专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.倍长中线模型 6 模型2.截长补短模型 10 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.截长补短模型 例1（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)的长为14 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，平分，∴， ，∴，，， ∵，，是的一个外角，， ，，，，； （2）解：在上截取，连接， ，，∴， ，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，的长为14． 例2（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【详解】解：（1），理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线，， 在和中，，， ，，， ，，， ，，； （2），理由：如图②，在上截取，连接， 平分，， 在和中，，，，， ，，，， ，，； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线，， 在和中，，， ，，，， ，， ，，，，． 例3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】条件下，完成下列问题： (1)求证：；(2)求证：；(3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)．理由见解析 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形，∴， ∴，即． 在和中，∴； （2）证明：由（1）可知，∴， 又∵，∴； （3）解：．理由如下：在上取点F．使得，连接． 由（2）可知，∴是等边三角形，∴，， 又∵是等边三角形，∴，，∴，即， 在和中，，∴，∴，∴． 例4（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴；∴∴； （2）解：，理由如下：延长，交延长线于点，如下图： 由（1）得，∵∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴； （3）解：∵，∴ ∴四边形的面积等于的面积，由（1）可得，∴， ∴． 模型2.倍长中线模型 例1（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，是边上的中线，， 在和中，，（依据1），， 在中，（依据2），． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图3，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）证明见解析 【详解】解：（1）任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等； 依据2：三角形任意两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形两边的和大于第三边； （2）任务二：证明：如图4，延长至，使，连接， 由任务一得：，，，，， ，， ，，，． 例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】（1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】（2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【详解】解：（1）∵是的中线，， 在和中，，，， 在中，，，，故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图：    ，，， 在和中，，，，， ，∴垂直平分，，，； （3）延长到，使，连接，如图所示： ，，， 平分，，，，点G是的中点，， 在和中，，，，， ，，即，，， ，． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________． (2)如图3，，则的取值范围是___________； (3)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，三角形任意两边之和大于第三边(2)(3)，见解析 【详解】（1）依据1：；依据2：三角形任意两边之和大于第三边； 故答案为：，三角形任意两边之和大于第三边； （2）解：如图，延长至，使，连接，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（），∴ 在中，， ∴，即， ∴；故答案为：； （3）与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线，∴，在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴． 例4（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【详解】（1）为边上的中线，， 在和中     ，， ，，即， ，，，故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ，（同旁内角互补，两直线平行），，， 为的中点，，，， 又，，即， 在和中， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、       由（1）同理易知，，， ，且， ，，， ，，，， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，， ，， 和互余，，， ，， ， 又，，故答案为： 1．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 【答案】100°/100度 【详解】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 在△BDM和△CDA中， ，∴△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC＝BF，∠M＝∠DAC＝24°，∠C＝∠DBM，∵BF＝AC，∴BF＝BM，∴∠M＝∠BFM＝24°， ∴∠MBF＝180°﹣∠M﹣∠BFM＝132°，∵∠EBC＝32°，∴∠DBM＝∠MBF﹣∠EBC＝100°， ∴∠C＝∠DBM＝100°，故答案为：100°． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长至F，使得，交于点G， ∵点E是的中点，∴，在与中，， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，  设，∵， ∴，解得，即．故答案为： 3．（2025·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 【答案】（1）①见解析；②1＜x＜4；（2）见解析 【详解】（1）①∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD， 在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS） ②1＜x＜4， 理由如下：∵△ABD≌△ECD，AB＝5，∴AB＝EC=5， ∵ED=AD，AD＝x，∴AE=2x．由△ACE三边关系得：， 又∵AC＝3，∴，解得：1＜x＜4．故答案是：1＜x＜4． （2）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．∵D是BC边上的中点，∴CD＝DB． 在△CDF与△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS）．∴CF＝BG， ∵DE⊥DF，∴．  在△EDF与△EDG中，，∴△EDF≌△EDG． ∴EF＝EG． 在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系和全等三角形的性质与判定，根据题意画辅助线是解题的关键． 4．（24-25八年级上·湖北·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【详解】解：在上截取，连接，∵，∴， ∵∴，∴，， ∴，∴，∴． 5．（23-24八年级·山西临汾·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．具体做法是：延长三角形某条边上的中线，使延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，借助于图形的关系和性质展开求解或证明． 请结合下图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．    证明：延长至点，使，连结、． 