A，B两点之间的距离为200个单位长度， ∴，∴，∴,∴C点所表示的数为38． 例2（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 【答案】(1)；1012 (2)①；②；1013；③ 【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知， 它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1； 它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2； 它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：； 它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…， 由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n， 它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即 时，， 所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是； 当，即时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012； 故答案为： ，1012． （2）①由表示的点与表示3的点重合可知，，则折点所表示的数为1． 因为，所以表示5的点与表示的点重合．故答案为：． ②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1． 又因为， 所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．故答案为：，1013． ③由折叠可知，， 因为点M、N表示的数分别是、8，所以 ． 又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，所以． 因为，，所以点P表示的数为．故答案为：． 考点9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）点在数轴上，分别表示数，且． (1)直接写出的值是___________，的值是___________，线段的长度是___________； (2)如图1，线段的长为定值（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段的长；②直接写出线段运动的速度为___________个单位长度/秒； ③如图2，点在线段上，当线段运动到点与点重合时，点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动．遇到点后也立即原速返回，向点运动．设线段以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 【答案】(1)，15，40(2)①线段的长为8个单位长度；②4；③的值是，5，9 【详解】（1）解：∵，， ，故答案为：，15，40； （2）①设的长度为m，根据题意得：，解得：，∴线段的长是8个单位长度； ②线段完全经过点所需的时间为2秒，，故答案为：4； ③当时，点P对应的数是，点C从P到点Q需要秒，分三种情况讨论： （Ⅰ）当时，点C对应的数是，点P对应的数是， 点B表示的数为15，点Q表示的数是，， ，，解得：； （Ⅱ）当时，点C第一次从Q到P，当时，点C对应的数是， ，点C对应的数是， ，，，解得：； （Ⅲ）当时，点C第二次从Q到P， 当时，点C对应的数是， ，点C对应的数是， ，，解得：； 综上所述：t的值是，5，9． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 【答案】(1)，(2)或(3)t的值为或或7或 【详解】（1）解：∵数轴上、表示的数分别为、20，∴，∵，∴， ∵线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，当点运动到点时，线段立即返回，∴， ∵当点到达点时，点对应的数是4，，线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动． ∴点对应的数是， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍； ∴，，即点在9秒到达点B， 当时，点C表示的数为，点D表示的数为， 点M表示的数为，点N表示的数为， 当时，点D表示的数为，点N表示的数为；故答案为：，； （2）解：当时，∵点E是的中点，点F是的中点， ∴点E表示的数为； ∴点F表示的数为，∴， ∵∴，解得或； 当时，点表示的数为；当时，点表示的数为； 综上：点在数轴上表示的数为或； （3）解：当点C第一次与点M重合时，则，解得， 当时，，，∵， ∴，解得：(不符合题意，舍去)； 当点D第一次与点N重合时，则，解得， 当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D与点B重合时，，当时，，， ∵，∴，解得：， 当点D第二次与点N重合时，由（1）得当时，点D表示的数为，点N表示的数为， 则，解得； 当时，点M表示的数为， 点C表示的数为， 则， ∵，∴，解得：， 当点C第二次与点M重合时，由（1）得当时，点C表示的数为，点M表示的数为， 则，解得； 当时，，∵，∴，解得：， 当时，，， ∵，∴，解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，在整个运动过程中，时所对应的t的值为或或7或． 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 【答案】(1)①；；②见解析；(2)①；②或；(3) 【详解】（1）①，，，，，，故答案为：，； ②点和点如图所示， （2）解：①由（1）可得， 点表示的数为，，，，故答案为：； ②第一种情况：当点到达点之前时， 此时，，，，，，解得； 第二种情况：当点到达点后，返回点时，此时，， ，，，解得；综上，的值为或； （3）解：，∴设点速度为，点速度为， 设运动时间为，则，，即，， （点的运动路程）， ．故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：点在线段上，， ； 点在线段上， ， ，，综上： ∴最大值为，最小值为，∴，故选：B． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，则，，， 若时，， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时，， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化．故选：B． 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 【答案】 秒或秒 【详解】解：∵数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等， ∴数轴的原点对应的刻度为，∴点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是， ∵点P从点A向右移动，速度为4个单位长度/秒，点Q从点B向右移动，速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P在点Q左边时，，解得，； 当点P在点Q右边时，，解得，； 综上所述，当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为秒或秒。