专题02 数轴中的九类动态模型（几何模型讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 32 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 例2（24-25七年级上·北京·期中）一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为 ，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过 次． 例3（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 例4（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 例2（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 例3（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 例4（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 例2（24-25七年级上·广东广州·期末）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（   ） A． B． C．或8 D．或8 例3（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上，点为原点，点对应的数是，点对应的数是，点是的中点，代表点两点之间的距离，为数轴上任一点． (1)______，点对应的数为______；(2)若，求点对应的数； (3)点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度分别是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，设运动时间为秒．①用的代数式表示在数轴上对应的数；②当到两点的距离相等时，求点表示的数是多少？ 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 例2（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足，点对应的数为20．(1)求的值；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点的距离是点到点距离的2倍； (3)若动点、分别从、同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度/秒．点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动．点运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点同时到达的点在数轴上表示的数． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：(1)______，______，______．(2)动点P从A出发，以每秒2各单位长度的速度向右运动，到C后停止运动，设运动时间为t．求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为7个单位？ (3)已知点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 例2（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________．(2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于x的多项式，其中该多项式的二次项系数为，一次项系数为，项数为，点，，在数轴上对应的数分别为，，． (1)求________，________，________； (2)若为数轴上任意点，设点对应数为，满足，求点在数轴上对应的数； (3)若点以速度沿数轴正方向运动，同时点从原点点出发，以速度沿数轴正方向运动，为的中点，若点，点运动时，总有的长度不变．问：的值是否会发生变化，若不变求其值；若变化，请说明理由． 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 例3（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（2024·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 例2（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 例3（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，b，c满足． (1)根据题意， ， ， ；(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为6单位长度/秒，点Q速度为2单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为6，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 例2（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段、同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后， 秒时，线段与线段开始有重叠部分； 秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是____________，点A在数轴上表示的数是____________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形在数轴上向右运动，长方形固定不动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是____________． ②当时，求此时D点所表示的数． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，8．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，当点遇到点时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．当时，的值为（　　） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2或4 3．（2024·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（       ）次移动到的点到原点的距离为20. A．7 B．10 C．14 D．19 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图已知数轴有A、B两点，分别表示的数为、18．点P沿线段自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过 秒P，Q两点相距8个单位长度． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是 ． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）点M在数轴上运动，从原点开始先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，则此时M点表示的数是 ． 9．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 10．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在数轴上，A、B两点之间的线段记为，若A，B两点分别表示数a，b．那么线段AB的长度计算公式为：．已知． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当时，P点对应的数是多少？ (3)在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（）．若在运动过程中（M处于P，Q之间），的值与运动的时间t无关，求x的值． 11．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 12．（2024·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由． 