【答案】见解析 【详解】证明：延长至点，使，连结、，则， ∵是斜边上的中线，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，∴. 6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接，为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______）（______），∴． 【答案】线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换 【详解】证明：延长至点，使，连接，为中点，（线段中点的定义）， 在和中，，，， ，（两直线平行，同位角相等），， 平分（角平分线的定义）， （等量代换），，∴． 故答案为：线段中点的定义，，，两直线平行，同位角相等，角平分线的定义，等量代换． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)A(2) 【详解】（1）解：在和中，，故选：A． （2）解：延长到，使，连接，如图所示， ，，∵是中线，， ∵在和中，，， ，，， ，，． 8．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， 设，在中，由三边关系可得，即，∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示：∴， ∵是的中线，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴． 9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3）， 【详解】【应用举例】 【问题解决】如图延长到，       使得连接易证得， ． 如图，延长到，使得连接易证得，垂直平分 即 在中，， ，理由如下： 如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD，    ∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC， 又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF， ∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC， ∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ． 10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)4 【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴， 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）解：， 理由：在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， 在和中，∴， ∴， ∵，∴，、 ∵，∴，∴，∴； （3）解：作N关于的对称点，由（2）可知，在上，， 当共线时，最小，当时，最小， ∵，，∴∴， ∴，故的最小值为4． 11．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)2＜DG＜5 (2)AD=DC+AB 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 又EG=FG，∠EGD=∠FGM，∴△DEG≌△MFG，∴DE=MF， 又DE=3，∴MF=3，又DF=7，∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5； （2）延长AE，DC相交于点F， ∵ABCD，∴∠BAE=∠F， 又BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD， 又FD=CD+DF，CF=AB，∴AD=CD+AB． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析（3）的最小值是3 【详解】（1）∵A、E两点关于l对称 ∴，，，，， ∵，∴，设，则∴ ∵，∴ ∵∴∴ （2）连接．∵，，∴是等边三角形，∴，， 又∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （3）过点C作交BA于点H，交的平分线于点D，此时取得最小值； ∵点E在的垂直平分线上∴．∴ ∵BD平分∴∴∴∴ 在中， ∴∴ 当C、D、H三点共线时最短，此时 在中， ∴∴的最小值是3． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务：①根据题意，补全图形；②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】探究方法：①作图见解析；②；；拓展探究：，理由见解析 【详解】解：探究方法：①如图所示：       ②是边上的中线，， 在和中，， ，， ，，，，， 在中，由三角形三边关系可知， ，，即的取值范围是； 故答案为：；； 拓展探究：猜想：，理由如下：延长到，使，连接，如图所示： 则，为的中线，， 在和中，，， ，，，， ，，，，，， 在和中，，，，，． 14．（24-25八年级上·河南焦作·期末）学过三角形全等后，老师在黑板上出了这样一道题：如图1，已知D是的中点，．求证：．同学们猛一看很简单，肯定成立．那么具体怎么证明呢？此时有同学发现这是典型的“边边角”条件，而三角形全等判定中没有该定理，这该怎么办？此时皮皮同学说我们可以“倍长中线”通过转化进行证明，聪明的你知道怎么写出证明过程吗？ (1)请做出辅助线，写出证明过程．(2)如图2，点D是的中点，点A在线段上，如果，求证：．(3)拓展与应用：把（2）中的条件与结论进行了互换．如图3，点D在上，点A在线段上，如果，，那么D是的中点成立吗？请同学们做出判断．如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)D是的中点成立，证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，延长到E，使，连接，∵D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴； （2）证明：如图所示，延长到E，使，连接，∵D是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：D是的中点成立，证明如下：如图所示，过点C作交的延长线于点E． ∴，∵， ∴，∴，∵，∴， 在和中，，∴∴，即D是的中点． 15．（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______．（2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）如图中，延长至点，使， 在和中，，，，， ，，，，故答案为：，； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点，，又，，，，，， ，，，； （3）延长至点，使，连接，如图：点为边的中点，， 又，，， ，平分，， ，，，，， ，，，，， ，的面积，． 16．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题：（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3）4． 【详解】解：（1）①解：∵是的中线，∴， 在和中，∵，∴，故答案为：； ②由可得， 又，∴在中，由三边关系可得：，即， 又，故．故答案为：． （2）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：，∴， ∵，∴， ∵，∴， 在和中，∵， ∴，∴，即平分； （3）延长至，使得，连接，∵是的中点∴ ∵，∴∴，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵∴等边三角形，∴， ∴，，∴，又∵， ∴，∴，，∴， 即：，∴为等边三角形， ∴． 17．（24-25八年级上·天津和平·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．(1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：是的中线， 在和中，，，∴判断全等的依据为“”， 故答案为：； （2）证明：延长至，使，连接 是的中线，，且， ，，，，， ，， ∵，即，且，， .，，． 18．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴（依据1）， ∴，在中，（依据2），∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】（1）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 （2）C（3）见解释 【详解】解：（1）依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2）如图，延长至点，使，连接． 