故答案为：①；② 秒或秒． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：，解得：，，相遇点所表示的数为．故答案为：． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意得，点N表示的数为，设点Q运动的时间为t秒， 当点P在点Q左边时，则，解得，∴点P表示的数为； 当点P在点Q右边时，则，解得，∴点P表示的数为； 综上所述，点P对应的数为或，故答案为：或． 6．（23-24七年级上·天津河东·期末）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1、点P、Q为数轴上两个动点，点P从A出发向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从B点出发向左运动，速度为每秒3个单位的长度，P、Q同时开始运动，运动时间为秒，当等于 秒时、 点P是线段的中点．    【答案】4 【详解】解：由题意可得：P对应的数为，Q对应的数为， 当点P是线段的中点时，∴，， ，解得：，故答案为：4 7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：当运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为点在数轴上表示的数为，∵∴点一直在点的右侧. ∵为中点, 为中点,∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，，故答案为： ． 8．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】(1)在数轴上，A点表示的数是2，B点表示的数是，则点A与点B之间的距离______． (2)如果点A在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为，点A与点B之间的距离为5，那么______．(3)若，且x为整数，则x的值为______． (4)如图，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是，B点表示数是1，C点表示数是7，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)5(2)或1(3)或或；(4)的值不随着时间t的变化而改变，的值为定值12 【详解】（1）解：由题意知，，故答案为：5； （2）解：由题意得，，∴，∴ ∴或，故答案为：或1； （3）解：∵， ∴当时，，∴（舍去）； 当时，，此时恒成立， ∵x为整数，∴或或； 当时，，∴（舍去）； 综上所述，或或；故答案为：或或； （4）解：的值不随着时间t的变化而改变，的值为定值12，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点、、表示的数分别为，，， ∴，； 由题意知，， ∴的值不随着时间t的变化而改变，的值为定值12． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为44个单位长度，并表示为． 素材2  动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：(1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】(1)秒(2)(3)秒或秒 【详解】（1）解：探索1：点表示，点表示，，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒，从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒，， 点表示，表示的数为：； （3）解：探索3：设秒后， ，，当在上和当在上，才满足， ①当在上时，，， ，，，，（秒）； ②当在上时，，， ，，（秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且满足．P，Q是数轴上的动点．表示点A和点B之间的距离． (1)点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，_______； (2)若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过4秒相遇，请求出点Q的运动速度；(3)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？ 【答案】(1)；15；20(2)3单位长度/秒(3)或 【详解】（1）解：，，，，，， 点A表示的数为，点B表示的数为15，．故答案为：；15；20． （2）解：设点Q的运动速度为单位长度/秒，由题意得，，解得：， 点Q的运动速度为3单位长度/秒． （3）解：点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则点P表示的数为，，， 由题意得，，或，解得：或， 当或时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍． 11．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足。(1)求点与点在数轴上对应的数和；(2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒．①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数；②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)为，为(2)①；②秒或秒 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，解得：，，∴点与点在数轴上对应的数为，为； （2）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ①依题意得：，解得：， ∴，∴点在数轴上表示的数为； ②∵，∴-或，解得：或， ∴当点和点相距个单位长度时，的值为秒或秒． 12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上线段为2个单位长度，线段为4个单位长度，线段为2个单位长度，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，在数轴上表示的数分别为 ．(2)当t为何值时，点B刚好与E点重合？(3)当运动到为8个单位长度时，求出此时点在数轴上表示的数． 【答案】(1)8，14(2)当为时，点B刚好与E点重合；(3)点在数轴上表示的数为4或16． 【详解】（1）解：如图，，点在数轴上表示的数是，点表示的数是． 又线段，点在数轴上表示的数是16，线段为2个单位长度， 点表示的数是20，点表示的数是18． 根据题意得，，即，解得． 则点表示的数是，点在数轴上表示的数是．故答案为：8，14； （2）解：点所表示的数是18，则依题意得，，解得． 答：当为时，点B刚好与E点重合； （3）解：当点在点的左侧时，依题意得：，解得， 此时点在数轴上表示的数为； 当点在点的右侧时，依题意得到：，解得， 此时点在数轴上表示的数为； 综上所述：点在数轴上表示的数为4或16． 13．（24-25七年级上·重庆江津·期中）已知多项式的常数项是，次数是．    (1)直接写出的值，并将这两个数分别在数轴上所对应的点表示出来． (2)数轴上之间的距离记作，定义：，设点在数轴上对应的数为，当时，求出的值．