13．（2024·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 14．（2024·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 15．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 16．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 17．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知二项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a、b在数轴上对应的点分别为A、B，点C为数轴上任意一点，对应的数为C． (1) ， ．并在数轴上标出 A，B ；(2)当点C为线段的三等分点时，求C的值； 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点表示原点，对于不重合的两点，，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点在数轴上表示的数是，①如图1，若点表示的数是， ；②数轴上的点满足，求；(2)点，点分别从表示和的点同时向右运动，点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位；当点与点相遇时，点与点的速度立刻交换并继续向右运动．设点的运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题： （1）当时，A点表示的数为____，此时_____；（2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值；（3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________． 20．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A ，B ，C ； (2)动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动；①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：A、B两点间的距离______，线段的中点表示的代数式为______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，当t为何值时，； (3)点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 22．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数轴中的九类动态模型 数轴中的动态问题属于（2024）北师大版七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 4 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 4 模型2.动态中点与n等分点模型 6 模型3.单（多）动点匀速模型 8 模型4.单（多）动点变速模型 11 模型5.动点往返运动模型 14 模型6.动态定值（无参型）模型 17 模型7.动态定值（含参型）模型 20 模型8.数轴折叠（翻折）模型 23 模型9.数轴上的线段移动模型 26 32 数轴中的动态模型（如动点问题）的历史发展，本质上是数轴工具与运动数学思想结合的产物，其演变可分为三个阶段：工具创造‌（17世纪）→动态启蒙‌（19-20世纪）→教学定型‌（21世纪）。数轴动态模型是‌笛卡尔几何工具‌与‌运动数学思想‌在教育场景中的实践结晶，其发展映射了数学从抽象理论向应用建模的转化过程。 （2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2，…， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013；故答案为：1013. （24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【详解】解：设运动时间为t，依题意得：所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为，∴， 所表示的数为，所表示的数为，∴， ∴， 若为常数，则，解得：．故答案为． （24-25七年级上·湖南株洲·期中）【阅读材料】我们知道“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．若点表示的数是，点表示的数是，点在点的右边（即），则点，之间的距离为（即）．例如：若点表示的数是，点表示的数是，则线段． 【理解应用】（1）已知在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，求线段的长； 【拓展应用】如图所示，点､､､在数轴上对应的数分别为､､､，其中是最大的负整数，､满足，且．（2） ； ； ； ． （3）若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，当､两点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值； 【答案】；；；；；秒或秒 【详解】解：，线段的长为； 是最大的负整数，， ､满足，，解得：，，， 又，；故答案为：；；；； 解：秒后点到达的位置是，点到达的位置是， 当､两点之间的距离为个单位长度时，可得：， 整理得：，解得：或， 答：当运动秒或秒时､两点之间的距离为个单位长度 ①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。 ②数轴动点问题主要步骤： 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 ③分类讨论的思想： （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。 （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 模型1.动态规律（左右跳跃）模型 . 【解题技巧】‌运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 . ‌代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 . 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 . ‌分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 第次向左平移一个单位，第次向右平移两个单位，实际向右平移单位；则第100次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位．故答案为： 例2（24-25七年级上·北京·期中）一个电子蚂蚁从数轴上的原点出发，按下列规则运动：先沿数轴的正方向前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知电子蚂蚁每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒电子蚂蚁在数轴上的位置所对应的数，则为 ，所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过 次． 【答案】 506 4 【详解】解：依题意得，点P每8秒完成一个前进和后退，各数据依次为： 1、2、3、4、5、4、3、2； 3、4、5、6、7、6、5、4； 5、6、7、8、9、8、7、6； 7、8、9、10、11、10、9、8； 9、10、11、12、13、12、11、10； 11、12、13、14、15、14、13、12；……． 因为，所以第2024秒对应的数位于第253行第8个数． 由数据发现，数据的第8列数的规律为：（n为行数），所以． 由数据发现，除1，2，3外，都重复4次， 所以所表示的数在数轴上对应的位置，电子蚂蚁在运动过程中会经过4次．故答案为：506，4． 例3（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）一个动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动，已知点每秒前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，如，，，则为（    ） A．