是的中线，， 在与中，，，， 在中，，即，．故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点，∴，又∴，，， ∵，∴，，即， 又∵，∴，∴，∴． 19．（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【详解】解∶（1）小王同学的思路： 如图1，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，则．所以． 因为，所以． 因为，所以．所以，即是的中点 小张同学的思路：如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则． 所以，因为，所以． 因为，所以． 所以．所以，即是的中点； （2）猜想方法1：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连接， 则．所以． 因为， 所以，． 所以．所以． 又因为，所以．所以． 方法2：如图4，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则．所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以．所以． 因为，所以．所以．所以． 20．（23-24八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：延长使得，连接，如图2，∵是的中线，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴，∴； （2）解：；由（1）得：， ∴，，∴； （3）解：；延长使得，连接，如图，    由（1）得：，∴， ∵，∴，由（2）得：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴ 21．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：成立，见解析；[结论运用]：216海里 【详解】解：[初步探索]：； ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：如图，延长到G，使，连接， ， ， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，在和中，，∴，∴， ∴，∴； [结论运用]：如图，连接，延长、交于点C， ∵，，∴， ∵，，∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形模型之倍长中线与截长补短 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.倍长中线模型 6 模型2.截长补短模型 10 17 倍长中线与截长补短在数学几何解题领域有着漫长且重要的发展历程。 倍长中线的方法源于早期几何学家对中点性质的研究。古希腊数学家欧几里得《几何原本》虽未直接描述，但其全等三角形公理体系为倍长中线提供了理论基础。数学文献中，“倍长中线”作为标准术语被确立于20世纪，成为初等几何常见技巧。 截长补短概念起初源于对图形简单拼接与分割的实践探索，后来在计算机图形学早期发展也有辅助线贡献。截长补短也被纳入中学数学教材成为常见解题手段，截长补短能巧妙处理线段数量关系难题，效果显著。 （2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 1.截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 证明：延长FE，交DC的延长线于点G。 ∵E为AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在CD上，为了避免证明三点共线，点G就直接通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS”或“ASA”证明全等。这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版。 模型1.截长补短模型 例1（24-25八年级上·江西宜春·期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 例2（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 例3（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】条件下，完成下列问题： (1)求证：；(2)求证：；(3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 例4（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，，的平分线与的平分线相交于E，的延长线交于D．(1)试判断与的位置关系，并说明理由：(2)试判断的数量关系，并说明理由；(3)若，，求四边形的面积． 模型2.倍长中线模型 例1（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务．数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下：证明：如图2，延长至E，使，是边上的中线，， 在和中，，（依据1），， 在中，（依据2），． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：__________；依据2：__________． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：利用“倍长中线法”，解决下列问题：如图3，中，，D为中点，求证：． 例2（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【阅读理解】（1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】（2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】（3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至，使，∵是边上的中线，∴ 在和中， ∴（依据一），∴ 在中，（依据二）， ∴． 归纳总结：上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． 任务：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：___________；依据2：___________． (2)如图3，，则的取值范围是___________； (3)如图4，在图3的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连接．试探究与的数量关系，并说明理由． 例4（23-24七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；（3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 1．（2024·上海·七年级专题练习）如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，则∠ACB＝_____． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 3．（2025·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，设AD＝x，可得x的取值范围是_______； （2）如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF． 4．（24-25八年级上·湖北·假期作业）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．如图，在中，，于D，求证：． 5．（23-24八年级·山西临汾·期末）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．具体做法是：延长三角形某条边上的中线，使延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，借助于图形的关系和性质展开求解或证明． 请结合下图完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结、．    6．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知：平分，D为中点，，求证：．    证明：延长至点，使，连接，为中点，（______） 在和中，（______）______， ，（______）， 平分（______）（______），∴． 