(3)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点，同时出发，运动时间为秒，经过多少秒后，，两点之间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，，图见详解(2)或 (3)过秒或秒后，，两点之间的距离为个单位长度． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是，次数是，∴，， 则，分别在数轴上所对应的点如图所示：   ． （2）解：∵点的值分别是，，， ∴，， ∵，∴， 当点在点的左侧时，原式为，解得：， 当点在点的左侧时，原式为，解得：， 当点在点和点的中间时，原式为，故不符合要求， 综上可得：或． （3）解：根据题意可得点从点出发秒后，运动路程为，点从点出发后，运动路程为 ∴点运动到点，点运动到点，∵，两点间的距离为个单位长度， ∴当在左侧时，则有，解得：秒， 当在右侧时，则有，解得：秒， 故过秒或秒后，，两点之间的距离为个单位长度． 14．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_______，线段的长度是______；(2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程． 【答案】(1)，(2)此时动点在数轴上所对应的数为或 (3)所有满足条件的的值为或或，过程见解析 【详解】（1）解：点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是， 点表示的数是13，线段的长度是，故答案为：，． （2）解：、两点间的距离为8个单位长度，分以下两种情况： 记运动时间为时，、两点间的距离为8个单位长度， ①、两点相遇之前，、两点间的距离为8个单位长度， 由题知，，，， ，，解得秒， 此时动点在数轴上所对应的数为； ②、两点相遇之后，、两点间的距离为8个单位长度， 当、两点相遇时，有（秒）， 当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动， ，解得秒，此时动点在数轴上所对应的数为； 综上所述，此时动点在数轴上所对应的数为或； （3）解：由题知，动点与动点相遇时，有，即，解得秒， 动点追上动点时，有，即，解得秒， ，①当时， 有，， ，解得秒， ②当时， 有，，，解得秒， 当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动； 秒时，，即点为数，点为数， 当调头后与动点相遇时，（秒），即秒， 当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动，此时秒； 当动点到达点时，、、三点同时停止运动，此时秒， ③当时， 有，， ，解得（不符合题意，舍去）， ④当时，有， ，，解得（不符合题意，舍去）， 当动点立即调头并追上动点时，有追及时间为（秒）， ⑤当时， 有，，， ，解得， 综上所述，所有满足条件的的值为或或． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．(1)求a，b的值；(2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；(3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 【答案】(1)(2)或(3)或或 【详解】（1）解：由题意，得， ，，解得：，； （2）解：设原点为O，点对应的数为，对应的数是， ，，． 当、在原点的异侧时，若点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则，解得：． 当、在原点的右侧相遇时，点到原点的距离和点到原点的距离相等， 则，解得，，两点到原点的距离相等时，的值为或； （3）解：点C对应的数为14，点D对应的数为， ，点运动至点所需的时间为，故， 由（2）得，当时，，两点同时到达的点表示的数是； 由题意，得当点从点返回出发点时，若与相遇，则，解得：， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从出发点返回点时，若与点相遇，则，解得， 此时，两点同时到达的点表示的数是； 当点第二次从点返回出发点时，若与相遇，则，解得：（不符合题意）， 综上所述，，两点同时到达的点在数轴上表示的数为：或或． 16．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图， 数轴上有三个点A、B、 C表示的数分别是： ． (1)①点A和点C之间的距离是 个单位长度；②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度．(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个长度单位的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．①点A、B表示的数分别是 、 (用含有a、t的代数式表示)；②若点B、C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当a为何值时， 的值不会随着时间的变化而改变，并求此时 的值． 【答案】(1)①7；②1或9(2)①，；② 【详解】（1）解：①由题意得，点A和点C之间的距离是个单位长度； ②由题意得，点A和点B之间的距离是个单位长度， ∵移动后，C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍， ∴移动后，C、B两点的距离是个单位长度， ∵点B表示的数为，∴移动后，点C表示的数为或， ∴需将点C向左移动1个单位长度或9个单位长度； （2）解；①由题意可知A表示的数为，B表示的数为； ②由题意得，C表示的数为，∴，， ∵，      ∴，当时，，∴， ∵的值不会随着时间的变化而改变∴， 解得，此时，满足题意， ∴当时，的值不会随着时间的变化而改变 当时，， ∴ ∵，  ∴ ∴的值会随着时间的变化而改变， ∴综上所述，当时，的值不会随着时间的变化而改变． 17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知点、、为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为0，点表示的数为，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：．    (1)如图，、、为数轴上三点，回答下面问题：① ；②若点在数轴上，且，则点表示的数为 ；(2)若数轴上有一动点，从点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为秒，当为何值时，？此时点表示的数是多少？(3)数轴上，点表示的数为，点表示的数为25，点，为线段上的两点，且，求线段的长度． 【答案】(1)4，2(2)t的值为6或2，对应的点表示的数是11或3(3) 【详解】（1）解：①由数轴知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，，； ②设点表示的数为x，，，，解得， 即点表示的数为2，故答案为：4，2； （2）解：运动时间为秒时，点Q表示的数为， ，，，即， 或，解得或， 当时，点Q表示的数为，当时，点Q表示的数为， 综上可知，t的值为6或2，对应的点表示的数是11或3； （3）解：，点，为线段上的两点， ，点M在点N的右侧， 设点M表示的数为x，则，， 点N表示的数为，， ，解得，． 18．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，已知数轴上有A、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点A在点的左侧，．