673 B．674 C．675 D．676 【答案】C 【详解】解：∵动点从数轴上的原点出发，沿数轴的正方向以前进4个单位，后退2个单位的程序运动， ∴每6秒点P完成一次前进和一次后退运动，且每6秒内点P向数轴正方形运动2个单位， ∵，∴为，故选：C． 例4（24-25七年级上·安徽宿州·期中）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为，点表示的数为1；第二次从点起跳，落点为的中点；第三次从点起跳，落点为的中点；如此跳跃下去…最后落点为的中点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：第一次落点为处，点表示的数为1； 第二次落点为的中点，点表示的数为； 第三次落点为的中点，点表示的数为；… 则点表示的数为，即点表示的数为；故答案为：． 模型2.动态中点与n等分点模型 【解题技巧】 1）动态中点模型：动态中点指两动点在数轴上运动时，其中点位置随动点运动而变化。设动点A和B在时间t的位置分别为xA（t）和xB（t），则动态中点M（t）的坐标：。 该公式适用于任意时刻动态中点计算。 2）动态n等分模型：将线段AB分为n等份时，第k个等分点的坐标为：。 若A和B为动点，则等分点位置随时间变化，需建立动态表达式。 例1（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：点表示的数为，∴，∵，则，∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）；根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且∴，解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且，∴，解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等，故选：C ． 例2（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，点和在数轴上表示的数分别是和8，动点从出发，以1个单位每秒的速度沿射线的方向向右运动，同时动点从点出发，以3个单位每秒的速度沿射线的方向向左运动，运动时间为秒，当点A，P，Q这三点中恰好有一点是以另外两点为端点的线段的中点时，的值为 ． 【答案】或4或7 【详解】解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P是线段的中点时，，解得：； 当点Q是线段的中点时，，解得：； 当点A是线段的中点时，，解得：． 综上所述，t的值为或4或7．故答案为：或4或7． 例3（24-25七年级上·上海长宁·期中）阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点；(3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是(2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点，故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：，解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点，故答案为：或； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒），分四种情况： ①当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ②当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ③当时，，解得：，此时是[，]的赞点； ④当时，，解得：，此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 例4（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）； 【详解】解：（），∴，，∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得，当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：； 模型3.单（多）动点匀速模型 【解题技巧】 模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【详解】解：动点所表示的数是，是线段的中点，点所表示的数是， ，，，或，解得或．故选：C． 例2（24-25七年级上·广东广州·期末）已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（   ） A． B． C．或8 D．或8 【答案】D 【详解】解：点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，点B表示的数是 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：，即或， 解得：或，运动时间t的值为或故选：D 例3（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，在数轴上，点为原点，点对应的数是，点对应的数是，点是的中点，代表点两点之间的距离，为数轴上任一点． (1)______，点对应的数为______；(2)若，求点对应的数； (3)点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动，点的运动速度分别是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，点的运动速度是每秒个单位长度，设运动时间为秒．①用的代数式表示在数轴上对应的数；②当到两点的距离相等时，求点表示的数是多少？ 【答案】(1)，(2)或 (3)①点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为；②或 【详解】（1）解：，点对应的数为，故答案为：，； （2）解：当点在点的左侧时，，∴， ∴点表示的数为； 当点在点的右侧时，，∴，∴点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或； （3）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； ②当点在点的左侧时，，∴，解得， 此时点表示的数为； 当点在点的右侧时，，此时点重合，∴，解得， 此时点表示的数为； 综上所述，点表示的数为或． 模型4.单（多）动点变速模型 【解题技巧】 单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单（多）动点变速模型用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点与点之间的距离；(2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1)(2)的值为或，点表示的数为或(3) 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵，∴， ∵点在原点的两侧，∴点表示的数为，∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值，∴，∴． 例2（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)，；(2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式，∴，∴， ∵，∴，，∴，，故答案为：，； （2）解：由（1）可得：，， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后，，， ∴，∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，，∴， 设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则，∴，∴， 整理得：，解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，，整理得：，解得：， 当时，，即，∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 例3（24-25七年级上·四川成都·期中）已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22(2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度，则，点P表示的有理数为， ；故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴；故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，则得：，解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：，解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为，所以，得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒，故答案为：12或25． 