7．（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． (1)小明解题过程中证出的依据是______； A．   B．   C．  D． (2)请参考小明的解题思路回答以下问题：如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 8．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】（2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 9．（23-24八年级上·河北衡水·期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题． 【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：． 简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，． 【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：． （2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长． （3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．             10．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在中，为的角平分线， (1)如图1，当时，在上截取，连接，直接写出线段的数量关系． (2)如图2，当，线段又有怎样的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，在（2）的条件下点分别是上的动点，若，，求的最小值． 11．（2024·广西·一模）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在中，是边上的中线，若延长至，使，连接，可根据证明，则． (1)【类比探究】如图②，在中，，，点是的中点，求中线的取值范围； (2)【拓展应用】如图③，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 12．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）【问题情境】在数学活动课上，李老师给出如下的问题： 如图1，已知，，过点B作射线l，点E在的内部，点A和点E关于l对称，交l于点D，连接．证明：． 【探究合作】同学们根据问题进行小组合作，下面是第一小组的同学分享的解题过程： 小红：除已知所给相等的边和角之外，我们小组还推理得到； 小鹏：从结论出发可以“截”较长的线段，本题转化为证明两条线段相等的问题．如图2，在上截取，再证明； 小亮：要证明，观察图形选取“证明这两条线段所在的三角形全等”的方法，如图3，连接，以为目标构造与之全等的三角形； 小明：与小鹏的想法类似，但采用将结论中任一较短的线段“补”的方法．如图4，延长到点G，使，连接，再确定一个三角形作为目标构造与之全等的三角形证明． 【推理证明】（1）请你推理出小红的结论；（2）根据第一小组同学们的解题思路，任选一种方法证明． 【反思提升】李老师：小鹏和小明利用“截长补短”的方法，将“求证一条线段等于两条线段和的问题”转化为“求两条线段相等的问题”，这就将新问题转化为我们熟悉的问题去解决，转化思想在数学学习中无处不在． 请同学们反思后解决下面的问题： （3）如图，， ，点D是的角平分线上一动点，的垂直平分线交射线于E，求的最小值． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与实践 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．    【提出问题】如图①，中，若，求边上的中线的取值范围； 【探究方法】同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法完成下面的任务：①根据题意，补全图形；②根据同学们的方法，可以证______≌______，由三角形的三边关系可以求得的取值范围是______（直接填空）； 【拓展探究】如图②，在和中，，连接，若为的中线，猜想与的数量关系并说明理由． 14．（24-25八年级上·河南焦作·期末）学过三角形全等后，老师在黑板上出了这样一道题：如图1，已知D是的中点，．求证：．同学们猛一看很简单，肯定成立．那么具体怎么证明呢？此时有同学发现这是典型的“边边角”条件，而三角形全等判定中没有该定理，这该怎么办？此时皮皮同学说我们可以“倍长中线”通过转化进行证明，聪明的你知道怎么写出证明过程吗？ (1)请做出辅助线，写出证明过程．(2)如图2，点D是的中点，点A在线段上，如果，求证：．(3)拓展与应用：把（2）中的条件与结论进行了互换．如图3，点D在上，点A在线段上，如果，，那么D是的中点成立吗？请同学们做出判断．如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由． 15．（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______．（2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】（3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 16．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为：______； ②若，则的取值范围是______； 【方法运用】运用上面的方法解决下面的问题：（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】（3）如图3，是四边形的对角线，，点E是边的中点，点F 在上，，若，求的长． 17．（24-25八年级上·天津和平·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．(1)如图（1），是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． (2)如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，求证：． 18．（23-24七年级下·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使，∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴（依据1）， ∴，在中，（依据2），∴． （1）任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．；    B． ；    C． （3）任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 19．（23-24辽宁锦州七年级期末）【问题提出】期末复习课上，数学丁老师出示了下面一个问题：如图1，在中，是延长线的点，是边上一点，且满足，那么是的中点，请你说明理由． 【思路探究】小王同学从条件出发分析解题思路：以为腰构造等腰和平行八字型全等三角形，如图2，以点为圆心，以长为半径画弧，交的延长线于点，先应用等腰三角形的轴对称性，再应用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小张同学从结论出发分析解题思路：以为腰构造等腰，将说明的问题转化为说明的问题，如图3，以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，于是可得，再应用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得． （1）请你选择小张同学或小王同学的思路或按自己的思路写出完整的解题过程； 【学以致用】（2）请你在理解了小张同学或小王同学解题思路的基础上，解答下面一道图形较为复杂的同类问题：如图4，在四边形中，，过点作线段，且，连接，交的延长于点，猜想与的数量关系并说明理由． 20．（23-24八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点M，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．    【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】(1)直接写出图1中的取值范围： (2)猜想图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图3，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 21．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$