动点、分别从A、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为秒． (1)点A、表示的数分别是多少？(2)若动点、均向右运动．①当时，、两点间的距离为多少个单位长度？②当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数；(3)若动点从点向左运动，到原点后返回到点停止，动点从A点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在、、三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍． 【答案】(1)；(2)①②当时，点追上点，此时点对应的数为；(3)当秒，秒或秒时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为3，∴点表示的数为：， ∵点在点的左侧，，∴点表示的数为：，故答案为：；， （2）解：①当时，点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度， ∴点对应的数为：，点对应的数为：， 两点间的距离为：个单位长度，故答案为：； ②当点追上点时，可得点对应的数与点对应的数相同， 故，解得：，∴点对应的数为：， （3）解：当停止时，所用时间为， 当时：，解得：， 当时：，解得：（舍去）， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上所述：当，或时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍 19．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．  (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_______； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________；(4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 【答案】(1)6(2)3(3)或(4)或 【详解】（1）解：∵点P在数轴上表示的数为，且在和1之间，即点P在点A、B之间， ∴，故答案为：6； （2）解：设点P表示的数为，∵点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧， ∴，，， ∴，解得，即点P表示的数为3，故答案为：3； （3）解：设点E表示的数为，当点E在点A、B之间，∴，， ∵，∴，解得，此时； 当点E在点B右侧时，∴，， ∵，∴，解得，此时； 综上，或；故答案为：或； （4）解：t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为， ∵，∴，∴点B在点A的右边， 又∵，∴，∴点A、B的“10级幸运点”也不在点A、B之间， 设点F表示的数为，当点F在点A左侧时，，解得； 当点F在点B右侧时，，解得； 综上，点F表示的数为或．故答案为：或． 20．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ； (2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动， 当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度；②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗?(3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10，(2)①4；②64岁(3)存在，使得的值与它们的运动时间无关 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴，故答案为：10，； （2）解：①由题意得：， ∴，∴玩具火车的长为4个单位长度，故答案为：4； ②同①可知爷爷比小阳大岁，设爷爷的年龄为x岁，则小阳的年龄为岁， 由题意得，解得，∴爷爷的年龄是64岁； （3）解：由题意可得， ， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关∴，∴， ∴存在，使得的值与它们的运动时间无关； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）华东师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 26 模型9.数轴上的线段移动模型 30 35 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 考点1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，A、在数轴上对应的数分别用、表示，且，是数轴上的一个动点．动点从原点开始第一次向右移动1个单位长度，第二次向左移动3个单位长度，第三次向右移动5个单位长度，第四次向左移动7个单位长度，．点在移动过程中，第 次移动与点A重合． 例2（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 例3（2024·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 例4（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 考点2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，，动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒个单位的速度在线段上来回运动（掉头时间忽略不计）．当第一次回到点时两个点同时停止运动，当点运动 秒时，点恰好是的中点． 例2（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题：如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）；(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 例3（24-25七年级上·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 例4（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 考点3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为6，点B在原点左侧，且，N为线段的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左速运动，点P在运动过程中，当线段的长为3时，点P的运动时间为 秒． 例2（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点在数轴上所对应的数为．点在点右边距点6个单位长度，点以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，，两点间距离等于（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 例3（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点，表示的数分别为，，我们把，之差的绝对值叫做点，之间的距离，即． (1)已知数轴上三点，，对应的数分别为，，，点为数轴上任意一点，其表示的数为， __________；如果点到点，点的距离相等，则__________； 当为何值时，点到点、点的距离之和是； (2)若点以每秒个单位长度的速度从点向左运动时，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动、点以每秒个单位长度的速度从点也向左运动，且三个点同时出发，那么运动几秒时，点到点，点的距离相等． 