模型5.动点往返运动模型 【解题技巧】 . 数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 . 注意事项： . 1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 . 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。‌ 例1（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，在数轴上点A，B，C分别表示的数为a，b，c．已知a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数． (1)填空：______，______，______；并在数轴上标出原点O； (2)若动点M，N分别从点A，B同时出发沿数轴向左运动，点M的速度是每秒2个单位长度，点N的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点M可以追上点N？ (3)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动．设运动的时间为t秒，当点Q到原点O的距离为3时，求点P表示的数． 【答案】(1)5，，(2)运动7秒后，点M可以追上点N(3)或 【详解】（1）解：a，b分别是多项式的次数和常数项，c是单项式的系数， ，，，故答案为：5，，； （2）解：设运动秒后，点M可以追上点N，根据题意得：，解得：， 运动7秒后，点M可以追上点N； （3）解：当点Q由点A向点O运动时， ，，解得：，此时点P表示的数是； 当点Q由点O向点A运动时，，，解得：， 此时点P表示的数是；综上所述，点P表示的数是或 例2（24-25七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上两点对应的数分别为，且满足，点对应的数为20．(1)求的值；(2)若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点到点的距离是点到点距离的2倍； (3)若动点、分别从、同时出发向右运动，点P的速度为2个单位长度/秒，点的速度为1个单位长度/秒．点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动．点运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点同时到达的点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)运动时间为6秒或2秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍 (3)相遇点表示的数为8或16 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为2， 设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为，∴， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，∴， ∴或，解得或， ∴运动时间为秒或秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）解：设运动时间为x秒，秒，秒， ∴点P第一次到达点C需要12秒，点Q到达点C需要18秒，点P第一次返回A的时间为24秒，点Q返回B的时间为36秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，∴，解得，∴此时相遇点表示的数为； 综上所述，相遇点表示的数为或． 例3（24-25七年级上·广东广州·期中）如图1，已知数轴上的点A对应的数是a，点B对应的数是b，且与互为相反数．                   (1)， ．(2)动点P、Q分别从点A、B两点出分别以3个单位长度/秒、1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，t秒后P、Q两点之间的距离为6个单位长度，求t的值． (3)如图2，在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以3个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，乙弹珠以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠在各自首次遇到挡板返回后首次相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n之间是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】(1)，8(2)或9(3) 【详解】（1）解：∵与互为相反数，即， 又∵，∴，，∴，，故答案为：，8； （2）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 则、两点之间的距离为， 当时，解得；当时，解得； 综上所述，当或9时，使得、两点之间的距离为6； （3）设点对应的数为，点对应的数为，运动时间为， 甲、乙均反弹之后在的中点相遇，则、的中点对应的数为， ，，，， 化简得；∴与的关系式为． 模型6.动态定值（无参型）模型 【解题技巧】 数轴上的动态定值（无参型）模型描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足，请回答问题：(1)______，______，______．(2)动点P从A出发，以每秒2各单位长度的速度向右运动，到C后停止运动，设运动时间为t．求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为7个单位？ (3)已知点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5(2)或时，点到、、三点的距离之和为7个单位 (3)的值不随时间的变化而变化，其值恒为2． 【详解】（1）解：b是最小的正整数，． ，，，，， ，，．故答案为：，1，5； （2）解：点运动秒时，运动到的点对应的数是． 点到、、三点的距离之和为7个单位，． 当时，，解得．当时，，解得． 综上所述，或时，点到、、三点的距离之和为7个单位． （3）解：不变．理由如下：点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点每秒1个单位长度向右运动， ．点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ，， 的值不随时间的变化而变化，其值恒为2． 例2（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10(2)或时，(3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且，点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是，故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ，，或．答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 例3（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知关于x的多项式，其中该多项式的二次项系数为，一次项系数为，项数为，点，，在数轴上对应的数分别为，，． (1)求________，________，________； (2)若为数轴上任意点，设点对应数为，满足，求点在数轴上对应的数； (3)若点以速度沿数轴正方向运动，同时点从原点点出发，以速度沿数轴正方向运动，为的中点，若点，点运动时，总有的长度不变．问：的值是否会发生变化，若不变求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)或(3)不变； 【详解】（1）解：关于的多项式，其中该多项式的二次项系数为，一次项系数为，项数为，故，，；故答案为：，， （2）解：，，，则， 当位于点左侧，即时，，解得：； 当位于、之间，即时，，方程无解； 当点右侧，即时，，解得：； 综上所述，P点在数轴上对应的数为：或； （3）解：设运动时间为秒，由题意可知点在数轴上表示的数为，点D表示的数为， ∵点在线段上，点在线段上，为的中点， 点所表示的数为，∴线段的长度为， 又的长度不变，即的长度与无关，， 即，解得：，即为定值，等于 模型7.动态定值（含参型）模型 【解题技巧】 数轴上动态定值（含参型）模型需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1（24-25七年级上·四川成都·期末）数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离． 如图，数轴上有、两点，其中表示，点表示数． (1)若数轴上有一点满足，则点表示的数为______； (2)点、分别以每秒2个单位长度、1个单位长度向右运动，点从原点出发以每秒3个单位长度向右运动，当点追上点后立即以原速返回原点．已知三个点同时出发，当点回到原点时都停止运动．设运动时间为．①当追上时，求、两点之间的距离；②在点返回原点的过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或(2)  存在， 【详解】（1）解：设点表示的数为，由题意可得：， 即：，或，解得：或， 即：点表示的数为或，故答案为：或； （2）解：①当追上时，点表示的数为：， 点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意可得：，解得：， 此时，、两点之间的距离为：； ②存在，，理由如下：当追上时，点、表示的数相等，为， 此后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数为：，， ， ， 分两种情况讨论：）当时，， 为定值，，解得：； ）当时，， 为定值，，解得：；综上，． 例2（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4，(2)存在，或(3)存在，时，定值为28 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，∴，∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时，∴，解得，∴此时点Q表示的数为； ∵，∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在，当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴， 当，即时，为定值28 例3（24-25七年级上·福建厦门·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点右侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，，且，满足． (1)由题意得，______，______；(2)若点是“关联点”，则点所表示的数为______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，求出，满足的数量关系． 【答案】(1)4，(2)0或(3) 【详解】（1）∵，∴，∴， ∵点A，点B表示的数分别为a，b，且a，b满足，∴，，故答案为：4，； （2）∵点A，点B表示的数分别为4，，∴， 若点C是“关联点”，则， 当点C在线段上时，，此时，点C所表示的数为； 当点C在线段的延长线上时，，此时，点C所表示的数为， 综上所述，点C所表示的数0或，故答案为：0或； （3）设点Q表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上． ∴，，，， ∴，， ∴， 当点Q运动时，若存在整数m、n，使得式子为定值，则    ， ∴，即整数m、n满足的数量关系是． 模型8.数轴折叠（翻折）模型 【解题技巧】 数轴折叠模型通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1（2024·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面． （1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合； （2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009 【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合， ∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5． （2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17． ②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022， 根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009． 答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009． 例2（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 例3（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______；②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______；③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为；； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度，∴，即， ∴或，解得：或，∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下：一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下：点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴，∴，∴，点为，故表示的数为． 模型9.数轴上的线段移动模型 【解题技巧】 数轴上的线段移动模型研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c，且a，b，c满足． (1)根据题意， ， ， ；(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为6单位长度/秒，点Q速度为2单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段的中点M到点的中点N距离为6，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段，线段（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；10(2)存在，或(3)5或或8或 【详解】（1）解：∵， ∴，∴；故答案为：；；10 （2）解：存在，由（1）得：A，B，C三个点对应的数分别为，，10， 根据题意得：点P对应的数为，点Q对应的数为， ∵点M为线段的中点，点N为的中点， ∴点M对应的数为，点N对应的数为， ∵线段的中点M到点的中点N距离为6，∴，解得：或； （3）解：存在，∵，∴，线段和第一次重合中，， ∴点P对应的数为，点Q对应的数为，点E对应的数为，点F对应的数为， 若点P表示的数比点F表示的数大2，，解得：； 若点Q表示的数比点E表示的数大2，，解得：； 线段和第二次重合中，，点P对应的数为，点E对应的数为， 若点P表示的数比点F表示的数大2，，解得：； 若点Q表示的数比点E表示的数大2，，解得：； 综上所述，t的值为5或或8或． 例2（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段、同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后， 秒时，线段与线段开始有重叠部分； 秒后，线段与线段不再有重叠部分．