考点4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位／秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位／秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： (1)当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 (2)动点P从点A运动至C点需要多少时间？(3)P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？(4)在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 考点5.动点往返运动模型 . 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）已知两点A，B在数轴上，，点A表示的数是a，且a与互为相反数．(1)写出点B表示的数；(2)如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，4秒后两动点相遇，当动点Q到点5时，运动停止．在整个运动过程中，当时，求点P，Q所表示的数；(3)如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发2秒；当动点Q运动3秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动5秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动8秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当时，求动点P，Q运动的速度． 例2（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）已知数轴上两点，对应的数分别为，3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，折叠点为，则点表示的数为_____，与重合的点为_____； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为6？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；(3)点、点分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点以6个单位长度/分的速度从点向左运动．当遇到时，点立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点与点之间，求当点与点重合时，点所经过的总路程是多少？ 例3（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图，在数轴上的点表示数，点表示数，、满足． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以个单位/秒的速度向左运动，当小球乙碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点），小球乙以个单位/秒的速度向相反的方向运动，此时小球甲依然以原来的速度原来的方向运动；当小球甲碰到挡板后，小球甲以原来的速度向相反的方向运动，小球乙保持原来的速度和方向．设小球运动的时间为（秒）． ①当时，甲小球到原点的距离 ，乙小球到原点的距离 ； ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小球运动的时间． 考点6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且a、b、c满足。(1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数______的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．则______，______，______．（用含t的代数式表示） (4)请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边． (1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．点P从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，设运动时间为t秒． ①点M是线段的中点，点N是线段的中点．当t为何值时，？ ②若点P从点D出发时，以每秒4个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向右运动．点P与点Q相遇后，点P保持原来运动方向不变，速度变为2个单位长度/秒，点Q改变原来的运动方向沿直线向左运动，且速度变为3个单位长度/秒．在整个运动过程中，当时， ． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有 ①两点A，B两点的中点表示的数为； ②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且．（1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 考点7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若点，，在数轴上对应的数分别为，，，其中是最小的正整数，，满足，请回答问题： (1)请直接写出 ， ；(2)设点在数轴上对应的数为．①若点为线段的中点，则 ； ②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)若点，，同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读材料：在数轴上，点表示的有理数为，点表示的有理数为，当时，点，之间的距离记作：；当时，点，之间的距离记作：．例如：，，则． 根据以上知识解决下列问题：如图，已知数轴上两点，表示的数分别为，12，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)__________，点表示的数为__________．（用含的式子表示） (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，点，，同时出发． ①若点，两点到原点的距离相等，求的值； ②在某个时间段内，的值不随的变化而变化，求出该时段，应满足的数量关系． 考点8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如若数轴上数2对应的点与数对应的点重合，则数轴上数对应的点与数4对应的点重合． 若数轴上数对应的点与数3对应的点重合，根据此情景解决下列问题： (1)数轴上数1对应的点与数 对应的点重合．(2)若数轴上A，B两点之间的距离为200个单位长度（点A在点B的右侧），并且A，B两点经折叠后重合，求点A，B表示的数．