(3)当点C在线段上，且时，求t的值．(4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)；；(2)15；(3)t的值为或(4)t的值为6或 【详解】（1）解：B点表示的数为：， ，且点表示的数为14，则C点表示的数为， 所以点C表示的数为：；故答案为：；； （2）解：当点B与点C重合时，由题意得：，解得：； 即从5秒开始，两线段开始有重叠部分； 当点A与点D重合时，点D表示的数为，点A表示的数为， 由题意得：，解得：；即秒后，两线段不再有重叠部分；故答案为：15；； （3）解：点A、B、C、D四点表示的数分别为； 当点C在线段上，点D在点B的右侧；，， ∵，∴，解得：； 当点C在线段上，点D在点B的左侧；， ∵，∴，解得：； 综上，当点C在线段上，且时，t的值为或； （4）解：当点C在线段上时，∵，∴； ∵，∴两点重合；由（2）知，当时，B、C重合， 当两点重合时，点D表示的数为：， 由于5秒后到点B与点D相遇，运动速度为原来的2倍，则有，解得：； 当点C在点A左侧时，当C运动6秒时，点C表示的数为，继续运动后C表示的数为：，则，解得：； 综上，当t的值为6或时，． 例3（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是____________，点A在数轴上表示的数是____________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形在数轴上向右运动，长方形固定不动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是____________． ②当时，求此时D点所表示的数． 【答案】(1)；(2)；(3)2；点所表示的数为或． 【详解】（1）解：∵长方形的长是个单位长度，宽是个单位长度，长方形的长是个单位长度，宽是个单位长度，点在数轴上表示的数是，且两点之间的距离为， 点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是,故答案为：； （2）解：是个单位长，点在数轴上表示的数为, 点在数轴上表示的数是.设点表示的数是, 点在线段上，， 点在线段上，且点到点与到点的距离和为， ,解得：,点表示的数是； （3）解：首次达到最大值时，即点与点重合时，如图, 由题意可知未移动之前， ∴当点与点重合时，点与点都移动了个单位长度， ∴D点所表示的数是，故答案为：， 由题意可知两个长方形重叠部分的宽为个单位长度，且, 两个长方形重叠部分的长为个单位长度， 分类讨论：当长方形与长方形重合之前，时，如图， 此时，点所表示的数是， 当长方形与长方形重合之后，时，如图， 此时，，点所表示的数是， 综上可知，此时点所表示的数为或． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【答案】B 【详解】解：设运动时间为秒，则秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点分别到点、的距离相等，点表示的数为：， 从数字处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动，故选：． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，8．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，当点遇到点时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点到达点时，两点同时停止运动．当时，的值为（　　） A．2或3 B．3或5 C．2或5 D．2或4 【答案】B 【详解】解：如图： ∵A，B两点表示的数分别是，8，∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，，∵，∴，解得； 相遇时间是，相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，，∴，解得．∴或．故选：B． 3．（2024·福建龙岩·七年级期末）如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，……．以此类推，按照以上规律第（       ）次移动到的点到原点的距离为20. A．7 B．10 C．14 D．19 【答案】C 【详解】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1+3=4； 第2次从点B向左移动6个单位长度至点C，则C表示的数为46=2； 第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为2+9=7； 第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为712=5； 第5次移动后表示的数为5+15=10；第6次移动后表示的数为1018=8；…； 当移动次数为奇数时，对应的数是4，7，10，…，第n次移动后表示的数是， 当时，解得，n=（不符合题意，舍去）．当移动次数为偶数时，对应的数是2，5，8，…， 第n次移动后表示的数是，当时，解得，n=14．故选：C． 4．（24-25七年级上·广东珠海·期中）如图已知数轴有A、B两点，分别表示的数为、18．点P沿线段自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过 秒P，Q两点相距8个单位长度． 【答案】或 【详解】解：根据题意可知：，点P出发3秒后运动的路程为：， 设再经过x秒P，Q两点相距8个单位长度， 两个点相遇前相距8个单位长度，则，解得：； 两个点相遇后相距8个单位长度，则，解得：； 综上分析可知：再经过秒或秒P，Q两点相距8个单位长度．故答案为：或． 5．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其他两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是 ． 【答案】 【详解】解：设点C表示的数为m，当点C到点A的距离是点C到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点C到点B的距离是点C到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点A到点C的距离是点A到点B的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点A到点B的距离是点A到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或； 当点B到点A的距离是点B到点C的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 当点B到点C的距离是点B到点A的距离的2倍时，则， ∴或，解得或（舍去）； 综上所述，符合题意的m的值为或或或或或， ∴在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的和是，故答案为：． 6．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 【答案】或 【详解】解：∵，，，， ∴点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，则，，， 若时，  ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时，， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）已知数轴上的A、B两点对应的数字分别为、3，点P，Q同时分别从A，B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位/秒，点Q的运动速度为n个单位/秒，在运动过程中，取线段的中点C（点C始终在线段上），若线段的长度总为一个固定的值，则m与n应满足的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：设运动秒时，，， ∵点C是的中点，∴，∴， ∵的长度总为一个固定的值，即与无关，∴，即，故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）点M在数轴上运动，从原点开始先向右移动7个单位长度，再向左移动4个单位长度，则此时M点表示的数是 ． 【答案】3 【详解】解：∵从原点开始先向右移动7个单位长度，∴此时M点的位置为， ∵再向左移动4个单位长度，∴此时M点的位置为，故答案为：3． 9．（24-25七年级上·江西九江·期末）如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 【答案】3或6或9 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，，∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，，∴、两点之间的距离是； ③当P向左，点Q向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，，∴、两点之间的距离是； ④当P向右，点Q向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，，∴、两点之间的距离是； 综上，、两点之间的距离是3或6或9，故答案为：3或6或9. 10．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在数轴上，A、B两点之间的线段记为，若A，B两点分别表示数a，b．那么线段AB的长度计算公式为：．已知． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当时，P点对应的数是多少？ (3)在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（）．若在运动过程中（M处于P，Q之间），的值与运动的时间t无关，求x的值． 【答案】(1)(2)或(3) 【详解】（1）解：∵，∴，， 即: ，，∴. （2）解：设运动的时间为，则点所表示的数为，点所表示的数为， ∴，，由，得，解得:或， 因此，点所表示的数为: 或，答：点所对应的数是或； （3）由题意得：点所表示的数为，点所表示的数为, 点所表示的数为, ∵在运动过程中（M处于P，Q之间），则， ∵结果与无关，∴，解得：． 11．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；②(3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ，所以表示的点与表示6的点重合，故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为，可得，解得：故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为．所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 12．（2024·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由． 【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）根据幸福中心的定义即可求解． 【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2； （2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）； （3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6， 故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 13．（2024·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：　 　，点F在数轴上对应的数为：　 　．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）． 【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒 【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关， ∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3） ＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12； （2）设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t， 故答案为：12﹣6t，﹣20+2t； （3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝； 相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12， 点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝； 由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t， 点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t． 当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝； 当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝． 答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒 14．（2024·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)2.5(2)15(3) 【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)， ∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒， ∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)； （2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)， ∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)； （3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等； ②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)， ∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在； ③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t， ∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或； ④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t， ∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)， 综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或． 15．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______；(2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，；(2)，，；(3)；(4)，，，． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒，∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时，则，点表示的数为， ∴，，故答案为：，，； （3）∵，∴，即或，解得：，∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则，即或， 解得：或，∴点表示的数为或； 当点从点返回后，此时，，    则点表示的数为，点表示的数为， 则，即或， 解得或，∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 16．（2024·河南洛阳·七年级期末）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则． 