(3)在（2）的条件下，一只青蛙王子，从点B出发，以7个单位每秒的速度向右运动，同时另一只青蛙士兵，从A点出发以3个单位每秒的速度向左运动，假设它们在C点相遇，求C点所表示的数． 例2（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 例3（23-24七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究 数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题： (1)平移运动：一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ． (2)翻折变换：①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合． ②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ． 考点9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·湖北黄冈·期末）点在数轴上，分别表示数，且． (1)直接写出的值是___________，的值是___________，线段的长度是___________； (2)如图1，线段的长为定值（点在点的左侧），它在数轴上从左向右匀速运动，在运动过程中，线段完全经过点（即点在线段上的这段过程）所需的时间为2秒，线段完全经过线段（即线段与线段有公共点的这段过程）所需的时间为12秒． ①求线段的长；②直接写出线段运动的速度为___________个单位长度/秒； ③如图2，点在线段上，当线段运动到点与点重合时，点从点出发，以2个单位长度/秒的速度向点运动，遇到点后，点立即原速返回，向点运动．遇到点后也立即原速返回，向点运动．设线段以及点同时运动的时间为秒（），当时，求的值． 例2（24-25七年级上·重庆·期中）如图，数轴上、表示的数分别为、20，有两条动线段和，点与点重合，点对应的数是4，且点在点的左边，点在点的左边，，．线段以每秒4个单位的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位的速度向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即返回，并且速度变为原速的一半，同时，线段的速度变为两倍；当点到达点时，线段、同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ； (2)在线段从到的过程中，点是的中点，点是的中点，若，求点在数轴上对应的数；(3)在整个运动过程中，请直接写出时所对应的的值． 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图1，点C是线段上一点，若，我们称为点在线段上的“分割值”，记为．例如点在上，，则；反之当，则． (1)如图2，数轴、两点对应的数为、，且分别满足和． ①求出 ； ；②请在图2的数轴上画出、两点． (2)为数轴上一个动点，从点向终点匀速运动．①若点表示的数为，则 ． ②如图，数轴上另一个点从点出发向点运动，到达点后立即以原速返回点，当点到达点B时，，都停止运动．若点和点的运动速度分别为每秒个单位和每秒个单位，且点和点同时出发，运动秒后，是否存在，若存在，求出的值；不存在，请说明理由． (3)如图4，在四边形中，，，，，点，同时从点出发向终点匀速运动，点沿折线运动，点沿线段运动．设点，的速度分别为和且满足，若，当点运动到线段上时，则 ．（用含有的代数式表示） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图A、B两点之间相距4个单位长度，B、C两点之间相距6个单位长度，现有一动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C停止，点P到A、B、C三点的距离之和的最大值为m，最小值为n．则的值是（        ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 2．（2024·广东·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1厘米）．若数轴上点A和点B刚好对着刻度尺上的刻度2和刻度8，且这两点到原点的距离相等．则数轴上原点对着直尺上的刻度是 ；现有动点P、Q分别从A、B两点向右沿正半轴运动，速度分别为4和2（单位长度/秒），当P、Q两点相距2个单位长度时，时间为 ． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ． 5．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 6．（23-24七年级上·天津河东·期末）如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1、点P、Q为数轴上两个动点，点P从A出发向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从B点出发向左运动，速度为每秒3个单位的长度，P、Q同时开始运动，运动时间为秒，当等于 秒时、 点P是线段的中点．    7．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，有两条线段， ， ，在数轴上，点A 表示的数是， 点 D在数轴上表示的数是15．若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当时，M为中点，N为 中点， 则线段的长为 ．    8．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点O的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】(1)在数轴上，A点表示的数是2，B点表示的数是，则点A与点B之间的距离______． (2)如果点A在数轴上表示的数为x，点B在数轴上表示的数为，点A与点B之间的距离为5，那么______．(3)若，且x为整数，则x的值为______． (4)如图，点A、B、C是数轴上的三点，A点表示数是，B点表示数是1，C点表示数是7，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为．探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为44个单位长度，并表示为． 素材2  动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：(1)探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？ (2)探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 10．（24-25七年级上·重庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． 如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，且满足．P，Q是数轴上的动点．表示点A和点B之间的距离． (1)点A表示的数为_______，点B表示的数为_______，_______； (2)若点P以2个单位长度/秒从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点A运动，经过4秒相遇，请求出点Q的运动速度；(3)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒．当t为何值时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？ 11．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，已知点在数轴上对应的数为，点对应的数为，且，满足。(1)求点与点在数轴上对应的数和；(2)现动点从点出发，沿数轴向右以每秒个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒．①若点和点相遇于点，求点在数轴上表示的数；②当点和点相距个单位长度时，直接写出的值． 12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，数轴上线段为2个单位长度，线段为4个单位长度，线段为2个单位长度，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．若线段以每秒6个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． (1)当点与点相遇时，点，在数轴上表示的数分别为 ．(2)当t为何值时，点B刚好与E点重合？(3)当运动到为8个单位长度时，求出此时点在数轴上表示的数． 13．（24-25七年级上·重庆江津·期中）已知多项式的常数项是，次数是．    (1)直接写出的值，并将这两个数分别在数轴上所对应的点表示出来． (2)数轴上之间的距离记作，定义：，设点在数轴上对应的数为，当时，求出的值．(3)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点，同时出发，运动时间为秒，经过多少秒后，，两点之间的距离为个单位长度？ 14．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_______，线段的长度是______；(2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程． 15．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．(1)求a，b的值；(2)点A，B沿数轴同时出发相向匀速运动，点A的速度为4个单位/秒，点B的速度为1个单位/秒，若t秒时点A到原点的距离和点B到原点的距离相等，求t的值；(3)在（2）的条件下，点A，B从起始位置同时出发，当A点运动到点C时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C运动．B点运动至D点后停止运动．当B停止运动时点A也停止运动．求在此过程中，A，B两点同时经过的点在数轴上对应的数． 16．（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图， 数轴上有三个点A、B、 C表示的数分别是： ． (1)①点A和点C之间的距离是 个单位长度；②若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度．(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个长度单位的速度向左运动，同时，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．①点A、B表示的数分别是 、 (用含有a、t的代数式表示)；②若点B、C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，当a为何值时， 的值不会随着时间的变化而改变，并求此时 的值． 17．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）已知点、、为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为0，点表示的数为，点表示的数为1，则是的“2倍点”，记作：．    (1)如图，、、为数轴上三点，回答下面问题：① ；②若点在数轴上，且，则点表示的数为 ；(2)若数轴上有一动点，从点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右运动，设运动时间为秒，当为何值时，？此时点表示的数是多少？(3)数轴上，点表示的数为，点表示的数为25，点，为线段上的两点，且，求线段的长度． 18．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图，已知数轴上有A、两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点A在点的左侧，．动点、分别从A、两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为秒． (1)点A、表示的数分别是多少？(2)若动点、均向右运动．①当时，、两点间的距离为多少个单位长度？②当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数；(3)若动点从点向左运动，到原点后返回到点停止，动点从A点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在、、三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍． 19．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）如图，A点、B点是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”．例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．  (1)若点P为点A、B的“m级幸运点”，且点P在数轴上表示的数为，则_______； (2)若点P是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点P在点B的右侧，则点P表示的数为_____________； (3)若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，则_____________；(4)若点A在数轴上以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B在数轴上以每秒3个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，某一时刻数轴上恰有一点F为点A、B的“10级幸运点”，则点F表示的数为_____________（请用含t的代数式表示）． 20．（2024·江苏连云港·七年级校考期中）已知M、N两点在数轴上所装示的数分别为m、n，且m、n满足：(1)则m =  _________ ，n =  _________ ； (2)①情境：有一个玩具汽车如图所示，放置在数轴上，将汽车沿数轴左右水平移动， 当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具汽车的长为 _________ 个单位长度；②应用：一天，小阳问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了!”小阳心想：爷爷的年龄到底是多少岁呢?聪明的你能帮小阳求出来吗?(3)在（2）①的条件下，当汽车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动．记汽车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关?若存在，请直接写出k的值；若不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$