问题提出：(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离______，线段AB的中点表示的数为______． (2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0） ①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______； ②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． (3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数． 【答案】(1)；(2)①；；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7 (3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1 【解析】(1)∵A表示的数为−2，点B表示的数为13， ∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为；故答案为：15；． (2)①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；故答案为：−2＋3t；13−2t． ②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7； 答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7． (3)由已知得：P运动5秒到B，Q运动秒到A， 返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−）， 根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−），解得t＝9， 第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1． 17．（24-25七年级上·山东德州·期中）已知二项式中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，且a、b在数轴上对应的点分别为A、B，点C为数轴上任意一点，对应的数为C． (1) ， ．并在数轴上标出 A，B ；(2)当点C为线段的三等分点时，求C的值； 【答案】(1)，5，见解析(2)c的值为：1或3(3)存在， 【详解】（1）解：二项式中，含字母的项为，其系数为，且二项式的次数为5， ∴，，在数轴上表示如下： （2）解：由（1）知，，∵为线段的三等分点， 当C靠近A时，，则； 当C靠近B时，，则；综上，c表示的数为1或3； （3）解：由（2）可知，当点离点较近时，， 设运动时间为，则点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为，点运动秒后所表示的数为， ∴ 要使为定值，则，则，∴．    18．（24-25七年级上·四川成都·期末）在数轴上，点表示原点，对于不重合的两点，，将线段与线段的长度之比定义为点与点的相关值，记作，即．例如：当点是线段的上一点，且时，． (1)点在数轴上表示的数是，①如图1，若点表示的数是， ；②数轴上的点满足，求；(2)点，点分别从表示和的点同时向右运动，点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位；当点与点相遇时，点与点的速度立刻交换并继续向右运动．设点的运动时间为秒，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或(2)或． 【详解】（1）解：①∵点在数轴上表示的数是，点表示的数是， ∴，，∴；故答案为：； ②∵，故设，则， 当，在原点两侧时，，∴； 当，在原点同侧时，，∴；综上所述，为或； （2）解：存在某一时刻，使得，理由如下： 当点与点相遇前，运动后表示的数为，表示的数为，∴，， ∵，∴，即，∴，解得：； 当，即时，点与点相遇； 当点与点相遇后，即时，运动后表示的数为，运动后表示的数为， ∴，，∴，解得：；∴的值为或． 19．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题： （1）当时，A点表示的数为____，此时_____；（2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值；（3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________． 【答案】（1），16；（2）或；（3）或 【详解】解：（1）当时，点表示的数为； 、两点运动1秒后在数轴上表示的数为，， 此时．故答案为：，16； （2）设运动秒时，（单位长度）， ①当点在点的左边时，由题意得：，解得：； ②当点在点的右边时，由题意得：，解得：． 综上所述，当运动到（单位长度）时，运动时间的值为或； （3）设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为， 则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， ，，， ，，即：， ①当点在点右侧时，， ，； ②当点在点左侧时，， ，； 的长有2种可能，即或．故答案为：或． 20．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A ，B ，C ； (2)动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，2；(2)①0.6；②存在， 【详解】（1）解：解：由题意知，点A表示的数为， 点C表示的数为，点B表示的数为，故答案为：，，2； （2）解：①18秒后点P表示的数为：， 点P与点B之间的距离为：； ②由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为， 点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， ， 当时，解得．，始终保持不变． 21．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）【背景知识】若数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离为，线段的中点表示的数为．利用数形结合思想解决下列问题：如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)填空：A、B两点间的距离______，线段的中点表示的代数式为______； (2)若点M为的中点，点N为的中点，在运动过程中，当t为何值时，； (3)点P从A点向右匀速运动，同时点Q从B点向左匀速运动，P到B后以每秒4个单位长度的速度沿数轴向A匀速运动，到达A后停止运动，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能否为2个单位．如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)12；(2)或(3)4或或 【详解】（1）解：由题意得； ∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，∴点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴线段的中点表示的代数式为； （2）解：∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为，∴， ∵，∴，∴或，解得或； （3）解：由题意得，当时，点P表示的数为，当时，点P表示的数为，整个过程中点Q表示的数为， 当时，则， 当时，则，∴或，解得或， ∴此时点P表示的数为或 当时，则， 当时，则，∴或，解得或（舍去）， ∴此时点P表示的数为； 综上所述，在此运动过程中P、Q两点之间的距离能为2个单位，此时点P表示的数为4或或． 22．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是(2)①或或②或或 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”，故答案为：是； （2）解：①，，，解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； ）当时，此时，点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或，答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； ）当时，，解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$